命題：撫州市教育發(fā)展研究中心
說(shuō)明：
1.本卷共有4大題，19個(gè)小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫(xiě)在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.
一?單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)符合題目要求.
1. 已知函數(shù)，則等于（ ）
A. B. C. D.
2. 在數(shù)列中，若，則（ ）
A. -2B. 4C. 1D.
3. 2024年是安徽省實(shí)施“”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門(mén)學(xué)科中任選2門(mén)，假設(shè)每門(mén)學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門(mén)被選中的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（ ）
則方差（ ）
A. 既與有關(guān)，也與有關(guān)B. 與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)
C. 與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)D. 既與無(wú)關(guān)，也與無(wú)關(guān)
5. 已知等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
7. 意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：.其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記為“斐波那契數(shù)列”的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A B. C. D.
8. 已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分.
9. 函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，下列結(jié)論中一定正確的是（ ）

A. 的減區(qū)間是
B. 的增區(qū)間是
C. 有一個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)
D. 有三個(gè)零點(diǎn)
10. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件
B. 若，則
C. 已知，若，則事件M，N相互獨(dú)立
D. 根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷X與Y有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)
B. 函數(shù)既存極大值又存在極小值
C. 若時(shí)，，則的最小值為
D. 若方程有兩個(gè)實(shí)根，則
三?填空題：共3小題，每題5分，共15分.
12. 若直線與曲線相切，則__________.
13. 小王喜愛(ài)逛街和吃火鍋．在周末，她下午去逛街概率為．若她下午去逛街，則晚上一定去吃火鍋；若下午不去逛街，則晚上去吃火鍋的概率為．已知小王在某個(gè)周末晚間去吃火鍋，則下午逛街的概率為_(kāi)_____．
14. 已知分別是函數(shù)和圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____．
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.解答寫(xiě)在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).
15. 已知公差不為0的等差數(shù)列首項(xiàng)，且成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16. 已知函數(shù)
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）方程在有解，求實(shí)數(shù)的范圍.
17. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且.
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式：
（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
18. 某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會(huì)，現(xiàn)場(chǎng)來(lái)了1000位居民．聯(lián)歡會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，物業(yè)公司從現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)抽取了20位幸運(yùn)居民進(jìn)入摸獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，這20位幸運(yùn)居民的年齡用隨機(jī)變量X表示，且．
（1）請(qǐng)你估計(jì)現(xiàn)場(chǎng)年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；
（2）獎(jiǎng)品分為一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，已知每個(gè)人摸到一等獎(jiǎng)的概率為40%，摸到二等獎(jiǎng)的概率為60%，每個(gè)人摸獎(jiǎng)相互獨(dú)立，設(shè)恰好有個(gè)人摸到一等獎(jiǎng)的概率為，求當(dāng)取得最大值時(shí)的值．
附：若，則．
19. 已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在與軸的交點(diǎn)處的切線斜率為-1.
（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，.a
撫州市2023—2024學(xué)年度下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)
高二數(shù)學(xué)試題卷
命題：撫州市教育發(fā)展研究中心
說(shuō)明：
1.本卷共有4大題，19個(gè)小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫(xiě)在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.
一?單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)符合題目要求.
1. 已知函數(shù)，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用極限的計(jì)算方法即可得解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),
所以,
所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
2. 在數(shù)列中，若，則（ ）
A. -2B. 4C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知遞推式可求出，可得此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，從而可求出答案.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，
所以，，
，，
所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
所以.
故選：B
3. 2024年是安徽省實(shí)施“”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門(mén)學(xué)科中任選2門(mén)，假設(shè)每門(mén)學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門(mén)被選中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別計(jì)算出任選兩門(mén)的種類數(shù)，再得出化學(xué)和地理都沒(méi)有被選中的情況，即可得出結(jié)果.
【詳解】依題意從從政治、地理、化學(xué)、生物4門(mén)學(xué)科中任選2門(mén)共有種情況，
其中化學(xué)和地理都沒(méi)有被選中共有種，
因此化學(xué)和地理至少有一門(mén)被選中的概率是.
故選：D
4. 設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（ ）
則方差（ ）
A. 既與有關(guān)，也與有關(guān)B. 與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)
C. 與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)D. 既與無(wú)關(guān)，也與無(wú)關(guān)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)方差公式求出方差，再判斷即可.
【詳解】由分布列可得，
故.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握期望和方差的公式.
5. 已知等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，結(jié)合已知條件求解即可.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列與的前項(xiàng)和分別為，且，
所以設(shè)，
所以
.
故選：D
6. 已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，存在，使得，由參變量分離法可得，求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則存在，使得，
即，可得，設(shè)，
因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故.
故選：B.
7. 意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：.其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記為“斐波那契數(shù)列”的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意得當(dāng)時(shí)，，變形的可證得，，再結(jié)合已知條件可求得結(jié)果.
【詳解】由題意得當(dāng)時(shí)，，則，
所以，，……，，，
所以
，
所以，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查遞推數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對(duì)“斐波那契數(shù)列”的正確理解，得到當(dāng)時(shí)，，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.
8. 已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再設(shè)，轉(zhuǎn)化為求恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范圍.
【詳解】由，
兩邊同時(shí)加，得：.
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.
所以.
設(shè)，，則，
由；由.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
由.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)指對(duì)同構(gòu)思想將問(wèn)題為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，結(jié)合參變量分離法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)求解.
二?多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分.
9. 函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，下列結(jié)論中一定正確的是（ ）

A. 的減區(qū)間是
B. 的增區(qū)間是
C. 有一個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)
D. 有三個(gè)零點(diǎn)
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系，函數(shù)性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.
【詳解】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，錯(cuò)誤，正確，
所以函數(shù)在，時(shí)取得極小值，在時(shí)，函數(shù)取得極大值，C正確；
因?yàn)闊o(wú)法確定，，的正負(fù)，從而無(wú)法確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件
B. 若，則
C. 已知，若，則事件M，N相互獨(dú)立
D. 根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷X與Y有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概念判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率判斷B，根據(jù)條件概率及獨(dú)立事件的概念判斷C，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果判斷D.
【詳解】對(duì)于A，對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為，則，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋裕矗?br>則，則事件M，N相互獨(dú)立，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋圆荒芨鶕?jù)作出D中的判斷，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)
B. 函數(shù)既存在極大值又存在極小值
C. 若時(shí)，，則的最小值為
D. 若方程有兩個(gè)實(shí)根，則
【答案】BD
【解析】
【分析】求導(dǎo)后，結(jié)合正負(fù)可得單調(diào)性；利用零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明零點(diǎn)個(gè)數(shù)，知A錯(cuò)誤；根據(jù)極值定義可知B正確；采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得CD正誤.
【詳解】定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
對(duì)于A，，，，
在區(qū)間和內(nèi)各存在一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，，恒成立；
有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由單調(diào)性可知：的極小值為，極大值為，B正確；
對(duì)于C，，作出圖象如下圖所示，可知方程存在另一個(gè)解，
若當(dāng)時(shí)，，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，方程有兩個(gè)實(shí)根等價(jià)于與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
作出圖象如下圖所示，
結(jié)合圖象可知：，D正確.
故選：BD.
三?填空題：共3小題，每題5分，共15分.
12 若直線與曲線相切，則__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為3，求切點(diǎn)，根據(jù)切點(diǎn)在直線上，可求的值.
【詳解】因?yàn)椋?
由，
因?yàn)?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以.
故答案為：2
13. 小王喜愛(ài)逛街和吃火鍋．在周末，她下午去逛街的概率為．若她下午去逛街，則晚上一定去吃火鍋；若下午不去逛街，則晚上去吃火鍋的概率為．已知小王在某個(gè)周末晚間去吃火鍋，則下午逛街的概率為_(kāi)_____．
【答案】##
【解析】
【分析】借助條件概率公式計(jì)算即可得.
【詳解】設(shè)其周末晚間去吃火鍋的概率為，下午去逛街的概率為，
則，，
則.
故答案：.
14. 已知分別是函數(shù)和圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求出到直線的距離，則，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解.
【詳解】點(diǎn)到直線的距離，
則，
又，
由知，和在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，其值域?yàn)椋?br>又，令，
令，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有恒成立，所以，
所以實(shí)數(shù)的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.解答寫(xiě)在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).
15. 已知公差不為0等差數(shù)列首項(xiàng)，且成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程，即可求解；
（2）由（1）可知，，利用錯(cuò)位相減法求和.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意，得
解得或（舍）
∴ ；
【小問(wèn)2詳解】
，，
此時(shí)；
，
，
，
，
所以.
16. 已知函數(shù)
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）方程在有解，求實(shí)數(shù)的范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，令解不等式可得答案；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出在的值域可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
，
由解得，或，
所以的單調(diào)增區(qū)間為，；
【小問(wèn)2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
，，
所以，
若方程在有解，
則.
17. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】（1） （2）證明見(jiàn)詳解.
【解析】
【分析】（1）將等式變形為，并通過(guò)累乘法求解數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，將放縮，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
即，
將上述個(gè)式子相乘得，
所以，當(dāng)時(shí)，成立，
故.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
所以，
所以，
即.
18. 某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會(huì)，現(xiàn)場(chǎng)來(lái)了1000位居民．聯(lián)歡會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，物業(yè)公司從現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)抽取了20位幸運(yùn)居民進(jìn)入摸獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，這20位幸運(yùn)居民的年齡用隨機(jī)變量X表示，且．
（1）請(qǐng)你估計(jì)現(xiàn)場(chǎng)年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；
（2）獎(jiǎng)品分為一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，已知每個(gè)人摸到一等獎(jiǎng)的概率為40%，摸到二等獎(jiǎng)的概率為60%，每個(gè)人摸獎(jiǎng)相互獨(dú)立，設(shè)恰好有個(gè)人摸到一等獎(jiǎng)的概率為，求當(dāng)取得最大值時(shí)的值．
附：若，則．
【答案】（1）159 （2）取得最大值時(shí)n的值為8
【解析】
【分析】（1）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可求，故可估算年齡不低于60歲的人數(shù).
（2）利用不等式組可求取得最大值時(shí)的值.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋裕?br>則，
所以現(xiàn)場(chǎng)年齡不低于60歲的人數(shù)大約為(人)．
小問(wèn)2詳解】
依題意可得，，
設(shè)，
所以，
所以
所以，因?yàn)檎麛?shù)，所以，
所以當(dāng)取得最大值時(shí)的值為8．
19. 已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在與軸的交點(diǎn)處的切線斜率為-1.
（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1），的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；
（2）證明見(jiàn)解析； （3）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的．通過(guò)，即可求解函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）求出的最小值，化簡(jiǎn)．構(gòu)造，通過(guò)．判斷在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到，推出結(jié)果．
（3）首先證明：當(dāng)時(shí)，恒有．令，則．推出在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到．利用累加法推出．
【小問(wèn)1詳解】
由，得．
又，所以．所以，．
由，得．
所以函數(shù)的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知．
所以，即，．
令，則．
所以在上單調(diào)遞增，所以，即．
【小問(wèn)3詳解】
首先證明：當(dāng)時(shí)，恒有．
證明如下：令，則．
由（2）知，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，則，，．
以上各式相加，有．
所以，
所以，
即．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；
（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．
a

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