（本試卷共23小題滿分120分考試時長120分鐘）
考生注意：所有試題必須在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，在本試卷上作答無效
參考公式：拋物線頂點坐標為
第一部分選擇題（共30分）
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.風云二號是我國自行研制的第一代地球靜止氣象衛(wèi)星，它在地球赤道上空距地面約35800公里的軌道上運行.將35800用科學記數(shù)法表示應為（ ）
A.B.C.D.
2.下列幾何體中，俯視圖是三角形的是（ ）
A.B.C.D.
3.在標準大氣壓下，液態(tài)氧、液態(tài)氮、酒精、水四中液體的沸點如下表：
其中沸點最低的液體為（ ）
A.液態(tài)氧B.液態(tài)氮C.酒精D.水
4.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.如圖為部分“卦”的符號，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A.B.C.D.
5.下列運算正確的是（ ）
A.B.
C.D.
6.下列命題是真命題的是（ ）
A.相等的角是對頂角B.若，則
C.D.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
7.在平面直角坐標系中，線段是由線段經(jīng)過平移得到的，點的對應點為，點B的坐標為，則點的坐標為（ ）
A.B.C.D.
8.為了豐富校園生活，培養(yǎng)學生特長，學校開展了特色課程.小明與小華從感興趣的“花樣跳繩”，“天文地理”，“藝術插花”，“象棋博弈”4門課程中隨機選擇一門學習.小明與小華恰好選中同一門課程的概率為（ ）
A.B.C.D.
9.如圖，直線，直線依次交，，于點A，B，C，直線依次交，，于點D，E，F(xiàn)，若，，則的長為（ ）
A.8B.6C.4D.3
10.已知等腰三角形的周長是8，底邊長y是腰長x的函數(shù)，則下列圖象中，能正確反映y與x之間函數(shù)關系的圖象是（ ）
A.B.C.D.
第二部分非選擇題（共90分）
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11.因式分解：_____________.
12.如圖，菱形中，交于O，于E，連接，若，則的度數(shù)為_____________.
13.如果關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則___________.
14.如圖1，“矩”在古代指兩條邊成直角的曲尺，它的兩邊長分別為a，b.中國古老的天文和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中簡明扼要地闡述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可測物體的高度.如圖2，從“矩”的一端A望向樹頂端的點C，使視線通過“矩”的另一端E，測得，.若“矩”的邊，邊，則樹高為______.
圖1圖2
15.如圖，拋物線交x軸正半軸于點A，交y軸于點B，線段軸交拋物線于點C，，則的面積是__________.
三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）
16.（10分）
（1）（5分）計算：；
（2）（5分）解方程：.
17.（8分）
某學校為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種課外書.購買1本甲種書和2本乙種書共需125元；購買2本甲種書和5本乙種書共需300元.
（1）求甲、乙兩種書的單價；
（2）學校決定購買甲、乙兩種書共50本，且兩種書的總費用不超過2000元，那么該校最多可以購買多少本乙種書？
18.（8分）
為了解甲、乙兩校九年級學生英語人機對話的學習情況，每個學校隨機抽取20個學生進行測試，測試后對學生的成績進行了整理和分析.
信息一：
繪制成了如下兩幅統(tǒng)計圖.（數(shù)據(jù)分組為：A組：，B組：，C組：，D組：）
甲校成績的頻數(shù)分布直方圖乙校成績的扇形統(tǒng)計圖
信息二：甲校學生的測試成績在C組的是：
80，82.5，82.5，85，85.5，89，89.5，82.5，85.
信息三：甲、乙兩校成績的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)如表：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）扇形統(tǒng)計圖中C組所在的圓心角度數(shù)為_______，乙校學生的測試成績位于D組的人數(shù)為_______人，表格中_________，在此次測試中，甲校小明和乙校小華的成績均為82分，則兩位同學誰在各自學校測試成績中的排名更靠前？并說明理由；
（2）假設甲校學生共有400人參加此次測試，估計甲校成績超過86分的人數(shù).
19.（8分）
星海廣場是亞洲最大的城市廣場，某店專門銷售某種品牌的星海廣場紀念品，成本為30元/件，每天銷售y件與銷售單價x元（x為整數(shù)）之間的一次函數(shù)關系如圖所示，其中.
（1）求y與x之間的函數(shù)表達式；
（2）當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？
20.（8分）
脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活.如圖1是政府給貧困戶新建的房屋，如圖2是房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點測得屋頂A的仰角為，此時地面上C點、屋檐上E點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走到達點D時，又測得屋檐E點的仰角為，房屋的頂層橫梁，，交于點G（點C，D，B在同一水平線上）.
圖1圖2
（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離（結果精確到）；
（2）求房屋的高（結果精確到）.
（參考數(shù)據(jù)，，，）
21.（8分）
如圖1，為的直徑，C為外一點.
圖1圖2
（1）尺規(guī)作圖：作直線與相切，切點D在弧上（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）如圖2，為的直徑，直線與相切于點D，連接、、，若，，，求的長.
22.（12分）
如圖，在中，，點D在邊上（不與點C重合），將繞點D旋轉，得到，其中點C的對應點為點E，點A的對應點為點F.
圖1圖2圖3
（1）如圖1，點D與點B重合，將繞點D逆時針方向旋轉，當點E落在邊上時，與的交點為G，求證：；
（2）如圖2，點D是邊上任一點（不與點A、B重合），將繞點D逆時針方向旋轉，當點E落在邊上時，連接，求證：；
（3）若，，D為中點.
①將繞點D逆時針方向旋轉，點E落在邊上，連接并延長與的延長線交于點P，求的長；
②將繞點D順時針方向旋轉，當經(jīng)過點C時，連接并延長與的延長線交于點Q，請直接寫出的長.
23.（13分）
定義，在平面直角坐標系中，對于任意兩點，，若點滿足，，那么稱點T是點A，B的“伴A融合點”，例如：，，當點滿足，時，則點是點A，B的“伴A融合點”.
（1）已知點，，點T是點A，B的“伴A融合點”，則點T的坐標為___________；
（2）已知點，，，請說明其中一個點是另兩個點的伴哪個點的“融合點”？
（3）已知點是直線上在第一象限內(nèi)的一動點，是拋物線上一動點，點是點Q，P的“伴Q融合點”，試求出T中y關于x的函數(shù)表達式（表達式中含a），并判斷所有點中是否存在最高點？若存在，求出最高點的坐標；若不存在，說明理由；
（4），為（3）中y關于x的函數(shù)表達式所對應的圖像上兩點，若點M，N之間的圖象（包括點M，N）的最高點與最低點縱坐標的差為，求a的值.
液體
液態(tài)氧
液態(tài)氮
酒精
水
沸點
78
100
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
甲校
83.2
a
82.5
乙校
80.6
81
80
2024年遼寧省中考適應性測試數(shù)學（一）答案及評分標準
一、選擇題：1.D；2.B；3.B；4.A；5.B；6.D；7.C；8.B；9.C；10.D.
二、填空題：11.；12.35；13.1；14.4.6；15.3.
15.解析：在中，當時，，.
軸交拋物線于點C，，
令，，.，，
，，，
.
三、解答題：
16.解：（1）原式4分
；5分
（2），，，，6分8分
，.10分
17.解：（1）設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，
根據(jù)題意得，，2分
解得，，3分
答：甲種書的單價是25元，乙種書的單價是50元；4分
（2）設該校購買m本乙種書，則購買本甲種書，
根據(jù)題意得，，6分
解得，，7分
答：該校最多可以購買30本乙種書.8分
18.解：（1）144，4，，3分
小明的成績?yōu)?2分，在甲校中位數(shù)85.25分以下，而小華的成績82分，在乙校中位數(shù)81分以上，因此小華的成績排名在前.5分
（2）（人），7分
答：估計甲校400學生中成績超過86分的大約有180人.8分
19.解：（1）設y與x的函數(shù)表達式為，
直線經(jīng)過點，，
，2分
解得：.3分
y與x之間的函數(shù)表達式為；4分
（2）設每天利潤為w元，則，
，6分
，拋物線開口向下，
，當時，7分
.8分
答：當銷售單價為50元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是4000元.
20.解：（1）房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，
對稱軸是房屋的高所在的直線，，
，，，
在中，，，，
，2分
.3分
答：屋頂?shù)綑M梁的距離約為3.5米；
（2）如圖，過E作于H，設米，
在中，，，
，，4分
在中，，，
，，5分
米，，
，解得：（米），7分
四邊形為矩形，（米），
（米）.8分
答：房屋的高約為10米.
21.解：（1）如圖1，直線即為所求作；2分
說明：連接，分別以點C，點O為圓心，大于為半徑作弧，兩弧分別交于點M，N，作直線交于點E，以E為圓心，長為半徑作弧，交弧與點D，作直線.
圖1圖2
（2）如圖2，過點A作于點E，則，
連接，為的切線，是的半徑，
，，3分
為的直徑，，4分
，即，
，，，5分
，，，，6分
，，，
，，
，，7分
在中，根據(jù)勾股定理，.8分
22.解：（1）證明：，，，
.1分
旋轉得到，，，
.，
，，
，；2分
（2）同理（1）得，.
，旋轉得到，
，.3分
，即..4分
，，.
，；5分
（3）①，，D為中點，
，，，
在中，根據(jù)勾股定理得.6分
如圖1，連接，.
旋轉得到，，.
，，.
.
，，
，.7分
，，，
根據(jù)勾股定理得.8分
旋轉得到，
，，
又，，
，.
，，即.9分
由（2）得，，四邊形為矩形，
.，
，，，
，.10分
圖1圖2
②12分
解析：繞點D順時針旋轉得到，
，，，
，，.
又，.
.
，，
，即，
又，，
，即.
，.
，，，
.即.
四邊形為矩形，同理①：.
，.
，，
，
，.
，..
23.解：（1），，；1分
（2），，
，，3分
又，點D是點C，E的“伴E融合點”；4分
（3）是直線上在第一象限內(nèi)的一動點，
，，，
點是拋物線上一動點，，.
點是點Q，P的“伴Q融合點”，
，，5分
，，
，6分
，
，，拋物線開口向下，有最大值1.
的最高點的坐標為；7分
（4），，.
拋物線的開口向下，對稱軸為直線，最高點為.
①當時，，即時，
點M、N在拋物線對稱軸左側，y隨x的增大而增大，
，點M、N之間的圖象的最高點為N，最低點為M.
，
，，
，，（舍），，；9分
②若，即時，若，則，.
當時，最高點為，最低點為.
.，.都不符合題意，舍去；11分
③若，則最高點為，最低點為.
，.
，（舍）..13分
綜上，a的值為1或.

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