本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.
一、選擇題（共9題，每題5分，滿分45分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
2. 設(shè)，，則是（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 不等式的解集是（）
A. 或B. 或
C. D.
4. 已知，則的大小關(guān)系是（）
AB. C. D.
5. 函數(shù)，則（）
A. B. 1C. D. 2
6. 設(shè)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）
A. 11B. C. 13D.
7. 已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）
A. -1B. -2
C. -4D. -8
8. 設(shè)，則下面的不等式不正確的是（）
AB.
C. D.
9. 已知函數(shù)，則不等式的解集為（）
AB. C. D.
二、填空題（共6題，每題5分，滿分30分，將答案填寫在答案卡上）
10. 命題：，，則命題的否定為______.
11. 函數(shù)的定義域為______.
12. 已知，，若是充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是_______.
13. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2,則實數(shù)______.
14. 已知，，且，則的最小值為______.
15. 已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為______.
三、解答題（共5題，滿分75分.必要的文字說明，解答過程和演算步驟不能省略）
16. （1）計算
（2）計算.
17. 已知集合，.
（1）當(dāng)時，求，；
（2）求能使成立的的取值范圍.
18. 設(shè)函數(shù).
（1）若對于一切實數(shù)恒成立，求的取值范圍；
（2）解不等式.
19. 已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
20. 已知函數(shù)的定義域為，并且滿足下列條件：①；②對任意，都有；③當(dāng)時，.
（1）證明：為奇函數(shù).
（2）解不等式.
（3）若對任意的，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期期中聯(lián)考
高一數(shù)學(xué)
本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.
一、選擇題（共9題，每題5分，滿分45分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定義可求得集合.
【詳解】因為，，則.
故選：B.
2. 設(shè)，，則是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.
【詳解】因為?，因此，是的必要不充分條件.
故選：B.
3. 不等式的解集是（）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【詳解】因為，所以，
即不等式的解集是.
故選：D.
4. 已知，則的大小關(guān)系是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】運用介值法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】因為，，
又因為在上單調(diào)遞增，，
所以，即.
故選：D.
5. 函數(shù)，則（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由解析式代入計算函數(shù)值即可.
【詳解】設(shè)，得，則.
故選：A.
6. 設(shè)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）
A. 11B. C. 13D.
【答案】C
【解析】
【分析】由為上的奇函數(shù)可得，，代入計算即可求解.
【詳解】因為為上的奇函數(shù)，
所以，，
又當(dāng)時，，
所以，
所以.
故選：C.
7. 已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）
A. -1B. -2
C. -4D. -8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出冪函數(shù)的解析式，從而得出的表達式，然后再求的最小值.
【詳解】因為冪函數(shù)的圖像過點，所以，得，
所以，則顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以所求最小值為.
故選：D
8. 設(shè)，則下面的不等式不正確的是（）
AB.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及基本不等式，結(jié)合特例法逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，正確；
對于B，取，，不正確；
對于C，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，正確；
對于D，由不等式，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，兩邊同除，可得成立，正確；
故選：B
9. 已知函數(shù)，則不等式的解集為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，問題轉(zhuǎn)化為，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解即可得解.
【詳解】，，，
所以不等式可轉(zhuǎn)化為，
又在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞增，
進而在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
，解得，
所以原不等式的解集為.
故選：A.
二、填空題（共6題，每題5分，滿分30分，將答案填寫在答案卡上）
10. 命題：，，則命題的否定為______.
【答案】，，
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題易求.
【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：
命題：，否定為，.
故答案為：，
11. 函數(shù)的定義域為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)解析式有意義列不等式組求解可得.
【詳解】由題可知，解得且，
所以的定義域為.
故答案為：
12. 已知，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知條件可得出集合的包含關(guān)系，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為是的充分不必要條件，則?，
所以，，解得.
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2,則實數(shù)______.
【答案】或.
【解析】
【分析】由函數(shù)對稱軸與區(qū)間關(guān)系，分類討論求出最大值且等于2，解關(guān)于的方程，即可求解.
【詳解】函數(shù)，
對稱軸方程為為；
當(dāng)時，；
當(dāng)，
即（舍去），或（舍去）；
當(dāng)時，，
綜上或.
故答案為:或.
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與最值，考查分類討論思想，屬于中檔題.
14. 已知，，且，則的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將原式化為，再由基本不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即或時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
15. 已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列式求解.
【詳解】對任意的實數(shù)，都有成立，
所以函數(shù)在R上為減函數(shù)，可得，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
三、解答題（共5題，滿分75分.必要的文字說明，解答過程和演算步驟不能省略）
16. （1）計算
（2）計算.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】（1）利用實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算即可；
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.
【詳解】（1）原式.
（2）原式.
17. 已知集合，.
（1）當(dāng)時，求，；
（2）求能使成立的的取值范圍.
【答案】（1），.
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用交集、并集運算求解即可；
（2）由得，分類討論列不等式組求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，又，
所以，.
【小問2詳解】
因為，所以，
又集合，，
當(dāng)時，，即，這時.
當(dāng)時，有，解得.
綜上，實數(shù)a的取值范圍為或.
18設(shè)函數(shù).
（1）若對于一切實數(shù)恒成立，求的取值范圍；
（2）解不等式.
【答案】18.
19. 答案見解析.
【解析】
【分析】（1）分成二次項系數(shù)為0和不為0兩種情況，當(dāng)二次項系數(shù)不為0時滿足開口向下且；
（2）因式分解后對參數(shù)分類討論即可.
【小問1詳解】
①若，此時恒成立；
②若，要使得恒成立，則，解得，
所以；
【小問2詳解】
，即，
即，
若，則解集為；
若，此時不等式無解；
若，則解集為
19. 已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）在上是增函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性得，解得的值；最后代入驗證；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可直接下結(jié)論，然后利用單調(diào)性的定義證明；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性將不等式化簡為對于恒成立，再根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，最后根據(jù)函數(shù)最值得結(jié)果.
【小問1詳解】
函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，
由，得，即有，
下面檢驗：，
且定義域為關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，故符合；
【小問2詳解】
在上是增函數(shù).證明如下：
設(shè)任意，，
由于，則，即有，則有，
故在上是增函數(shù)；
【小問3詳解】
因為對任意，不等式恒成立，
所以對于恒成立，
因為是定義域在上的奇函數(shù)，所以對于恒成立，
又在上是增函數(shù)，所以，即對于恒成立，
而函數(shù)在上的最大值為，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
20. 已知函數(shù)的定義域為，并且滿足下列條件：①；②對任意，都有；③當(dāng)時，.
（1）證明：為奇函數(shù).
（2）解不等式.
（3）若對任意的，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用賦值法先求出，再令即可得證；
（2）先證明函數(shù)在上是減函數(shù)，再求得，最后將不等式轉(zhuǎn)化為求解即可；
（3）將題意轉(zhuǎn)化為，恒成立即可.
【小問1詳解】
由題意函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，
令，則，故.
令，則，故.
故為奇函數(shù).
【小問2詳解】
任取，且.
由題意，，，
故，即，
又，故在上為減函數(shù).
因為，所以，，
故即，
即，化簡可得，解得.
【小問3詳解】
由（2）知在上為減函數(shù)，故在上最大值為.
要使對任意的，恒成立，則，即對任意恒成立.
又是關(guān)于的一次函數(shù)，故只需，
即，解得.

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