【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.結(jié)合實(shí)例,借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.
知識(shí)梳理·歸納1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步,確定函數(shù)的________;第2步,求出導(dǎo)數(shù)f'(x)的______;第3步,用f'(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間,列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負(fù),由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.
常用結(jié)論 1.若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則x∈(a,b)時(shí),f'(x)≥0恒成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,則x∈(a,b)時(shí),f'(x)≤0恒成立.2.若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則x∈(a,b)時(shí),f'(x)>0有解;若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則x∈(a,b)時(shí),f'(x)0在[1,2]上有解,即a>-2x2-x在[1,2]上有解,所以a>(-2x2-x)min,又(-2x2-x)min=-10,所以a>-10,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-10,+∞).
(2)(2023·全國(guó)乙卷)設(shè)a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是______________.?
解題技法1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小,其關(guān)鍵是判斷已知(或構(gòu)造后的)函數(shù)的單調(diào)性,利用其單調(diào)性比較大小.2.與函數(shù)有關(guān)的不等式,要充分挖掘條件關(guān)系,恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性,從而解不等式.
3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的方法:(1)利用集合間的包含關(guān)系處理:y=f(x)在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上,f'(x)不恒為零,應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則會(huì)漏解.(3)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào),則轉(zhuǎn)化為f'(x)=0在(a,b)上有解(需驗(yàn)證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)).
2.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x),且滿(mǎn)足f'(x)x2-1的解集是(　　)A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,2)
【解析】選D.令g(x)=f(x)-x2,則g'(x)=f'(x)-2xx2-1可化為f(x)-x2>-1,而g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以該不等式可化為g(x)>g(2),故該不等式的解集為(-∞,2).

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