一、選擇題
1．設(shè)全集,集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足,則( )
A.B.C.D.
3．已知M,N是圓O上的兩點(diǎn),若,則( )
A.3B.C.9D.
4．已知函數(shù)（,,）的部分圖象如圖所示,則( )
A.B.
C.D.的最小正周期為
5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)F到其一條漸近線的距離為1,則E的離心率為( )
A.B.C.2D.
6．在的展開式中,的系數(shù)是( )
A.-5B.5C.-10D.10
7．從裝有3個白球、5個紅球的箱子中無放回地隨機(jī)取兩次,每次取一個球,A表示事件“兩次取出的球顏色相同”,B表示事件“兩次取出的球中至少有1個是紅球”,則( )
A.B.C.D.
8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,且滿足,,,,都有,若,,,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說法正確的是( )
A.數(shù)據(jù)2,7,4,5,16,1,21,11的中位數(shù)為5
B.當(dāng)時,當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時,有
C.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,若,則
D.已知一系列樣本點(diǎn)（,2,3,…,n）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,若樣本點(diǎn)與的殘差相等,則
10．已知拋物線,直線l過C的焦點(diǎn)F,且與C交于M,N兩點(diǎn),則( )
A.C的準(zhǔn)線方程為
B.線段的長度的最小值為4
C.存在唯一直線l,使得F為線段的中點(diǎn)
D.以線段為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切
11．已知圓柱的高為,線段與分別為圓與圓的直徑,則( )
A.若P為圓上的動點(diǎn),,則直線與所成角為定值
B.若為等邊三角形,則四面體的體積為
C.若,且,則
D.若,且與所成的角為,則四面體外接球的表面積為或
三、填空題
12．已知平面向量,,若,則________________.
13．3月19日,習(xí)總書記在湖南省常德市考察調(diào)研期間來到河街,了解歷史文化街區(qū)修復(fù)利用等情況,這片歷史文化街區(qū)匯聚了常德高腔、常德絲弦、桃源刺繡、安鄉(xiāng)木雕、澧水船工號子等品類繁多的非遺項(xiàng)目.現(xiàn)為了更好的宣傳河街文化,某部門召集了200名志愿者,根據(jù)報名情況得到如下表格：
若從這200名志愿者中按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取20人進(jìn)行培訓(xùn),再從這20人中隨機(jī)選取3人聘為宣傳大使,記X為這3人中來自澧水船工號子的人數(shù),則X的數(shù)學(xué)期望為_________________.
14．已知函數(shù),且時,,則的取值范圍為________________.
四、解答題
15．的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.
(1)求角A的大?。?br>(2)若,的面積為,求的周長.
16．已知橢圓過點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l過點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)最大時,求直線l的方程.
17．如圖,四棱錐中,平面,,,.
(1)證明：;
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
18．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.
(1)求,的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的最大項(xiàng);
(3)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前30項(xiàng)和（,）.
19．已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對任意恒成立,求整數(shù)a的最小值.
參考答案
1．答案：A
解析：由題意得,所以,.
故選：A.
2．答案：D
解析：由,
得.
故選：D.
3．答案：B
解析：設(shè)C為的中點(diǎn),連接,如圖,
則,
所以.
故選：B.
4．答案：C
解析：由圖象可知,,故A錯誤;
由圖象知,,所以,,故BD錯誤;
因?yàn)閳D象過點(diǎn),且在減區(qū)間上,
所以,即,,
解得,,又,所以,即,
又圖象過點(diǎn),所以,即,所以,
所以,故C正確.
故選：C.
5．答案：A
解析：由題意可知,雙曲線焦點(diǎn)在x軸,,右焦點(diǎn)到漸近線的距離,
所以,,.
故選：A.
6．答案：A
解析：由多選式乘法知,只需求出展開式中與項(xiàng)的系數(shù),即可得解,
由組合知識可知,的系數(shù)為,項(xiàng)的系數(shù)為,
故在的展開式中,的系數(shù)是.
故選：A
7．答案：D
解析：由于我們不考慮兩次取球的順序,故可以視為從該箱子中一次性隨機(jī)取出兩個球.
從而,,
故.
故選：D
8．答案：C
解析：由,可得,
即,
再令得：,所以,即函數(shù)是以6為周期的函數(shù),所以,,
由可得關(guān)于對稱,又因?yàn)?單調(diào)遞增,所以當(dāng),單調(diào)遞減,
因?yàn)?所以,即.
故選：C
9．答案：BC
解析：對A,數(shù)據(jù)由小到大排列為1,2,4,5,7,11,16,21,其中位數(shù)為,故A錯誤;
對B,當(dāng)時,,即,所以事件A與B相互獨(dú)立,故B正確;
對C,隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,且,
所以,由正態(tài)分布的對稱性知,,故C正確;
對D,由可知,與的殘差分別為,,
所以由可得,故D錯誤.
故選：BC.
10．答案：BCD
解析：對于A,拋物線的準(zhǔn)線方程為,故A錯誤;
對于B,,
由題意可得直線的斜率不等于零,設(shè)方程為,,,
聯(lián)立,消x得,,
則,所以,
所以,時取等號,
所以線段的長度的最小值為4,故B正確;
對于C,由B選項(xiàng)得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,
若點(diǎn)F為線段的中點(diǎn),
則,解得,
所以存在唯一直線,使得F為線段的中點(diǎn),故C正確;
對于D,由C選項(xiàng)知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,
則中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,
所以以線段為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切,故D正確.
故選：BCD.
11．答案：ACD
解析：對于A,如圖①所示,
當(dāng)時,則,
又因?yàn)?
所以為直角三角形,
且,（r圓半徑）,
故與所成角即為與所成角,
即為定值,故A正確;
對于B,如圖②所示,
當(dāng)為等邊三角形時,即,
因?yàn)闉橹悬c(diǎn),
所以,,,
又因?yàn)?且,平面,平面,
所以平面.
又因?yàn)?即,故,
所以,
故B錯誤;
對于C,如圖③所示,分別以為x軸,過垂直于為y軸,為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)?即,由B選項(xiàng)可知,
則,,,
所以,,
所以,
所以,故C正確;
對于D,如圖③所示,分別以為x軸,過垂直于為y軸,為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
所以,,
因?yàn)榕c所成角位,
所以,
解得或.
設(shè)四面體外接圓半徑為R,
當(dāng)時,則,故外接球表面積為;
當(dāng)時,則,故外接球表面積為;
故D正確.
故選：ACD.
12．答案：
解析：因?yàn)?
所以,解得,
故,
所以.
故答案為：.
13．答案：
解析：由題意得樣本中澧水船工號子的人數(shù)為,所以X可取0,1,2,
并且服從超幾何分布,
,,,
所以.
故答案為：.
14．答案：
解析：作出函數(shù)的圖象,如圖所示,
因?yàn)闀r,,
由圖可知,,
則,
即,所以,所以,
由函數(shù)關(guān)于對稱,可得,
所以,
因?yàn)?所以,
即的取值范圍為.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)?
由正弦定理可得,
又,,所以,
又,所以;
（2）由,得,
由余弦定理得,
又因?yàn)?
所以,
所以,所以,
所以的周長為.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意得,解得,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,方程為,
此時,
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)方程為,,
聯(lián)立,消y得,
恒成立,故,
則,,
所以
,
令,,則,
所以
,
當(dāng),即時,取得最大值3,此時,
綜上所述,當(dāng)最大時,求直線l的方程為.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)因?yàn)?,
所以,所以,
所以,
因?yàn)槠矫?平面,
所以,
又,,平面,
所以平面,
又平面,所以;
(2)設(shè),
如圖,以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
由（1）得,,,
故,,
則,,,
故,,
設(shè)平面的法向量為,
則有,可取,
因?yàn)槠矫?
所以即為平面的一條法向量,
故,
即平面與平面夾角的余弦值為.
18．答案：(1),,
(2)3
(3)
解析：(1)因?yàn)?
所以當(dāng)時,解得,
當(dāng)時,由,解得,
當(dāng)時,,
則,
化簡得,而,所以,
所以數(shù)列為等差數(shù)列,所以.
(2)由（1）知,,則,
所以,
因?yàn)?當(dāng)或時,取最大值3,
所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第2項(xiàng)或第3項(xiàng),其值為3.
（3）由題可知,當(dāng),時,
,
所以,
當(dāng),時,,
所以,
,
相減得,,
所以,
所以
19．答案：(1)
(2)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(3)1
解析：(1)當(dāng)時,,,
所以,,
所以切線方程為,即.
(2)因?yàn)?
所以,
設(shè),
則,
又因?yàn)?所以,即單調(diào)遞增,
又因?yàn)?所以時,,即;
時,,即,
綜上可知,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(3)因?yàn)閷θ我夂愠?
即,,
即,
即,
設(shè),則,
易知單調(diào)遞增,所以,
所以單調(diào)遞增,則原不等式等價于,
即 對任意恒成立,
所以,令,則,
又因?yàn)?
令,則,所以單調(diào)遞減;
又因?yàn)?,
所以,,
所以時,,即,單調(diào)遞增;
時,,即,單調(diào)遞減;
所以,
所以,而,
所以整數(shù)a的最小值為1.
項(xiàng)目
常德高腔
常德絲弦
桃源刺繡
安鄉(xiāng)木雕
澧水船工號子
志愿者人數(shù)
30
60
50
40
20

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