1．（3分）下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的為（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列每組線段，能構(gòu)成三角形的一組是（ ）
A．1，1，3B．3，3，6C．1，5，5D．8，3，4
3．（3分）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于45°，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為（ ）
A．1260°B．1080°C．1620°D．360°
4．（3分）如圖，作△ABC中BC邊上的高AD，以下做法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列所給的四組條件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm
B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
6．（3分）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，添加一個(gè)條件，可使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等．以下給出的條件適合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．∠BAC＝∠BADC．AC＝ADD．AC＝BC
7．（3分）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，△DEF的三邊長(zhǎng)分別為3，3x﹣2，2x﹣1，若這兩個(gè)三角形全等，則x為（ ）
A．B．4C．3D．不能確定
8．（3分）如圖：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，線段AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，線段BC的垂直平分線交AB與點(diǎn)F，連接CE，CF，則∠ECF是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
9．（3分）在△ABC中，線段AD是∠BAC的角平分線、AM是BC邊上的中線，DE垂直于AB，已知：S△ABM＝4.5，DE＝2，AB＝5，則AC長(zhǎng)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．（3分）如圖所示，一個(gè)大長(zhǎng)方形被兩條線段AB、CD分成四個(gè)小長(zhǎng)方形．如果其中圖形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面積分別為8、6、5，那么陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
11．（3分）點(diǎn)P（3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
12．（3分）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，其周長(zhǎng)為 ．
13．（3分）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，則BC邊上的中線AD的取值范圍是 ．
14．（3分）如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是AC邊上的高，∠BAC＝80°，∠EBC＝20°，則∠ADB＝ ．
15．（3分）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE，BF⊥CE，垂足分別為E、F，若BF＝3，EF＝2.1，則AE＝ ．
16．（3分）如果依次用a1，a2，a3，a4分別表示圖3中（1）、（2）、（3）、（4）內(nèi)三角形的個(gè)數(shù)，那么a1＝3．a(chǎn)2＝8，a3＝15．a(chǎn)4＝ ．
三、解答題（共72分）
17．（8分）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．
18．（12分）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）ABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系；
（2）請(qǐng)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′；
（3）寫(xiě)出點(diǎn)B′的坐標(biāo)．
19．（10分）如圖，BF是△ABC的外角∠ABE平分線，且BF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
求證：∠C＝∠BAC﹣2∠F．
20．（10分）如圖已知：E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．求證：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分線．
21．（10分）如圖所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過(guò)B點(diǎn)的一條直線BE折疊這個(gè)三角形，使C點(diǎn)落在AB邊上的點(diǎn)D、要使點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)，問(wèn)在圖中還要添加什么條件？（直接填寫(xiě)答案）
（1）寫(xiě)出兩條邊滿足的條件： ；
（2）寫(xiě)出兩個(gè)角滿足的條件： ；
（3）寫(xiě)出一個(gè)除邊、角以外的其他滿足條件： ．
22．（10分）如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB．求證：
（1）AP＝AQ；
（2）AP⊥AQ．
23．（12分）綜合與實(shí)踐：
問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個(gè)已知角，”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點(diǎn)C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請(qǐng)寫(xiě)出OE平分∠AOB的依據(jù)： ；
類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；
拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問(wèn)路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．（3分）下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行分析即可．
【解答】解：選項(xiàng)B，C，D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)A中的圖形沿某條直線對(duì)折后兩部分能完全重合，是軸對(duì)稱圖形，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．
2．（3分）下列每組線段，能構(gòu)成三角形的一組是（ ）
A．1，1，3B．3，3，6C．1，5，5D．8，3，4
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．
【解答】解：A、1+1＜3，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；
B、3+3＝6，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；
C、1+5＞5，能構(gòu)成三角形，符合題意；
D、3+4＜8，不能構(gòu)成三角形，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
3．（3分）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于45°，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為（ ）
A．1260°B．1080°C．1620°D．360°
【分析】根據(jù)多邊形的外角和與內(nèi)角和定理即可求解．
【解答】解：∵多邊形外角和為360°，
∴360÷45＝8，
∴八邊形的內(nèi)角和為（8﹣2）×180°＝1080°
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)角和與外角和公式．
4．（3分）如圖，作△ABC中BC邊上的高AD，以下做法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形高線的定義：過(guò)三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答．
【解答】解：為△ABC中BC邊上的高的是B選項(xiàng)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，三角形的角平分線、中線、高線，熟記高線的定義是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）下列所給的四組條件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm
B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)B、C、D進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、因?yàn)锳B+AC＜BC，三條線段不能組成三角形，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B、BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°，根據(jù)“HL”可判斷此三角形為唯一三角形，所以B選項(xiàng)符合題意；
C、利用∠A＝∠B＝∠C＝60°不能確定三角形的大小，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D、利用AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°可畫(huà)出兩三角形，所以D選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．
6．（3分）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，添加一個(gè)條件，可使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等．以下給出的條件適合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．∠BAC＝∠BADC．AC＝ADD．AC＝BC
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本選項(xiàng)符合題意；
D．根據(jù)∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有ASA，SAS，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．
7．（3分）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，△DEF的三邊長(zhǎng)分別為3，3x﹣2，2x﹣1，若這兩個(gè)三角形全等，則x為（ ）
A．B．4C．3D．不能確定
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的周長(zhǎng)相等可得出等式方程求出答案．
【解答】解：∵△ABC與△DEF全等，
∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，
解得：x＝3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握性質(zhì)定理．
8．（3分）如圖：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，線段AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，線段BC的垂直平分線交AB與點(diǎn)F，連接CE，CF，則∠ECF是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出AE＝CE，得到∠ACE＝∠A＝30°，同理：∠BCF＝∠B＝20°，由三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB＝130°，即可求出∠ECF＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCF＝80°．
【解答】解：∵線段AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
同理：∠BCF＝∠B＝20°，
∵∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣20°＝130°，
∵∠ECF＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCF＝80°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．關(guān)鍵是由線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)推出∠ACE＝∠A＝30°，∠BCF＝∠B＝20°．
9．（3分）在△ABC中，線段AD是∠BAC的角平分線、AM是BC邊上的中線，DE垂直于AB，已知：S△ABM＝4.5，DE＝2，AB＝5，則AC長(zhǎng)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AC于F點(diǎn)，如圖，先利用三角形面積公式得到S△ABC＝2S△ABM＝9，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE＝2，S△ABD+S△ACD＝S△ABC，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S△ABD+S△ACD＝S△ABC可求出AC的長(zhǎng)．
【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AC于F點(diǎn)，如圖，
∵AM是BC邊上的中線，
∴S△ACM＝S△ABM，
∴S△ABC＝2S△ABM＝2×4.5＝9，
∵線段AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴×5×2+×AC×2＝9，
解得AC＝4．
故答案為：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形面積公式．
10．（3分）如圖所示，一個(gè)大長(zhǎng)方形被兩條線段AB、CD分成四個(gè)小長(zhǎng)方形．如果其中圖形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面積分別為8、6、5，那么陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，Ⅰ的長(zhǎng)為x，寬為y，則Ⅱ的長(zhǎng)為a﹣x，寬為y，Ⅲ的長(zhǎng)為a﹣x，寬為b﹣y，陰影部分的長(zhǎng)為x，寬為b﹣y，設(shè)有陰影的矩形面積為z，再根據(jù)等高不同底利用面積的比求解即可．
【解答】解：∵圖形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面積分別為8、6、5，
∴＝＝＝，
∴＝＝＝，
∴＝，z＝
∴S陰影＝z＝×＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是長(zhǎng)方形及三角形的面積公式，解答此題的關(guān)鍵是熟知等高不同底的多邊形底邊的比等于其面積的比．
二、填空題
11．（3分）點(diǎn)P（3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （﹣3，2） ．
【分析】此題考查平面直角坐標(biāo)系與對(duì)稱的結(jié)合．
【解答】解：點(diǎn)P（m，n）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)P′（﹣m，n），所以點(diǎn)P（3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，2）．
故答案為：（﹣3，2）．
【點(diǎn)評(píng)】考查平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的對(duì)稱性質(zhì)．
12．（3分）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，其周長(zhǎng)為 15 ．
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，等腰三角形腰長(zhǎng)只能為6，然后即可求解．
【解答】解：∵如果腰長(zhǎng)為3，則3+3＝6，不符合三角形三邊關(guān)系，所以腰長(zhǎng)只能為6．
∴其周長(zhǎng)6+6+3＝15．
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，則BC邊上的中線AD的取值范圍是 1＜AD＜7 ．
【分析】延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．
【解答】解：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE．
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜14，
故1＜AD＜7．
故答案為：1＜AD＜7．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．注意：倍長(zhǎng)中線是常見(jiàn)的輔助線之一．
14．（3分）如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是AC邊上的高，∠BAC＝80°，∠EBC＝20°，則∠ADB＝ 110° ．
【分析】由BE是AC邊上的高，可得出∠BEC＝90°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可求出∠C的度數(shù)，由AD平分∠BAC，利用角平分線的定義，可求出∠CAD的度數(shù)，再由∠ADB是△ACD的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出結(jié)論．
【解答】解：∵BE是AC邊上的高，
∴∠BEC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠BEC﹣∠EBC＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°．
又∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+70°＝110°．
故答案為：110°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、垂線以及三角形的外角性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義，求出∠C及∠CAD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE，BF⊥CE，垂足分別為E、F，若BF＝3，EF＝2.1，則AE＝ 0.9 ．
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明∠ACE＝∠CBF，根據(jù)“AAS”證明△AEC≌△CFB，可得AE＝CF，CE＝BF，即可根據(jù)線段的和差關(guān)系求出AE．
【解答】解：∵AE⊥CE，BF⊥CE，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴∠FCB+∠FBC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCB+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵BF＝3，EF＝2.1，
∴CE＝3，CF＝CE﹣EF＝3﹣2.1＝0.9，
∴AE＝0.9．
故答案為：0.9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正確識(shí)別圖形，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如果依次用a1，a2，a3，a4分別表示圖3中（1）、（2）、（3）、（4）內(nèi)三角形的個(gè)數(shù)，那么a1＝3．a(chǎn)2＝8，a3＝15．a(chǎn)4＝ 24 ．
【分析】可以將圖（1）到圖（4），看成△ABC1→△ABC2→△ABC3→△ABC4的變化過(guò)程，然后比較圖（3）到圖（4）的變化過(guò)程，可得出新增加的三角形個(gè)數(shù)，然后與圖（3）中三角形的個(gè)數(shù)相加即可．
【解答】解：從圖（1）到圖（4），可以看成△ABC1→△ABC2→△ABC3→△ABC4的變化過(guò)程，
比較圖（4）與圖（3），增加的三角形中，以BD1為底得有4個(gè)，以BC4為底的也有4個(gè)，
以D1C4為底得有1個(gè)，
所以，a4＝a3+2×4+1＝24．
故答案為：24．
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目中的難點(diǎn)．
三、解答題（共72分）
17．（8分）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．
【分析】利用SAS證明△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．
【解答】證明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS證明△ABC≌△DEF是解題的關(guān)鍵．
18．（12分）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）ABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系；
（2）請(qǐng)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′；
（3）寫(xiě)出點(diǎn)B′的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（﹣4，5），（﹣1，3）建立坐標(biāo)系即可；
（2）作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)B′在坐標(biāo)系中的位置寫(xiě)出其坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）如圖所示；
（2）如圖所示；
（3）由圖可知，B′（2，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣軸對(duì)稱變換，熟知關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．
19．（10分）如圖，BF是△ABC的外角∠ABE平分線，且BF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
求證：∠C＝∠BAC﹣2∠F．
【分析】由∠ABF是△ABC的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，可得出∠ABF＝∠C+∠BAC，結(jié)合角平分線的定義，可得出∠ABF＝（∠C+∠BAC），由∠BAC是△ABF的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，可得出∠BAC＝∠F+∠C+∠BAC，整理后即可得出∠C＝∠BAC﹣2∠F．
【解答】證明：∵∠ABF是△ABC的外角，
∴∠ABF＝∠C+∠BAC，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠ABE＝（∠C+∠BAC）．
∵∠BAC是△ABF的外角，
∴∠BAC＝∠F+∠ABF＝∠F+（∠C+∠BAC）＝∠F+∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC﹣∠F﹣∠BAC＝∠BAC﹣∠F，
∴∠C＝∠BAC﹣2∠F．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．
20．（10分）如圖已知：E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．求證：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分線．
【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得EC＝DE，再根據(jù)等邊對(duì)等角證明即可；
（2）利用“HL”證明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OC＝OD，然后根據(jù)等腰三角形三線合一證明．
【解答】證明：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC；
（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴OC＝OD，
又∵OE是∠AOB的平分線，
∴OE是CD的垂直平分線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（10分）如圖所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過(guò)B點(diǎn)的一條直線BE折疊這個(gè)三角形，使C點(diǎn)落在AB邊上的點(diǎn)D、要使點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)，問(wèn)在圖中還要添加什么條件？（直接填寫(xiě)答案）
（1）寫(xiě)出兩條邊滿足的條件： BC＝AB ；
（2）寫(xiě)出兩個(gè)角滿足的條件： ∠ABC＝2∠A ；
（3）寫(xiě)出一個(gè)除邊、角以外的其他滿足條件： △BEC≌△AED ．
【分析】（1）根據(jù)題意可得要使D在中點(diǎn)，則一定有BC＝AB，圍繞此條件可推出兩邊滿足的條件．
（2）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得出兩角滿足的條件．
（3）可以寫(xiě)全等的條件．
【解答】解：（1）①AB＝BC
證明：由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：BC＝BD，又因?yàn)锽C＝AB＝BD
∴可得D在AB的中點(diǎn)位置．
（2）①∠ABC＝2∠A．
∵∠C＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°．
∵∠ABC＝2∠A，
∴∠A＝30°．
由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：BC＝BD，CE＝DE，∠CBE＝∠DBE＝∠A＝30°．
∴△ADE≌△BCE，AD＝BC＝BD．
即點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)；
（3）△BEC≌△AED
證明：∵△BEC≌△AED
∴可得：AD＝DB
故證得點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，要根據(jù)題意和圖形進(jìn)行解答．
22．（10分）如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB．求證：
（1）AP＝AQ；
（2）AP⊥AQ．
【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，進(jìn)而得出△ABP≌△QCA，即可得出結(jié)論．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，證明∠PAQ＝90°即可．
【解答】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（直角三角形兩個(gè)銳角互余），
∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等），
在△ABP和△QCA中，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP＝AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．
（2）由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），
∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP＝90°（直角三角形兩銳角互余），
∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代換），即∠QAP＝90°，
∴AP⊥AQ（垂直定義）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練掌握并運(yùn)用．
23．（12分）綜合與實(shí)踐：
問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個(gè)已知角，”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點(diǎn)C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請(qǐng)寫(xiě)出OE平分∠AOB的依據(jù)： SSS ；
類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；
拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問(wèn)路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得CE＝DE，再證△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出結(jié)論；
（2）證△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出結(jié)論；
（3）先作∠BAC的平分線AK，再在AK上截取AE＝AD即可．
【解答】解：（1）∵△CDE是等邊三角形，
∴CE＝DE，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，
∴OE是∠AOB的平分線，
故答案為：SSS；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴射線OC是∠AOB的平分線；
（3）如圖，
點(diǎn)E即為所求的點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線定義以及尺規(guī)作圖等知識(shí)，熟練掌握角平分線定義和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．

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