2021-2022學(xué)年江西省撫州市七校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 題號(hào)一二三總分得分      一、單選題（本大題共12小題，共60分）已知集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)為實(shí)數(shù)，且為純虛數(shù)其中是虛數(shù)單位，則(    )A.  B.  C.  D. 已知，，則“”是“”的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件參數(shù)方程為參數(shù)所表示的曲線是(    )A. 圓 B. 直線 C. 射線 D. 線段函數(shù)的部分圖象大致為(    )A.  B.
C.  D. 設(shè)，，均為正數(shù)，則，，(    )A. 都不大于 B. 都不小于
C. 至多有一個(gè)不大于 D. 至少有一個(gè)不小于為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，全國各地對(duì)生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí)持續(xù)增強(qiáng)．某化工企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣需要通過過濾使廢氣中的污染物含量減少到不高于最初的才達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)．已知在過濾過程中，廢氣中污染物含量單位：與時(shí)間單位：的關(guān)系式為，為正常數(shù)，表示污染物的初始含量，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)廢氣經(jīng)過的過濾，其中的污染物被消除了，則該企業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要達(dá)標(biāo)排放需要經(jīng)過的過濾時(shí)間至少約為結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 已知命題：若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；：函數(shù)的值域?yàn)?/span>則下列命題中的真命題是(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是(    )A.  B.
C.  D. 已知變量關(guān)于的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其一組數(shù)據(jù)如下表所示：若，則預(yù)測(cè)的值可能為(    )A.  B.  C.  D. 已知是定義在上的函數(shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，若，且，則不等式的解集為(    )A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共4小題，共20分）已知冪函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)______．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為______．阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)，，，，，，，，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，給出下列三個(gè)結(jié)論：
對(duì)于任意正整數(shù)，；
存在正整數(shù)，為整數(shù)；
存在正整數(shù)，使得的面積為．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
已知函數(shù)若存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______． 三、解答題（本大題共6小題，共70分）周末，某游樂園匯聚了八方來客．面對(duì)該園區(qū)內(nèi)相鄰的兩個(gè)主題區(qū)和，成年人和未成年人選擇游玩的意向會(huì)有所不同．某統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)對(duì)園區(qū)內(nèi)的位游客這些游客只在兩個(gè)主題區(qū)中二選一進(jìn)行了問卷調(diào)查．調(diào)查結(jié)果顯示，在被調(diào)查的位成年人中，只有人選擇主題區(qū)，而選擇主題區(qū)的未成年人有人．
根據(jù)題意，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表填寫完整；選擇哪個(gè)主題區(qū)
年齡層的人選擇主
題區(qū)選擇主
題區(qū)總計(jì)成年人   未成年人   總計(jì)   根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為選擇哪個(gè)主題區(qū)與年齡層的人有關(guān)．
參考公式：，．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，曲線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值．已知函數(shù)．
求不等式的解集；
記函數(shù)的最小值為，正實(shí)數(shù)，滿足，求證“”如圖，與三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓．設(shè)是的內(nèi)切圓圓心，是的內(nèi)切圓半徑，設(shè)是的面積，是的周長，由等面積法，可以得到．

與三棱錐的四個(gè)面都相切的球叫做三棱錐的內(nèi)切球．設(shè)三棱錐的體積是，表面積是，請(qǐng)用類比推理思想，寫出三棱錐的內(nèi)切球的半徑公式只寫結(jié)論即可，不必寫推理過程；
若多面體的所有頂點(diǎn)都在同一球上，則該球?yàn)槎嗝骟w的外接球．如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，且，求三棱錐的內(nèi)切球半徑和外接球的半徑之比．定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，．
求在上的解析式；
若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．已知函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
當(dāng)時(shí)，證明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，，
由題意得，
所以．
故選：．
根據(jù)一元二次不等式的解法，可得集合，根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解．
本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：為純虛數(shù)，
，解得．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，即可求解．
本題主要考查純虛數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：由，
則“”不能推出“”，“”能夠推出“”，
即“”是“”的必要不充分條件，
故選：．
由充分必要條件結(jié)合判斷即可．
本題考查了充分必要條件，屬基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系參數(shù)方程為參數(shù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為；
故該曲線為一條線段．
故選：．
直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，
則有，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除，
當(dāng)時(shí)，，排除，
故選：．
根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，排除，又由時(shí)，，排除，即可得答案．
本題考查函數(shù)圖象的分析，涉及函數(shù)奇偶性和函數(shù)值變化趨勢(shì)的分析，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
如果都小于，則不符合，
所以至少有一個(gè)不小于．
故選：．
結(jié)合基本不等式判斷出正確選項(xiàng)．
本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：因?yàn)閷?shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)廢氣經(jīng)過的過濾，其中的污染物被消除了，
所以，即，
要使，則，
即，
所以該企業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要達(dá)標(biāo)排放需要經(jīng)過的過濾時(shí)間至少約為．
故選：．
由題意知，，可解得，再利用，根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可得解．
本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：，則，是的兩相異實(shí)根，
則，解得，
故選：．
首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)極值點(diǎn)的分布，求參數(shù)的取值范圍．
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)，則且為減函數(shù)．
因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，
由得，故命題為真命題；
因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即值域?yàn)?/span>，
故命題為假命題，則為真命題．
故選：．
先判斷命題，的真假，結(jié)合選項(xiàng)可得答案．
本題考查復(fù)合命題的真假，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
令，可得，解得，
則，，
設(shè)，可得，
則，即或，
由或，
可得傾斜角滿足：或，
故選：．
求得的導(dǎo)數(shù)，令，解方程可得，由指數(shù)函數(shù)的值域可得處切線的斜率，由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的圖象可得所求范圍．
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：由將兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，
設(shè)， ，，
由，得，解得，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，．
故選：．
由將兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，再結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，求出該線性回歸方程，并將代入上式，即可求解．
本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：令，
因?yàn)?/span>，且，
所以且，
故在上單調(diào)遞增且，
所以不等式可轉(zhuǎn)化為，
即，
故，
所以．
故選：．
由已知不等式可考慮構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及已知函數(shù)性質(zhì)可求．
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系在不等式求解中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知不等式合理的構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：冪函數(shù)，
，，或，
或，
冪函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，
，
故答案為：．
根據(jù)冪函數(shù)的定義，求出的值，再根據(jù)冪函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，即可求解．
本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：令，由，得，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，
表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
的最大值為．
故答案為：．
令，則，根據(jù)即可求出其最大值．
本題考查復(fù)數(shù)的模，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：由題意可知，，，且點(diǎn)，在同一坐標(biāo)軸的點(diǎn)的同側(cè)，則，故正確；
同理當(dāng)時(shí)，，故正確；
，而不可能等于，故錯(cuò)誤．
故答案為：．
根據(jù)螺線形成的規(guī)律即可逐一求解．
本題考查歸納推理，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：由已知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)不存在最小值．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．
因此要使得存在最小值，即滿足．
設(shè)函數(shù)，此函數(shù)在上單調(diào)遞增．
．
．
．
所以當(dāng)時(shí)，成立．
故實(shí)數(shù)的范圍是．
由已知，可分段判斷函數(shù)的最小值，然后再從整體來看．
要使得存在最小值需要滿足的關(guān)系，根據(jù)得到的關(guān)于的不等關(guān)系．
設(shè)函數(shù)，通過賦值結(jié)合單調(diào)性來判斷的取值范圍．
本題主要考查分段函數(shù)確定最小值問題，屬于中檔題．
 17.【答案】解：由題意成年人中有人選擇主題區(qū)，人選擇主題區(qū)，
末成年人中有人選擇主題區(qū)，人選擇主題區(qū)，
列聯(lián)表： 選擇哪個(gè)主題區(qū)
年齡層的人選擇主
題區(qū)選擇主
題區(qū)總計(jì)成年人未成年人總計(jì)，
所以沒有的把握認(rèn)為選擇哪個(gè)主題區(qū)與年齡層的人有關(guān)． 【解析】由題意填寫表格；
由公式計(jì)算卡方后判斷．
本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：由，消去參數(shù)可得；
由，可得，則；
曲線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為；
曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，將曲線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程可得，，
令，，則由韋達(dá)定理有，． 【解析】根據(jù)參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系求解即可；
寫出曲線的參數(shù)方程，并與曲線的普通方程聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義即可得解．
本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查參數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 19.【答案】解：，
當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得；
當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無解；
綜上，所求不等式的解集為；
證明：由知，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
的最小值為，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立． 【解析】將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式，再分類討論解不等式即可；
分析可知的最小值為，進(jìn)而可得，再由基本不等式轉(zhuǎn)化求證即可．
本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及不等式的證明，考查分類討論思想及推理論證能力，屬于中檔題．
 20.【答案】解：類比推理可得，三棱錐的內(nèi)切球的半徑公式；
因?yàn)?/span>，，兩兩垂直，，所以的面積為，
則三棱錐的體積為，
三棱錐的表面積為．
所以內(nèi)切球的半徑，
外接球半徑，
所以三棱錐的內(nèi)切球半徑和外接球的半徑之比為． 【解析】由類比推理的思想可判斷三棱錐內(nèi)切球的半徑公式為；
由題意，根據(jù)等體積法計(jì)算三棱錐的體積與三棱錐的表面積，代入內(nèi)切球的半徑公式可求出，再由，，兩兩垂直，可計(jì)算外接球的半徑，從而可得三棱錐的內(nèi)切球半徑和外接球的半徑之比．
本題考查類比推理，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．
 21.【答案】解：是定義在上的奇函數(shù)，
，
，
，
設(shè)，則，
，
時(shí)，；
，，
即，
即在時(shí)恒成立，
，
，
在上單調(diào)遞減，
時(shí)，的最大值為，
． 【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出，設(shè)，，易求，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得與的關(guān)系；
分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值問題得以解決．
本題考查函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，不等式恒成立的問題，考查學(xué)生解決問題的能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，易得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
證明：當(dāng)時(shí)，，
要證，即證，
即證，
只要證，
令，，
即證，
令，，
則，
易得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
故，
所以． 【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對(duì)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而可求函數(shù)的單調(diào)性；
要證，問題轉(zhuǎn)化為證，合理進(jìn)行變形可轉(zhuǎn)化為證，然后進(jìn)行換元令，，即證，結(jié)合不等式特點(diǎn)考慮構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)即可證明．
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
 

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