1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)?z=|1+i|，則z?=( )
A. 22? 22iB. ? 22? 22iC. 22+ 22iD. ? 22+ 22i
2.已知△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足PA+PB+PC=0，則AP=( )
A. 12AB+12ACB. 13AB+13ACC. 12AB+13ACD. 13AB+12AC
3.已知a、b為單位向量，且|a?2b|=|a+b|，則a、b的夾角為( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.已知向量a=(1,?2)，b=(x,?1)，c=(?4,x)，若2a+b，a?c反向共線，則實(shí)數(shù)x的值為( )
A. ?7B. 3C. 3或?7D. ?3或7
5.下列命題正確的是( )
A. 有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱
B. 有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐
C. 有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱
D. 用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺(tái)
6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b= 13c,D，D為邊BC上一點(diǎn)，CD=2BD=2，AD= 3，則△ABC的面積為( )
A. 34B. 34C. 3 34D. 3 32
7.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB/?/CD，AB=5，AD=4，DC=1，E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=4EB，動(dòng)點(diǎn)P在以E為圓心，1為半徑的圓上，則DP?AC的最大值為( )
A. 3? 21
B. 2 3?6
C. 21?6
D. ? 3
8.已知某圓錐的母線長為3 5，底面積為9π，記該圓錐的體積為V，若用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐，且截去一個(gè)體積為V27的小圓錐，則剩余幾何體的外接球的表面積為( )
A. 60πB. 40πC. 30πD. 20π
9.已知等邊△ABC的邊長為6，D在AC上且AD=2DC，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則|AE+BD|的取值范圍為( )
A. [2 3,4]B. [2 3,2 7]C. [4,2 7]D. [4,6]
10.如圖，△ABC是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若AD=4，BD=2，點(diǎn)M為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則(AM?BC)?MD的最大值為( )
A. 169
B. 214
C. 6
D. 10
二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
11.已知復(fù)數(shù)z1，z2∈C，下列結(jié)論正確的有( )
A. 若z=z1z2，|z|=|z1||z2|
B. 若|z1|=|z2|，則z1=±z2
C. 若復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1+z2|=|z1?z2|，則z1?z2=0
D. 若|z1?i|=1，則|z1+i|的最大值為3
12.下列命題中正確的是( )
A. 兩個(gè)非零向量a，b，若|a?b|=|a|+|b|，則a與b共線且反向
B. 已知c≠0，且a?c=b?c，則a=b
C. 若OA?=(3,?4)，OB=(6,?3)，OC=(5?m,?3?m)，∠ABC為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>?34
D. 若AC?AB>|AB|2，則△ABC為鈍角三角形
13.如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′=O′A′=2O′B′=2，則以下說法正確的是( )
A. △ABC是鈍角三角形
B. △ABC的面積是△A′B′C′的面積的2倍
C. △ABC是等腰直角三角形
D. △ABC的周長是4+4 2
14.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，e1,e2分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量.若向量OP=a=xe1+ye2，則把有序數(shù)對(x,y)叫做向量OP在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).若在坐標(biāo)系xOy中，a=(2,1),b=(?4,5)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. a?b=?3B. |a|= 7
C. a⊥bD. a+b與a的夾角為π3
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
15.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=3，一小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā)沿長方體的表面爬到頂點(diǎn)C1，則小蟲走過的最短路線的長為______．
16.已知非零向量a、b、c兩兩不平行，且a//(b+c)，b//(a+c)，設(shè)c=xa+yb，x，y∈R，則x+2y= ______．
17.如圖，點(diǎn)P為∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，|PA|=1，∠BAP=30°，∠CAP=45°，過點(diǎn)P作直線分別交射線AB，AC于D，E兩點(diǎn)，則1|PD|+1|PE|的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共61分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
18.(本小題12分)
設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z=(2+i)m2?3(i+1)m?2(1?i)．
(1)當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)？
(2)當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第二象限？
19.(本小題12分)
已知向量a=(?1,0),b=(m,1)，且a與b的夾角為π4．
(1)求m及|a+2b|；
(2)若a+λb與a+2b所成的角是銳角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
20.(本小題12分)
如圖，在△ABC中，已知|AB|=3，|AC|=2 3，∠BAC=30°，且BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P．
(1)求|AP|；
(2)求∠MPN的余弦值．
21.(本小題12分)
如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD．
(1)若cs∠ADC=?14，AC=8，AD=4，求AB；
(2)若△ABC是銳角三角形，B=π3，求BDAB的取值范圍．
22.(本小題13分)
“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識解決下面問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cs2B+cs2C?cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求PA?PB+PB?PC+PC?PA；
(3)設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|PB|+|PC|=t|PA|，求實(shí)數(shù)t的最小值．
參考答案
1.A
2.B
3.B
4.A
5.C
6.C
7.C
8.B
9.B
10.D
11.AD
12.AD
13.CD
14.BCD
15. 41
16.?3
17.1+ 3
18.解：(1)由題意得，z=2m2+m2i?3mi?3m?2+2i=(2m2?3m?2)+(m2?3m+2)i，
當(dāng)z是純虛數(shù)時(shí)，2m2?3m?2=0m2?3m+2≠0，解得m=?12，
即m=?12時(shí)，z是純虛數(shù)．
(2)當(dāng)z在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第二象限時(shí)，2m2?3m?20，解得?12?35λ≠2，
解得λ>?35且λ≠2，
所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(?35,2)∪(2,+∞)．
20.解：(1)設(shè)AP=tAM，
則根據(jù)題意可得AP=tAM=t2(AB+AC)=t2AB+tAN，
又P，B，N三點(diǎn)共線，∴t2+t=1，∴t=23，
∴AP=13(AB+AC)，
∴AP2=19(AB2+AC2+2AB?AC)=19×(9+12+2×3×2 3× 32)=399，
∴|AP|= 393；
(2)∵AM=12(AB+AC)，BN=AN?AB=?AB+12AC，
∴AM?BN=12(AB+AC)?(?AB+12AC)
=12(?AB2+12AC2?12AB?AC)
=12×(?9+12×12?12×3×2 3× 32)=?154，
|AM|=12 (AB+AC)2=12× 9+12+2×3×2 3× 32= 392，
|BN|= (?AB+12AC)2= 9+14×12?3×2 3× 32= 3，
∴cs∠MPN=cs=AM?BN|AM||BN|=?154 392× 3=?5 1326．
21.解：(1)根據(jù)余弦定理，在△ACD中，
cs∠ADC=AD2+CD2?AC22×CD×AD=CD2?488CD=?14，
則CD=6，所以BC=23CD=9，
則cs∠C=CD2+AC2?AD22×CD×AC=36+64?162×6×8=78，
在△ABC中，
AB2=AC2+BC2?2AC×BC×csC
=64+81?2×8×9×78=19，
所以AB= 19；
(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，

設(shè)BC=3，AB=t，又CD=2BD，則BD=1，
則A(?t2, 32t)，B(0,0)，C(?3,0)，
則CA=(?t2+3, 32t)，CB=(3,0)，AC=(t2?3,? 32t)，AB=(t2,? 32t)，
由△ABC是銳角三角形，可得CA?CB>0AC?AB>0，
即3(?t2+3)>0t2(t2?3)+3t24>0，解得320，x>0，
則由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2?2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2?2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2?2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n，結(jié)合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3時(shí)，等號成立，
又m+n=t，即有t2?4t?8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2?2 3(舍去)．
故實(shí)數(shù)t的最小值為2+2 3．

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