甘肅省蘭州市2024屆中考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份甘肅省蘭州市2024屆中考數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共25頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、單選題
1．的絕對值是( )
A.B.C.D.
2．已知，則的補(bǔ)角是( )
A.B.C.D.
3．2024年一季度，蘭州市堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)、綜合施策，全市國民經(jīng)濟(jì)起步平穩(wěn)，開局良好.一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元.數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.B.C.D.
4．計(jì)算：( )
A.aB.C.D.
5．一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
6．如圖，小明在地圖上量得，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是( )
A.同位角相等，兩直線平行B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D.對頂角相等
7．如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點(diǎn)C，然后步測出，的中點(diǎn)D，E，并步測出的長約為，由此估測A，B之間的距離約為( )
A.B.C.D.
8．七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具，現(xiàn)將1個(gè)七巧板，2個(gè)九連環(huán)，1個(gè)華容道，2個(gè)魯班鎖分別裝在6個(gè)不透明的盒子中（每個(gè)盒子裝1個(gè)），所有盒子除里面的玩具外均相同.從這6個(gè)盒子中隨機(jī)抽取1個(gè)盒子，抽中七巧板的概率是( )
A.B.C.D.
9．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則( )
A.B.4C.D.1
10．?dāng)?shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一個(gè)問題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果，問甜果，苦果各買了多少個(gè)？設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，則可列方程組為( )
A.B.C.D.
11．如圖，在中，，，，則( )
A.B.C.D.
12．如圖1，在菱形中，，連接，點(diǎn)M從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)至D，同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)至C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形的邊長為( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．因式分解______.
14．如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點(diǎn)F，若，則______.
15．“輪動(dòng)發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動(dòng)部分的示意圖，其中，的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)，則______.
16．甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環(huán)）如圖所示，現(xiàn)有以下三個(gè)推斷：
①甲的成績更穩(wěn)定；
②乙的平均成績更高；
③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高.其中正確的是______.（填序號）
三、解答題
17．計(jì)算：.
18．解不等式組：.
19．先化簡，再求值：，其中.
20．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，連接.
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.
21．如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，.
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求的長.
22．在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號水火箭的實(shí)物圖，水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線.為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進(jìn)一步展開研究.如圖2建立直角坐標(biāo)系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處.科普員提供了該型號水火箭與地面成一定角度時(shí)，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：
（1）根據(jù)上表，請確定拋物線的表達(dá)式；
（2）請計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度.
23．觀察發(fā)現(xiàn)：勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如下：
①本條的兩端分別記為點(diǎn)M，N，先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位置記為點(diǎn)B，連接；
②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)A，B，C不在同一條直線上）；
③連接并延長，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)B的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，端點(diǎn)N在延長線上的落點(diǎn)記為點(diǎn)D；
④用另一根足夠長的木條畫線，連接，，則畫出的是直角.
操作體驗(yàn)：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，，請畫出發(fā)點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，記作；
推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請你補(bǔ)全括號里的證明依據(jù)：
證明：，
與是等腰三角形.
，.（依據(jù)1______）
.
，（依據(jù)2______）
，
.
依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；
拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差.如圖3，點(diǎn)O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上.（保留作圖痕跡，不寫作法）
24．為落實(shí)“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時(shí)代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美育發(fā)展水平，現(xiàn)從七年級共180名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，對每位學(xué)生的體育和美育水平進(jìn)行測評后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進(jìn)行等級評定（成績用x表示，分為四個(gè)等級，包括優(yōu)秀：；良好：；合格：；待提高：）.對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，描述和分析，部分信息如下.
信息一：體育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如下.
信息二：美育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下.
信息三：20位學(xué)生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計(jì)如下（共20個(gè)點(diǎn)）.
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：______；
（2）下列結(jié)論正確的是______；（填序號）
①體育成績低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的；
②參與測評的20名學(xué)生美育成績的中位數(shù)對應(yīng)的等級是“合格”；
③在信息三中，相比于點(diǎn)A所代表的學(xué)生，點(diǎn)B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升；
（3）請結(jié)合以上信息，估計(jì)七年級全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù).
25．單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下.
解決問題：根據(jù)以上信息，求的長.（結(jié)果精確到）
參考數(shù)據(jù)：，，，，，.
26．如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，延長至E，使得.
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長.
27．綜合與實(shí)踐
【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問題，如圖，在中，點(diǎn)M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且.
【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，請思考并證明：
【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2，在中，，，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，.試猜想四邊形的形狀，并說明理由；
【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在中，，，連接，，請直接寫出的最小值.
28．在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在的延長線上，使得，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱點(diǎn)P是圖形W的“延長2分點(diǎn)”，例如：如圖1，，，是線段外一點(diǎn)，在的延長線上，且，因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段上，所以點(diǎn)P是線段的“延長2分點(diǎn)”.
（1）如圖1，已知圖形：線段，，，在，，中，______是圖形的“延長2分點(diǎn)”；
（2）如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”，求b的最小值：
（3）如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點(diǎn)的等腰直角三角形上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”.請直接寫出t的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：的絕對值是，
故選：A.
2．答案：A
解析：，
補(bǔ)角為：.
故選A.
3．答案：C
解析：數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為.
故選：C.
4．答案：D
解析：
故選：D.
5．答案：B
解析：，，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限；
故選：B.
6．答案：B
解析：，
福大街與平安大街互相平行，
判斷的依據(jù)是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，
故選：B.
7．答案：C
解析：點(diǎn)D，E，分別為，的中點(diǎn)，
為的中位線，
；
故選：C.
8．答案：D
解析：一共6個(gè)盒子里面有6個(gè)益智玩具，6個(gè)益智玩具中有1個(gè)七巧板，
從這6個(gè)盒子中隨機(jī)抽取1個(gè)盒子，抽中七巧板的概率是：，
故選：D.
9．答案：D
解析：關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：，
故選：D.
10．答案：A
解析：設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，由題意，得：
；
故選A.
11．答案：B
解析：，，
，
，
，
.
故選：B.
12．答案：C
解析：根據(jù)題意知，，，
四邊形為菱形，，
，
過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)O，如圖，
則，
那么，的面積為，
設(shè)菱形的邊長為a，
，
點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)到達(dá)點(diǎn)D和點(diǎn)C，此時(shí)的面積達(dá)到最大值為，
，解得，（負(fù)值舍去），
.
故選：C.
13．答案：
解析：.
故答案為：.
14．答案：2
解析：四邊形為正方形，為等邊三角形，，，
，，，，
，
；
故答案為：2.
15．答案：108
解析：根據(jù)題意得：點(diǎn)P移動(dòng)的距離為，
，
解得：.
故答案為：108.
16．答案：①②
解析：根據(jù)圖象可知甲的波動(dòng)比乙小，則甲的成績更加穩(wěn)定，故①正確；根據(jù)圖象可知甲的平均成績穩(wěn)定在5以下，而乙的平均成績穩(wěn)定在7.5左右，則乙的平均成績更高，故②正確；如果每人再射擊一次，但乙的成績不一定比甲高，只能是可能性較大，因?yàn)橐业钠骄煽兏?，但是波?dòng)較大，故③錯(cuò)誤.
故答案為：①②.
17．答案：
解析：原式
.
18．答案：
解析：，
由①，得：；
由②，得：；
不等式組的解集為：.
19．答案：，
解析：原式
；
當(dāng)時(shí)，原式.
20．答案：（1），
（2）
解析：（1）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，
，，
，，
反比例函數(shù)為：，一次函數(shù)的解析式為：.
（2），
，
軸于點(diǎn)C，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，
點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4.
，，
，，
，
過點(diǎn)B作軸交一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作與點(diǎn)F，
，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，
，
把代入，得，
，
點(diǎn)，
，
.
21．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：，D是BC的中點(diǎn)，
，
，
，
，
又，
，
四邊形是矩形.
（2）由（1）可知四邊形是矩形.
，，，
D是的中點(diǎn)，
，
在中，，
，
，
即，
.
22．答案：（1）拋物線的表達(dá)式
（2）水火箭距離地面的豎直高度5米
解析：（1）根據(jù)題意可知拋物線過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式，
由表格得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，
則拋物線的表達(dá)式.
（2）由題意知，則，
那么，水火箭距離地面的豎直高度5米.
23．答案：（1）見詳解
（2）等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理
（3）見詳解
解析：（1）
（2）依據(jù)1：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理；
故答案為：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；
（3）
24．答案：（1）4
（2）①③
（3）18
解析：（1），
故答案為：4.
（2）①根據(jù)20位學(xué)生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計(jì)圖可知：
體育成績低于80分的人數(shù)有8人，
體育成績低于80分的人數(shù)有占抽取人數(shù)的，故①正確.
②一共有20人，成績從小到大排序，中位數(shù)為第10位和第11位的平均數(shù)，
中位數(shù)位于之間，
即參與測評的20名學(xué)生美育成績的中位數(shù)對應(yīng)的等級是“良好”，故②錯(cuò)誤.
③在信息三中，點(diǎn)A的美育成績?yōu)?0，體育成績?yōu)?0，點(diǎn)B的美育成績?yōu)?0，體育成績?yōu)?0，所以相比于點(diǎn)A所代表的學(xué)生，點(diǎn)B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升，故③正確，
故有①③正確，
故答案為①③.
（3）根據(jù)信息三，可知：美育和體育成績都在90分以及以上的只有2人.
故七年級全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)有人.
25．答案：的長為
解析：，，；
，
，
，
，，
，
；
的長為.
26．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）連接，則：，
，
為的直徑，
，
，
，，
，
，
，
，
，即：，
，
是的半徑，
是的切線；
（2），
，
由（1）知：，
，
由（1）知：，
又，
，
，
，，
，即：，
解得：（舍去）或，
.
27．答案：（1）見詳解
（2）四邊形為平行四邊形
（3）
解析：（1）證明：為等邊三角形，
，，
繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，，
，
；
（2）四邊形為平行四邊形，理由如下，
，，
，
繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，
則，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
則四邊形為平行四邊形.
（3）如圖，過點(diǎn)A作，使，連接、，，延長，過點(diǎn)G作于點(diǎn)O，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)G、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的最小值為.
28．答案：（1），
（2）
（3）或
解析：（1）作線段以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似圖形，
，，
，，
點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”，
點(diǎn)P在線段上，
，在線段上，
，是圖形的“延長2分點(diǎn)”；
故答案為：，；
（2）作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似圖形，如圖，
，，
，，
直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”，
直線與有交點(diǎn)，
當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，b值最小，
把，代入，得：，
b的最小值為；
（3）作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似，
，，，
，，，
等腰直角三角形上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”，
當(dāng)與有交點(diǎn)時(shí)，滿足題意，
當(dāng)與相切時(shí)，如圖，則：或，
時(shí)，滿足題意；
當(dāng)與相切時(shí)，且切點(diǎn)為G，連接，則：，
為等腰直角三角形，
為等腰直角三角形，
，，，，
軸，
，
以為圓心，半徑為1的，
T點(diǎn)在直線上，，
，
，
或，
；
綜上：或.
水平距離
0
3
4
10
15
20
22
27
豎直高度
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24
分組
人數(shù)
m
7
2
7
實(shí)驗(yàn)主題
探究擺球運(yùn)動(dòng)過程中高度的變化
實(shí)驗(yàn)用具
擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等
實(shí)驗(yàn)說明
如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運(yùn)動(dòng).（擺線的長度變化忽略不計(jì)）
如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，，，；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，，.（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）
實(shí)驗(yàn)圖示