考試時間：2024年7月2日；試卷滿分：150分
?？荚図樌?br>注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2.一個射擊運(yùn)動員打靶6次的環(huán)數(shù)為：9，5，7，6，8，7下列結(jié)論不正確的是（ ）
A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7B.這組數(shù)據(jù)的方差為7
C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7D.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7
3.設(shè)m，n是兩條直線，，是兩個平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A.若，，，則
B.若，，，則
C.若，，，則
D.若，，，則
4.下列結(jié)論正確的是（ ）
A.平行向量不一定是共線向量B.單位向量都相等
C.兩個單位向量之和不可能是單位向量D.
5.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A.快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上
B.快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多
C.快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多
D.快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%
6.如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為2，E為棱PA的中點(diǎn)，則異面直線BE與PC所成角的余弦值為（ ）
A.B.C.D.
7.如圖，E，F(xiàn)分別為平行四邊形邊AD的兩個三等分點(diǎn)，分別連接BE，CF，并延長交于點(diǎn)，連接OA，OD，則（ ）
A.B.C.D.
8.已知矩形，，，將沿BD折起到.若點(diǎn)在平面上的射影落在的內(nèi)部（不包括邊界），則四面體的體積的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9.武漢某中學(xué)為了加強(qiáng)食堂用餐質(zhì)量，該校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，根據(jù)這100名學(xué)生對食堂用餐質(zhì)量給出的評分?jǐn)?shù)據(jù)，分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.該樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)均為85
C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)低于85分，則認(rèn)為食堂需要整改，根據(jù)此樣本我們認(rèn)為該校食堂需要整改
D.為了解評分較低的原因，該校從評分低于80分的學(xué)生中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取18人座談，則應(yīng)選取評分在的學(xué)生4人
10.下列命題中正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.已知，，是關(guān)于的方程的一個根，則
D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為
11.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.B.的取值范圍為
C.的取值范圍為D.的取值范圍為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.水平放置的的直觀圖如圖所示，已知，，則AB邊上的中線的實(shí)際長度為___________.
13.某學(xué)生5次上學(xué)途中所花的時間（單位：分）分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則的值為___________.
14.在銳角中，，它的面積為10，，E，F(xiàn)分別在AB、AC上，且滿足，對任意，恒成立，則___________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題13分）
已知，，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，，對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.
（1）求；
（2）已知四點(diǎn)A、B、C、D組成平行四邊形，求D點(diǎn)坐標(biāo)以及的值.
16.（本小題15分）
在如圖所示的四棱雉中，已知平面，，，，，E為PD的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求直線EC與平面PAC所成角的正切值.
17.（本小題15分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；
（3）已知落在的平均成績是56，方差是7，另一組落在已知內(nèi)，且兩組成績的總平均數(shù)為62和總方差為23.求落在的平均成績以及方差.
18.（本小題17分）
如圖，在三棱臺中，底面為等邊三角形，平面，，其中為BC上的點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
19.（本小題17分）
定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的“相伴向量”的坐標(biāo)；
（2）記的“相伴函數(shù)”為，設(shè)函數(shù)，，若方程有四個不同實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)，滿足條件：，且向量的“相伴函數(shù)”在時取得最大值，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，求的取值范圍.
高一數(shù)學(xué)參考答案
選擇題
8.D解析：，，
.
11.ACD解析：，，，故A項正確.
因?yàn)锳、B、C均為銳角，所以，即，解得，故B項錯誤.
對于C項，由正弦定理得，，.故C項錯誤.
對于D項，由A項知，，由B項知，，所以，
，，令，則，所以，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，即范圍為，故D項正確.
三、填空題
12.13.414.
14.解析：因的面積為10，且，則有，解得，由圖知表示直線AB上一點(diǎn)到點(diǎn)的向量，而則表示直線AB上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離，由對任意恒成立可知，的長是點(diǎn)到直線AB上的點(diǎn)的最短距離，此時，同理可得.如圖所示，因，由可得：，由可得：，由銳角可得A是銳角，故是鈍角，于，于是
.
四、解答題（本大題共6小題，共70分）
15.（1），，，，，，，.
（2），，，
故，，.
16.（1）取PA的中點(diǎn)，連接BM，ME，則且，
又因?yàn)榍遥?br>所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）證明：因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，又因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)椋?，平面，所以平?
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（3）解：取PC的中點(diǎn)，連接EF，則，
由（2）知平面，則平面，
所以為直線EC與平面所成的角.
因?yàn)?，?br>所以.即直線EC與平面所成角的正切值為.
18.（1）由每組小矩形的面積之和為1得，，所以.
（2）成績落在內(nèi)的頻率為，
落在內(nèi)的頻率為，
顯然第75百分位數(shù)，由，
解得，所以第75百分位數(shù)為84.
（3）由頻率分布直方圖知，成績在的市民人數(shù)為，
成績在的市民人數(shù)為，所以的平均數(shù)為x，方差為，；，則.
由樣本方差計算總體方差公式，得總方差為，計算可得方差為4.
18.解析：（1）連接，與交于E，連接DE，
因?yàn)椋?，，所以?br>又，所以，，
又平面，平面，所以平面.
（2）取AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接BF，F(xiàn)G，GB，
所以，又平面，則平面，
在直角中，，，則，
又，，則，得，
因?yàn)锳C的中點(diǎn)的中點(diǎn)，所以，
則，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>在直角中，，，則，
所以為等腰三角形，又，為的中點(diǎn)，
所以，，
所以為平面與平面的夾角，
，
所以平面與平面夾角的余弦值，
19.解析：（1）解：
，
所以函數(shù)的相伴向量.
（2）解：由題知：，
所以.
①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，.
所以，
可求得在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減且，，，，，
圖像與有且僅有四個不同的交點(diǎn)，，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
（3）解：的“相伴函數(shù)”，
其中，，.
當(dāng)，即，時取得最大值.
所以，
當(dāng)時，此時，，，所以無意義，
當(dāng)時，所以，
令，則，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以時，
所以.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
A
D
B
C
C
D
AC
CD
ACD

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