一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數(shù)z滿足(1?i)z=2+i，則復數(shù)z的虛部為( )
A. 32B. ?32C. 32iD. ?32i
2.已知向量BC=(2,1)，AB=(0,?1)，則|AC|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 2 2
3.下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說法不正確的是( )
A. 這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15
B. 這10年糧食年產(chǎn)量的平均數(shù)為31
C. 前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差
D. 這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29
4.已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個不同的平面，下列命題正確的是( )
A. 若a⊥c，b⊥c，則a/?/b
B. 若a/?/b，a/?/α，則b//α
C. 若a/?/α，b//α，c⊥a，且c⊥b，則c⊥α
D. 若β⊥α，γ⊥α，且β∩γ=a，則a⊥α
5.已知向量|a|=1，|b|=2，且a與b的夾角為45°，則b在a方向上的投影向量為( )
A. 22aB. 2aC. 2bD. b
6.某商場開展20周年店慶購物抽獎活動(100%中獎)，活動方式是在電腦上設置一個包含1，2，3，4，5，6的6個數(shù)字編號的滾動盤，隨機按下啟動鍵后，滾動盤上的數(shù)字開始滾動，當停止時滾動盤上出現(xiàn)一個數(shù)字，若該數(shù)字是大于5的數(shù)，則獲得一等獎，獎金為150元;若該數(shù)字是小于4的奇數(shù)，則獲得二等獎，獎金為100元;若該數(shù)字出現(xiàn)其它情況，則獲得三等獎，獎金為50元.現(xiàn)某顧客依次操作兩次，則該顧客獎金之和為200元的概率為( )
A. 536B. 518C. 29D. 12
7.建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國國家地理標志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺(如圖所示)，因此可將建盞看作是圓臺與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺O1O2，已知該圓臺的上、下底面積分別為16πcm2和9πcm2，高超過1cm，該圓臺上、下底面圓周上的各個點均在球O的表面上，且球O的表面積為100πcm2，則該圓臺的體積為( )
A. 80πcm3B. 259π3cm3C. 260π3cm3D. 87πcm3
8.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB上的點，CD平分∠ACB，且CD=1，csinA+ 3acsC=0，則△ABC面積的最小值為( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,x)，則
A. 當x=2時，a+b=(?1,4)
B. 若a/?/b，則x=?1
C. 若a⊥b，則x=1
D. 若a與b的夾角為鈍角，則x∈(?∞,?4)∪(?4,1)
10.一個盒子里裝有除顏色外完全相同的四個小球，其中黑球有兩個，編號為1，2;紅球有兩個，編號為3，4，從中不放回的依次取出兩個球，A表示事件“取出的兩球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的兩球同色”，則( )
A. A與D相互獨立B. A與B相互獨立C. B與D相互獨立D. A與C相互獨立
11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱AB上的動點，DF⊥平面D1EC，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論正確的是( )
A. FD1=FCB. 三棱錐C?DED1的體積為定值
C. BC1⊥ACD. ED1⊥A1D
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若虛數(shù)3?i是關于x的實系數(shù)方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)的一個根，則m= ．
13.已知圓錐的底面半徑為 3，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為 ．
14.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c2=2a2?2b2，則A?B的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
在?ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且bcsC+1=c2?csB．
(1)證明：a+b=2c．
(2)若a=6，csC=916，求?ABC的面積．
16.(本小題12分)
近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費的一種流行營銷形式.某直播平臺有1000個直播商家，對其進行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖 ①所示.為了更好地服務買賣雙方，該直播平臺打算用分層抽樣的方式抽取80個直播商家進行問詢交流．
(1)應抽取小吃類、生鮮類商家各多少家?
(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的80個商家的平均日利潤進行了統(tǒng)計(單位：元)，所得頻率直方圖如圖 ②所示．
(ⅰ)估計該直播平臺商家平均日利潤的75百分位數(shù)與平均數(shù)(求平均數(shù)時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點的數(shù)值為代表);
(ⅱ)若將平均日利潤超過480元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計該直播平臺“優(yōu)質(zhì)商家”的個數(shù)．
17.(本小題12分)
已知盒中有大小、質(zhì)地相同的 紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是34，得到黃球或藍球的概率是12．
(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；
(2)隨機試驗：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．
(i)寫出該試驗的樣本空間Ω；
(ii)設置游戲規(guī)則如下：若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個游戲是否公平，請說明理由．
18.(本小題12分)
如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4.E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF/?/AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．
(Ⅰ)求證：NC//平面MFD；
(Ⅱ)若EC=3，求證：ND⊥FC；
(Ⅲ)求四面體NFEC體積的最大值．
19.(本小題12分)
“費馬點”是由法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學家托里拆利給出了解答，當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點O即為費馬點;當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cs2B+cs2C?cs2A=1，點P為△ABC的費馬點．
(1)求A;
(2)若bc=2，求PA?PB+PB?PC+PC?PA;
(3)設|PB|+|PC|=t|PA|，求實數(shù)t的最小值．
答案解析
1.A
【解析】解：∵1?iz=2+i，
∴z=2+i1?i=(2+i)(1+i)(1?i)(1+i)=1+3i2．
則復數(shù)z的虛部為32．
2.A
【解析】解：根據(jù)題意可得AC=AB+BC=(0,?1)+(2,1)=(2,0)，
故|AC|= 22+02=2．
故選：A．
3.C
【解析】解：A選項，將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
這10年的糧食年產(chǎn)量極差為40?25=15，故 A正確；
B選項，這10年糧食年產(chǎn)量的平均數(shù)為28+28+27+26+33+36+40+37+25+3010=31，故B正確；
C選項，結(jié)合圖形可知，前5年的糧食年產(chǎn)量的波動小于后5年的糧食產(chǎn)量波動，
所以前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年的糧食年產(chǎn)量的方差，故C錯誤．
D選項，從小到大，選取第5個和第6個的數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，
這10年的糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為28+302=29，故 D正確；
故選：C．
4.D
【解析】解：對于A，若a⊥c，b⊥c，則a、b可能平行，可能異面，可能相交，故A錯誤；
對于B，若a/?/b，a/?/α，則b/?/α或b?α，故B錯誤；
對于C，以長方體ABCD?A′B′C′D′為例，AB/?/平面A′B′C′D′，CD/?/平面A′B′C′D′，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC與平面A′B′C′D′不垂直，故C錯誤；
對于D，設α∩β=b，α∩γ=c，
在β內(nèi)取直線e⊥b，在γ內(nèi)取直線f⊥c，
由α⊥β，α∩β=b，e⊥b，e?β，可得e⊥α，
同理可得f⊥α，故e//f，
又e?γ，f?γ，故e//γ，
又e?β，β∩γ=a，
故e//a，故a⊥α，故D正確．
故選D．
5.B
【解析】解：∵|a|=1，|b|=2，， a與 b的夾角為 45?°，
∴b在a方向上的投影向量為a·ba·aa= |a|·bcs45°·a=1×2× 22a= 2a．
6.B
【解析】解：由題意得，抽獎兩次滾動盤上出現(xiàn)兩個數(shù)字的情況為：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，?，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種情況，
兩次抽獎獎金之和為200元包括三種情況：
①第一次與第二次都中二等獎，其包含的情況為(1,3)，(3,1)，(1,1)，(3,3)，概率為P1=436=19;
②第一次中一等獎，第二次中三等獎，其包含的情況為(6,5)，(6,4)，(6,2)，概率為P2=336=112;
③第一次中三等獎，第二次中一等獎，其包含的情況為(5,6)，(4,6)，(2,6)，概率為P3=336=112；
所以該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為200元的概率為P=P1+P2+P3=518．
故選：B．
7.B
【解析】解：由題意作出圓臺的軸截面，跟外面的球的截面圓得到等腰梯形與圓外接，且兩底在圓心兩側(cè)(同側(cè)不滿足高超過1cm)
其中O為球心，O1和O2分別為圓臺的兩個底面圓圓心，
由題意易得O1D=4，O2C=3，OD=OC=5，
由勾股定理可得O1O=3，O2O=4.可得圓臺的高?=O1O2=7．
所以該圓臺的體積為V=13×7×(16π+9π+ 16π×9π)=259π3．
故選B．
8.B
【解析】解： ∵csinA+ 3acsC=0，
∴由正弦定理可得sinCsinA+ 3sinAcsC=0，
因為sinA≠0，所以sinC+ 3csC=0，
可得tanC=sinCcsC= ? 3，
由00，
所以由3bcsA=acsB，可得csA>0，
所以tanA=3tanB，且tanB>0，
所以tan(A?B)=tanA?tanB1+tanAtanB=2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB≤22 1tanB×3tanB= 33，
當且僅當1tanB=3tanB，即tanB= 33時等號成立，
又00 ，
則由 PB+PC=tPA 得 m+n=t ；
由余弦定理得 |AB|2=x2+m2x2?2mx2cs120°=m2+m+1x2 ，
|AC|2=x2+n2x2?2nx2cs120°=n2+n+1x2 ，
|BC|2=m2x2+n2x2?2mnx2cs120°=m2+n2+mnx2 ，
故由 |AC|2+|AB|2=|BC|2 得 n2+n+1x2+m2+m+1x2=m2+n2+mnx2 ，
即 m+n+2=mn ，而 m>0,n>0 ，故 m+n+2=mn≤(m+n2)2 ，
當且僅當 m=n ，結(jié)合 m+n+2=mn ，解得 m=n=1+ 3 時，等號成立，
又 m+n=t ，即有 t2?4t?8≥0 ，解得 t≥2+2 3 或 t≤2?2 3 (舍去)，
故實數(shù) t 的最小值為 2+2 3 ．
【解析】(1)根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡 cs2B+cs2C?cs2A=1 可得 a2=b2+c2 ，即可求得答案；
(2)利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運算求得正確答案；
(3)由(1)結(jié)論可得 ∠APB=∠BPC=∠APC=120° ，設 |PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x ，推出 m+n=t ，利用余弦定理以及勾股定理即可推出 m+n+2=mn ，再結(jié)合基本不等式即可求得答案．

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