時(shí)量：120分鐘 滿分：150分
得分：______
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
★1.命題“，”的否定為（ ）
A.，B.，
C.，D.，
2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A.B.C.D.
★3.下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（ ）
A.B.
C.D.
4.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A.B.C.84D.672
★5.若，，則等于（ ）
A.B.C.D.
6.如圖，在下列各正方體中，為正方體的一條對(duì)角線，、分別為所在棱的中點(diǎn)，則滿足的是（ ）
A.B.C.D.
7.直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
8.在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，如：歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1、2）；（與9互素有1、2、4、5、7、8）.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A.B.
C.D.
二、選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
★9.設(shè)，，且，則（ ）
A.的最大值為B.的最小值為1
C.的最小值為D.的最小值為
10.已知函數(shù)，則（ ）
A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.的值域是
C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.為偶函數(shù)
11.在正方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.當(dāng)平面時(shí)，不可能垂直
B.若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C.當(dāng)時(shí)，的最小值為
D.當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分；共15分.
★12.設(shè)事件，相互獨(dú)立，且，，則______.
13.已知圓錐的底面半徑為6，側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球（圓錐的側(cè)面和底面都與球相切）的體積為______.
14.已知雙曲線：，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交雙曲線左支于點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為______.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)?出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
★16.（本小題滿分15分）
記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，已知的外接圓半徑，且.
（1）求和的值；
（2）求邊上高的最大值.
17.（本小題滿分15分）
在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，.求：
（1）的長(zhǎng)；
（2）二面角的余弦值.
18.（本小題滿分17分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足.記點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）直線交于，兩點(diǎn)，，為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線，求四邊形面積的最大值.
19.（本小題滿分17分）
已知函數(shù).
（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：
2024年春季高二年級(jí)入學(xué)暨寒假作業(yè)檢測(cè)聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.C
2.B【解析】由已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.
3.B
4.B【解析】的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.
5.A【解析】因?yàn)椋?，所以，解?因?yàn)椋裕?故選A.
6.C【解析】如圖，在正方體中，，，則平面，所以.同理，，所以平面.若，則平面.在A，B，D中，都與平面相交，在C中，平面.所以.
7.C【解析】①當(dāng)時(shí)，斜率不存在，傾斜角為；②當(dāng)時(shí)，斜率，傾斜角范圍為；③當(dāng)時(shí)，斜率，傾斜角范圍為.綜上，直線的傾斜角的取值范圍為.
8.A【解析】因?yàn)榕c互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，共有，所以，則，于是①，②，
由①②得，則，于是.
二、選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由可得，解得，所以，，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D對(duì).故選：ACD.
10.BCD【解析】由已知，.當(dāng)時(shí)，，則不單調(diào)；因?yàn)?，，則的值域是；因?yàn)?，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；為偶函數(shù).
11.BD【解析】A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，
所以，，
則，，設(shè)平面的法向量為，
所以令，則，
即平面的一個(gè)法向量為.
若平面，則，即，，令，解得.即為中點(diǎn)時(shí)，有平面，且，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫?，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，于是點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；
C選項(xiàng)：如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面為平行四邊形，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
，，所以點(diǎn)到直線的距離為
，于是當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，此時(shí)截面面積為；當(dāng)或1時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)截面面積為，故D正確.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【解析】，故，.
13.【解析】作軸截面圖如圖.由已知，，，則，
在中，.設(shè)內(nèi)切球半徑為，
由等面積法，得，所以內(nèi)切球體積.
14.【解析】設(shè)，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，所以，，由雙曲線的定義知，，，所以，，又，所以，即，在中，由余弦定理知，，
所以，
即，整理得，，即，所以離心率.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，得，
當(dāng)時(shí)，由，得，
兩式相減得，，
整理得，，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，.
（2）因?yàn)椋?br>所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成認(rèn)2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和：
.
16.【解析】（1），
，
，
即，
，，
，，又，.
的外接圓半徑為，∴由正弦定理，可得.
（2）由余弦定理得，，
由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，，
故面積的最大值為，
由可得，邊上高的最大值為.
17.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，，
則，，
所以，
即，
解得（負(fù)值舍去），故的長(zhǎng)為4.
（2）設(shè)平面的法向量為，
由題意知，
則由令，可得，
所以平面的一個(gè)法向量為，
易得平面的一個(gè)法向量為，
則，
所以二面角的余弦值為.
18.【解析】（1）因?yàn)椋?br>由橢圓定義，軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，
設(shè)橢圓方程為，
則，，
又，則，
橢圓的方程為.
（2）由解得或
因此.
設(shè)直線的方程為，設(shè)，.
由得.
，故.
又，的交點(diǎn)在，之間，故.
因?yàn)橹本€的斜率為1，
所以.
又四邊形的面積，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
所以四邊形面積的最大值為.
19.【解析】（1）由題意，
因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，
因?yàn)?，設(shè)，則，
所以只需或
解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）證明：由（1）可知，，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，
所以，是的根，則
所以
，
因?yàn)椋砸C即證，
即，
即證，
即證，
即證，
令，即證明.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
則，即，
所以原不等式成立.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
B
A
C
C
A
題號(hào)
9
10
11
答案
ACD
BCD
BD

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