2022-2023學年遼寧省大連市普蘭店區(qū)部分學校九年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是(    )A. 平行四邊形 B. 等邊三角形 C. 矩形 D. 等腰梯形2.  下列立體圖形中，主視圖是圓的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖，在中，點，分別在，邊上，，若：：，則：(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：4.  如圖，已知為的直徑，點在上，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D.
 5.  把標號為，，的三個小球放入一個不透明的口袋中，隨機摸取一個小球然后放回，再隨機摸出一個小球，兩次取出的小球的標號的和大于的概率是(    )A.  B.  C.  D. 6.  今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為萬人，五月份為萬人設(shè)平均每月增長率為，則可列方程為(    )A.  B.
C.  D. 7.  某公司計劃新建一個容積一定的長方體污水處理池，池的底面積與其深度之間的函數(shù)關(guān)系式為，這個函數(shù)的圖象大致是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到若，則的度數(shù)是(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  如圖，直線與與，軸正半軸交于，兩點，則(    )A.
B.
C.
D. 10.  在學校運動會上，初三班的運動員擲鉛球，鉛球的高與水平距離之間函數(shù)關(guān)系式為，則此運動員的成績是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  方程的根為______．12.  二次函數(shù)的頂點坐標是______ ．13.  一顆質(zhì)地均勻的骰子，其六個面分別刻有、、、、、六個數(shù)字，投擲這個骰子一次，則向上一面的數(shù)字大于的概率是______ ．14.  如圖，圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的側(cè)面積為______．
 15.  如圖，在平面直角坐標系中，線段的端點在軸正半軸上，軸，點在第一象限，函數(shù)的圖象交邊于點，為軸上一點，連結(jié)、若，則的面積為______．
 16.  如圖，中，，，于，是的中點，的延長線交的延長線于，若，則 ______ ．
 三、解答題（本大題共10小題，共102.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
解方程：．18.  本小題分
有兩把不同的鎖和四把不同的鑰匙，其中兩把鑰匙恰好分別能打開這兩把鎖，其余的鑰匙不能打開這兩把鎖．現(xiàn)在任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖．
請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述事件所有可能的結(jié)果；
求一次打開鎖的概率．19.  本小題分
嵊州市三江購物中心為了迎接店慶，準備了某種氣球，這些氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數(shù)，其圖象如下圖所示．
試寫出這個函數(shù)的表達式；
當氣球的體積為時，氣球內(nèi)氣體的氣壓是多少？
當氣球內(nèi)的氣壓大于時，氣球?qū)⒈ǎ疄榱税踩鹨?，對氣球的體積有什么要求？
20.  本小題分
已知拋物線．
求證：無論為何值時此拋物線與軸總有兩個不同的交點；
若、是拋物線與軸交點的橫坐標且，求的值．21.  本小題分
某單位院內(nèi)有一塊長，寬的矩形空地，準備將其建成一個矩形花壇，要求在花壇中修兩條縱向平行和橫向彎折的小道如圖，剩余的地方種植花草，要使種植花草的面積為，那么小道進出口的寬度應(yīng)為多少米？注：左右小道進出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形
22.  本小題分
如圖，是的直徑，點，在上，，過點的切線與的延長線相交于點，與相交于點．
求證：；
若，，求的長．
23.  本小題分
年我國建成基站超萬個，建設(shè)跑出“中國速度”某地有一個信號塔，小敏想用所學的數(shù)學知識測量信號塔的高度，如圖，為了測量信號塔的高度，在地平面上點處測得信號塔頂端的仰角為，從點向點方向前進米到點，從點測得信號塔底端的仰角為，已知樓房的高度為米求信號塔的高度結(jié)果精確到米參考數(shù)據(jù)，，，，，
24.  本小題分
已知中，，，，點從點出發(fā)，沿運動，速度為，同時點從點出發(fā)，沿運動，運動速度為，一個點到達終點，另一點也停止運動．
求的長；
設(shè)的面積為，點、運動時間為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．
 25.  本小題分
綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：
如圖，在中，，求證：．

獨立思考：請解答王老師提出的問題．
實踐探究：在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．
“如圖，延長至點，使，延長交的延長線于點當時，探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明”
問題解決：數(shù)學活動小組同學對問題進一步研究之后發(fā)現(xiàn)，當把“”改為“”時，如圖，求的值請你解答．26.  本小題分
如圖，拋物線的圖象與坐標軸交于、、三點，

求、兩點坐標；
如圖，若拋物線的頂點為，求與的面積之和；
在拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故錯誤；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故錯誤；
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故正確；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故錯誤．
故選C．
根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：
軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；
中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．
 2.【答案】 【解析】解：、圓錐的主視圖是三角形，故A不符合題意；
B、圓柱的主視圖是矩形，故B不符合題意；
C、圓臺的主視圖是梯形，故C不符合題意；
D、球的主視圖是圓，故D正確；
故選：．
根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟記常見幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
．
故選：．
根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求：的值．
本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
．
故選：．
先利用圓周角定理得到，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到的度數(shù)．
本題考查了圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
 5.【答案】 【解析】解：畫樹狀圖如下：

共有種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的小球標號的和大于的結(jié)果有種，
兩次摸出的小球標號的和大于的概率是，
故選：．
先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的小球標號和大于的情況，再利用概率公式即可求得答案．
此題考查了樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 6.【答案】 【解析】解：設(shè)平均每月增長率為，可列方程為：
．
故選：．
設(shè)平均每月的增長率為，根據(jù)三月份為萬人，五月份為萬人，每月的增長率相同，可列出方程．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵根據(jù)，月的增長率相同，表示出月份的游客人數(shù)可列出方程．
 7.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意可知：，
依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，圖象為反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的部分．
故選C．
先根據(jù)長方體的體積公式列出解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．注意深度的取值范圍．
主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用和反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它的性質(zhì)才能靈活解題．反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；
當時，它的兩個分支分別位于第二、四象限．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得知，為旋轉(zhuǎn)角等于，則可以利用三角形內(nèi)角和度數(shù)為列出式子進行求解．
【解答】
解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，
，，
，
，
，
，
，解得，
故選：．  9.【答案】 【解析】解：，
令，則，
令，則，解得，
，，
，，
，
故選：．
根據(jù)一次函數(shù)解析式求出，兩點的坐標，由銳角三角函數(shù)的定義即可求解．
本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，銳角三角函數(shù)，求出，兩點的坐標是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，搞清楚鉛球落地時，即，測量運動員成績，也就是求的值，此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．
鉛球落地才能計算成績，此時，即，解方程即可．在實際問題中，注意負值舍去．
【解答】
解：由題意可知，把代入解析式得：
，
解得，舍去，
即該運動員的成績是米．
故選D．  11.【答案】， 【解析】解：，
或，
，．
故答案為：，．
根據(jù)所給方程的系數(shù)特點，可以對左邊的多項式提取公因式，進行因式分解，然后解得原方程的解．
本題考查了解一元二次方程的方法，當方程的左邊能因式分解，右邊等于時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．
 12.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是．
故答案為：．
根據(jù)頂點式的意義直接解答即可．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要熟悉頂點式的意義，并明確：的頂點坐標為．
 13.【答案】 【解析】解：擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子向上的一面點數(shù)共有種可能，而只有出現(xiàn)點數(shù)為，才大于，
所以這個骰子向上的一面點數(shù)大于的概率．
故答案為：．
由于一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子向上的一面點數(shù)可能為、、、、、，共有種可能，大于的點數(shù)有，則根據(jù)概率公式可計算出骰子向上的一面點數(shù)大于的概率．
本題考查了概率公式，正確記憶隨機事件的概率事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)是解題關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：圓錐的側(cè)面積，
故答案為：．
圓錐的側(cè)面積底面周長母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
本題考查圓錐的側(cè)面積的求法，解題的關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積的計算公式．
 15.【答案】 【解析】解：如圖，連接、，
函數(shù)，軸，
，
，軸，
，
，
．
故選答案為：．
根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得到，根據(jù)和三角形面積公式得到，從而得到的值．
本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向軸和軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值．
 16.【答案】 【解析】解：于，
，
是的中點，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：：，
，
，，
設(shè)，則，
，
，
，，
，
，
．
故答案為：．
由條件證明∽，得到：：：，由，得到，，設(shè)，列出關(guān)于的方程求出，即可解決問題．
本題考查解直角三角形，直角三角形斜邊的中線，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用以上知識點是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原方程變形為：，
則，即，
，
，． 【解析】根據(jù)單項式乘多項式的運算法則把原方程變形，利用配方法解出方程．
本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：分別用與表示鎖，用、、、表示鑰匙，
畫樹狀圖得：

則可得共有種等可能的結(jié)果；

一次打開鎖的有種情況，
一次打開鎖的概率為：． 【解析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；
由中的樹狀圖，可求得一次打開鎖的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．
本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 19.【答案】解：設(shè)球內(nèi)氣體的氣壓和氣體體積的關(guān)系式為，
圖象過點

即；

當時，；

當時，氣球?qū)⒈ǎ?/span>
，即，
．
氣球的體積應(yīng)大于等于． 【解析】根據(jù)氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數(shù)，且過點故；
把代入中的函數(shù)關(guān)系式求即可；
依題意，解不等式即可，可判斷．
此題考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式，并會運用函數(shù)關(guān)系式解答題目的問題．
 20.【答案】證明：，
由，
，
無論為何值時此拋物線與軸總有兩個不同的交點；

解：根據(jù)題意得，，
，
，
，
整理得，
解得：，． 【解析】直接利用完全平方公式得出的符號，進而得出答案；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，由變形得，則，進而得出答案．
此題主要考查了拋物線與軸的交點，正確應(yīng)用根據(jù)系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
 21.【答案】解：設(shè)小道進出口的寬度為米，依題意得
．
整理，得．
解得，．
不合題意，舍去，
．
答：小道進出口的寬度應(yīng)為米． 【解析】設(shè)小道進出口的寬度為米，然后利用其種植花草的面積為平方米列出方程求解即可．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
 22.【答案】證明：是的直徑，
，
是的切線，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．
本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：由題意得，在中，，，
，
米，
米，
在中，，，
，
米，
米，
米，
答：信號塔的高度約為米． 【解析】在中，，米，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，在中，，米，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，于是得到結(jié)論．
本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：在中，，，，
，
又，
；
，，，．
當時，如圖所示，，，
，
；
當時，如圖所示，，，
，
；
當時，如圖所示，過點作于點，則∽．
，，，，
，，
．
綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為． 【解析】在中，利用勾股定理，可求出的長，結(jié)合，即可得出的長；
利用時間路程速度，可求出點，到達各節(jié)點所需時間，分，及三種情況考慮，當時，由點，的運動速度，可得出，的長，進而可得出的長，再利用三角形的面積公式，即可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當時，由點，的運動速度，可得出，的長，進而可得出的長，再利用三角形的面積公式，即可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當時，過點作于點，則∽，根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出，的長，再利用三角形的面積公式，即可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
本題考查了勾股定理、三角形的面積、相似三角形的判定及性質(zhì)以及根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是：在中，利用勾股定理求出的長；分，及三種情況，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
 25.【答案】證明：過點作于點，設(shè)交于點．

，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
解：結(jié)論：．
理由：設(shè)

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
；
解：過點作于點，過點作于點．

由可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
． 【解析】過點作于點，設(shè)交于點想辦法證明即可；
結(jié)論：設(shè)，首先證明，推出，再證明，可得結(jié)論；
過點作于點，過點作于點想辦法證明，可得結(jié)論．
本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
 26.【答案】解：令，得，
解得：，，
，；
，
頂點，
如圖，過點作于點，則，

，，
，
當時，，
，
，
，
故與的面積之和為；
如圖，過點作于點，

，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
設(shè)，
當點在軸上方時，如圖，過點作軸于點，
則，
，，
在中，，
，即，
解得：舍去，，
；
當點在軸下方時，如圖，過點作軸于點，

則，
，，
，
，即，
解得：舍去，，
；
綜上所述，點坐標為或 【解析】令，解方程，即可求得點、的坐標；
過點作于點，則，再求得點的坐標，運用三角形面積公式即可求得答案；
過點作于點，運用解直角三角形求得，得出，設(shè)，分兩種情況：當點在軸上方時，過點作軸于點，根據(jù)，建立方程求解即可；當點在軸下方時，過點作軸于點，同理可求得點的坐標．
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線與坐標軸的交點，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形面積，解直角三角形等，本題難度適中，解題關(guān)鍵是要分類討論，防止漏解．
 

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