2024中考數(shù)學(xué)全國(guó)真題分類(lèi)卷 第二十講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 強(qiáng)化訓(xùn)練(含答案)

這是一份2024中考數(shù)學(xué)全國(guó)真題分類(lèi)卷 第二十講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 強(qiáng)化訓(xùn)練(含答案)，共26頁(yè)。
A. 相離 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切
2. (2022上海)如圖，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，⊙B的半徑為1，⊙A與⊙B內(nèi)切，則點(diǎn)C、D與⊙A的位置關(guān)系是( )
第2題圖
A. 點(diǎn)C在⊙A外，點(diǎn)D在⊙A內(nèi)
B. 點(diǎn)C在⊙A外，點(diǎn)D在⊙A外
C. 點(diǎn)C在⊙A上，點(diǎn)D在⊙A內(nèi)
D. 點(diǎn)C在⊙A內(nèi)，點(diǎn)D在⊙A外
命題點(diǎn)2 切線(xiàn)的性質(zhì)
類(lèi)型一 切線(xiàn)性質(zhì)的計(jì)算
3. (2023眉山)如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點(diǎn)A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為( )
A. 28° B. 50° C. 56° D. 62°
第3題圖
4. (2023哈爾濱)如圖，AD，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，連接BD，若∠P＝40°，則∠ADB的度數(shù)為( )
第4題圖
A. 65° B. 60° C. 50° D. 25°
5. (2023重慶B卷)如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，若AC＝PC＝3 eq \r(3) ，則PB的長(zhǎng)為( )
第5題圖
A. eq \r(3) B. eq \f(3,2)
C. 2 eq \r(3) D. 3
6. (2023無(wú)錫)如圖，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. AE⊥DE B. AE∥OD C. DE＝OD D. ∠BOD＝50°
第6題圖
7. (2022賀州)如圖，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝5, 點(diǎn)O在A(yíng)B上，OB＝2，以O(shè)B為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為( )
第7題圖
A. eq \f(1,2) B. eq \f(2,3) C. eq \f(\r(2),2) D. 1
8. (2023黔東南州)如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)C，D，若CD＝12，PA＝8，則sin ∠ADB的值為( )
A. eq \f(4,5) B. eq \f(3,5) C. eq \f(3,4) D. eq \f(4,3)
第8題圖
9. (2023泰安)如圖，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O過(guò)點(diǎn)A，C，與AB交于點(diǎn)D，與BC相切于點(diǎn)C，若∠A＝32°，則∠ADO＝________．
第9題圖
10. (新趨勢(shì))·數(shù)學(xué)文化 (2023株洲) 中國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”．“方田一段，一角圓池占之．”意思是說(shuō)：“一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切)”，如圖所示．
問(wèn)題：此圖中，正方形一條對(duì)角線(xiàn)AB與⊙O相交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右上方)，若AB的長(zhǎng)度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長(zhǎng)度為_(kāi)_______丈．
第10題圖
11. (2023鹽城)如圖，AB，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，若∠BAD＝35°，則∠C＝________°.
第11題圖
12. (2023嘉興)如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C，D在上，將沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點(diǎn)E，F(xiàn).已知∠AOB＝120°，OA＝6，則的度數(shù)為_(kāi)_______；折痕CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
第12題圖
類(lèi)型二 切線(xiàn)性質(zhì)的相關(guān)證明與計(jì)算
13. (2023安徽)已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接CD.
(1)如圖①，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求 AD的長(zhǎng)；
(2)如圖②，若 DC與⊙O相切，E為 OA上一點(diǎn)，且 ∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB.
第13題圖
14. (2023黃岡)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，BC與過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)EF平行，BC，AD相交于點(diǎn)G.
(1)求證：AB＝AC；
(2)若DG＝BC＝16，求AB的長(zhǎng)．
第14題圖
15. (2023陜西)如圖，AB是⊙O的直徑，AM是⊙O的切線(xiàn)，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長(zhǎng)，交AM于點(diǎn)P.
(1)求證：∠CAB＝∠APB；
(2)若⊙O的半徑r＝5，AC＝8，求線(xiàn)段PD的長(zhǎng)．
第15題圖
16. (2023瀘州)如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交CO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.
(1)求證：FD∥AB；
(2)若AC＝2 eq \r(5) ，BC＝ eq \r(5) ，求FD的長(zhǎng)．
第16題圖
17. (新趨勢(shì))·真實(shí)問(wèn)題情境 (2023河南)為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目，滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿AB與鉛垂線(xiàn)AD的夾角為∠BAD，點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點(diǎn)B時(shí)，手上的力量通過(guò)切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果．
(1)求證：∠BOC＋∠BAD＝90°；
(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng)．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離AD最小，測(cè)得cs ∠BAD＝ eq \f(3,5) .已知鐵環(huán)⊙O的半徑為25 cm，推桿AB的長(zhǎng)為75 cm，求此時(shí)AD的長(zhǎng)．
第17題圖
命題點(diǎn)3 與切線(xiàn)的判定及性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算
18. (2023北京)如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，AB⊥CD，連接AC，OD.
(1)求證：∠BOD＝2∠A；
(2)連接DB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DO，交AC于點(diǎn)F.若F為AC的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)CE為⊙O的切線(xiàn)．
第18題圖
19. (2023甘肅省卷)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB，CD是⊙O的直徑，E是DB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且∠DEC＝∠ABC.
(1)求證：CE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若DE＝4 eq \r(5) ，AC＝2BC，求線(xiàn)段CE的長(zhǎng)．
第19題圖
20. (2023郴州)如圖，在△ABC中，AB＝AC.以AB為直徑的⊙O與線(xiàn)段BC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P.
(1)求證：直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若⊙O的半徑為6，∠P＝30°，求CE的長(zhǎng)．
第20題圖
21. (2023濱州)如圖，已知AC為⊙O的直徑，直線(xiàn)PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線(xiàn)PD經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)B且∠CBD＝∠CAB，連接OP交AB于點(diǎn)M.
求證：(1)PD是⊙O的切線(xiàn)；
(2)AM2＝OM·PM.
第21題圖
22. (2023玉林)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點(diǎn)，AD平分∠CAB，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.
(1)求證：EF是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若AB＝10，AC＝6，求tan ∠DAB的值．
第22題圖
23. (2023撫順本溪遼陽(yáng))如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，?ODEF的頂點(diǎn)O，D在斜邊AB上，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)E.
(1)求證：BC與⊙O相切；
(2)若sin ∠BAC＝ eq \f(3,5) ，CE＝6，求OF的長(zhǎng)．
第23題圖
24. (新考法)·圓與正方形結(jié)合考查幾何類(lèi)比探究能力 (2023云南)如圖，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O，P是⊙O的劣弧BC上的任意一點(diǎn)．連接PA，PC，PD，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使BD2＝BC·BE.
(1)請(qǐng)判斷直線(xiàn)DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若四邊形ABCD是正方形，連接AC.當(dāng)P與C重合時(shí)，或當(dāng)P與B重合時(shí)，把 eq \f(PA＋PC,PD) 轉(zhuǎn)化為正方形ABCD的有關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)的比，可得 eq \f(PA＋PC,PD) ＝ eq \r(2) .當(dāng)P既不與C重合也不與B重合時(shí)， eq \f(PA＋PC,PD) ＝ eq \r(2) 是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
第24題圖
25. (2023雅安)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線(xiàn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O與直線(xiàn)AO交于點(diǎn)E和點(diǎn)D.
(1)求證：AB是⊙O的切線(xiàn)；
(2)連接CE，求證：△ACE∽△ADC；
(3)若 eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(1,2) ，⊙O的半徑為6，求tan ∠OAC.
第25題圖
26. (2023德陽(yáng))如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)分別與AB，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠ECD＝2∠BAD.
(1)求證：CF是⊙O的切線(xiàn)；
(2)如果AB＝10，CD＝6.
①求AE的長(zhǎng)；
②求△AEF的面積．
第26題圖
參考答案與解析
1. D 2. C
3. C 【解析】∵PA，PB與⊙O分別相切于點(diǎn)A，B，∴PA＝PB，OA⊥PA，∵∠OAB＝28°，∴∠PAB＝∠PBA＝62°，∴∠APB＝180°－62°－62°＝56°.
4. A 【解析】∵PA是⊙O的切線(xiàn)，∴∠PAO＝90°.∵∠P＝40°，∴∠AOP＝∠BOD＝50°.∴∠OBD＝∠ODB＝65°.
5. D 【解析】如解圖，連接OC，BC.∵CP是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝90°.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠ACO.∵AC＝PC＝3 eq \r(3) ，∴∠CPB＝∠CAO，∴△PCB≌△ACO(ASA)，∴PB＝AO，BC＝CO＝OB，∴∠BOC＝60°，∴OC＝ eq \f(PC,tan ∠BOC) ＝3，∴AO＝3，∴PB＝AO＝3.
第5題解圖
6. C 【解析】∵ED是⊙O的切線(xiàn)，∴OD⊥ED，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝2∠BAD＝2∠EAD，∵∠DOB＝2∠DAB，∴∠DOB＝∠BAE，∴AE∥OD，∴AE⊥DE，故選項(xiàng)A，B正確；如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，∴DE＝DF，∵DF＜OD，∴DE＜OD，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵∠EAD＝25°，∴∠BAD＝∠EAD＝25°，∴∠BOD＝50°，故選項(xiàng)D正確．
第6題解圖
7. B 【解析】如解圖，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE于點(diǎn)F，∴BF＝EF，∵AC是⊙O的切線(xiàn)，∴OD⊥AC，∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四邊形ODCF是矩形，∴OD＝OB＝FC＝2，OF∥AC，設(shè)CE＝x，則BF＝ EF＝2－x，又∵OF∥AC，∴ eq \f(BF,FC) ＝ eq \f(OB,AO) ，即 eq \f(BF,FC) ＝ eq \f(OB,AB－OB) ，∴ eq \f(2－x,2) ＝ eq \f(2,5－2) ，解得x＝ eq \f(2,3) ，即CE＝ eq \f(2,3) .
第7題解圖
8. A 【解析】如解圖，連接OA，∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∴PA＝PB，PO平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD＝∠BPD，在△APD和△BPD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AP＝BP,∠APD＝∠BPD,PD＝PD)) ，∴△APD≌△BPD(SAS)，∴∠ADP＝∠BDP，∵OA＝OD＝6，∴∠OAD＝∠ADP＝∠BDP，∴∠AOP＝∠ADP＋∠OAD＝∠ADP＋∠BDP＝∠ADB，在Rt△AOP中，OP＝ eq \r(OA2＋AP2) ＝10，∴sin ∠ADB＝sin ∠AOP＝ eq \f(AP,OP) ＝ eq \f(8,10) ＝ eq \f(4,5) .
第8題解圖
9. 64° 【解析】如解圖，連接OC，∵BC是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OCB＝90°.∵∠B＝90°，∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC.∵∠A＝32°，＝，∴∠DOC＝2∠A＝64°，∴∠ADO＝64°.
第9題解圖
10. 8－2 eq \r(2) 【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，由題意得，∠OAD＝45°，∵OD＝2，∴AO＝2 eq \r(2) ，∴BN＝AB－AO－ON＝10－2 eq \r(2) －2＝8－2 eq \r(2) .
第10題解圖
11. 35 【解析】如解圖，連接OA，OB，∵AD是⊙O的切線(xiàn)，∴AD⊥OA，∴∠DAO＝90°，∵∠BAD＝35°，∴∠BAO＝∠DAO－∠BAD＝55°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAO＝55°，∴∠AOB＝180°－2×55°＝70°，∴∠C＝ eq \f(1,2) ∠AOB＝ eq \f(1,2) ×70°＝35°.
第11題解圖
12. 60°，4 eq \r(6) 【解析】如解圖，設(shè)所在圓的圓心為O′，連接OO′與CD交于點(diǎn)M，連接OC，O′E，O′F，則OO′平分∠AOB，∵∠AOB＝120°，∴∠EO′F＝60°，∠AOO′＝∠BOO′＝60°，∴的度數(shù)為60°，∴∠EO′O＝∠FO′O＝30°.∵沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°.∵O′F＝OA＝6，∴OO′＝ eq \f(O′F,cs 30°) ＝4 eq \r(3) ，∴MO′＝MO＝2 eq \r(3) ，在Rt△OMC中，MC＝ eq \r(OC2－OM2) ＝ eq \r(62－（2\r(3)）2) ＝2 eq \r(6) ，∴CD＝2MC＝4 eq \r(6) .
第12題解圖
13. (1)解：∵OA＝1，
∴OC＝1，
又∵∠D＝30°，OC⊥OD，
∴OD＝ eq \f(OC,tan 30°) ＝ eq \r(3) ，
∴AD＝OD－OA＝ eq \r(3) －1；
(2)證明：∵DC與⊙O相切，
∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＋∠ACO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
又∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CEA＝90°，
∴CE⊥AB.
14. (1)證明：∵AD是⊙O的直徑，EF為⊙O的切線(xiàn)，
∴EF⊥AD.
∵EF∥BC，
∴AD⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC；
(2)解：如解圖，連接BO，
第14題解圖
設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，OG＝16－r，BG＝ eq \f(1,2) BC＝8.
由勾股定理，得OB2＝OG2＋BG2，
即r2＝(16－r)2＋82，解得r＝10.
∴AD＝20，AG＝20－16＝4.
由勾股定理，得AB＝ eq \r(BG2＋AG2) ＝ eq \r(82＋42) ＝4 eq \r(5) .
15. (1)證明：∵AM是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠BAM＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CEA＝90°，
∴AM∥CD.
∴∠CDB＝∠APB.
∵＝，
∴∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB；
(2)解：如解圖，連接AD.
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠CDB＋∠ADC＝90°.
∵∠CAB＋∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C.
∴AD＝AC＝8.
∵⊙O的半徑為5，
∴AB＝10，
∴BD＝6.
∵∠ADB＝∠BAP＝90°，∠ABD＝∠PBA，
∴△ADB∽△PAB.
∴ eq \f(AB,PB) ＝ eq \f(BD,BA) .
∴PB＝ eq \f(AB2,BD) ＝ eq \f(100,6) ＝ eq \f(50,3) .
∴PD＝PB－BD＝ eq \f(50,3) －6＝ eq \f(32,3) .
第15題解圖
16. (1)證明：如解圖，連接OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝ eq \f(1,2) ∠ACB＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°.
∵FD為⊙O的切線(xiàn)，
∴∠ODF＝90°，
∴∠AOD＋∠ODF＝180°，
∴FD∥AB；
(2)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB，垂足為M，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝2 eq \r(5) ，BC＝ eq \r(5) ，
∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝5，∴OC＝OA＝OB＝ eq \f(5,2) .
∵S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BC＝ eq \f(1,2) AB·CM，
∴CM＝2，
在Rt△OCM中，OM＝ eq \r(OC2－CM2) ＝ eq \f(3,2) .
由(1)可知AB∥FD，
∴∠COM＝∠F，
∵OD⊥FD，CM⊥OB，
∴∠OMC＝∠FDO＝90°，
∴△COM∽△OFD，
∴ eq \f(CM,OD) ＝ eq \f(OM,FD) ，
∴ eq \f(2,\f(5,2)) ＝ eq \f(\f(3,2),FD) ，
∴FD＝ eq \f(15,8) .
第16題解圖
17. (1)證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)B作EF∥CD，分別交AD于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F.
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠OCD＝90°.
∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.
∵EF∥CD，∴∠OFB＝∠AEB＝90°.
∴∠BOC＋∠OBF＝90°，∠ABE＋∠BAD＝90°.
∵AB為⊙O的切線(xiàn)，∴∠OBA＝90°.
∴∠OBF＋∠ABE＝90°，∴∠OBF＝∠BAD.
∴∠BOC＋∠BAD＝90°；
第17題解圖
(2)解：如解圖，在Rt△ABE中，
∵AB＝75，cs ∠BAD＝ eq \f(3,5) ，
∴AE＝AB·cs ∠BAD＝45.
由(1)知，∠OBF＝∠BAD，
∴cs ∠OBF＝ eq \f(3,5) .
在Rt△OBF中，
∵OB＝25，∴BF＝OB·cs ∠OBF＝15，∴OF＝20.
∵OC＝25，∴CF＝5.
∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴四邊形CDEF為矩形．∴DE＝CF＝5，
∴AD＝AE＋ED＝50 cm.
18. 證明：(1)如解圖①，連接OC，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠COB＝∠BOD.
又∵∠COB＝2∠A，
∴∠BOD＝2∠A；
第18題解圖
(2)如解圖②，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)G，連接OC，
∵OA＝OC，AF＝FC，
∴OF⊥AC，
∴∠ACG＋∠FDC＝90°.
又∵∠ACG＋∠A＝90°，
∴∠FDC＝∠A.
∵∠A＝∠CDE，
∴∠FDC＝∠CDE.
∵OC＝OD，
∴∠FDC＝∠OCD＝∠CDE.
∵∠E＝90°，
∴∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠DCE＋∠OCD＝90°，即∠OCE＝90°.
∵OC為⊙O的半徑，
∴直線(xiàn)CE為⊙O的切線(xiàn)．
19. (1)證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°.
∵＝，∴∠A＝∠D.
又∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠D＋∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE.
∵OC是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)解：由(1)知CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A＝∠D，AC＝2BC，
∴tan A＝tan D，即 eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(CE,CD) ＝ eq \f(1,2) ，
∴CD＝2CE.
在Rt△CDE中，CD2＋CE2＝DE2，DE＝4 eq \r(5) ，
∴(2CE)2＋CE2＝(4 eq \r(5) )2，解得CE＝4(負(fù)值已舍去)，
即線(xiàn)段CE的長(zhǎng)為4.
20. (1)證明：如解圖，連接AD，OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴D為BC的中點(diǎn)，
∴OD為△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD為⊙O的半徑，
∴直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn)；
第20題解圖
(2)解：∵∠P＝30°，DE⊥AC，
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠C＝60°，BC＝AB＝12，
∴CD＝ eq \f(1,2) BC＝6，
∴在Rt△CED中，CE＝CD·cs 60°＝6× eq \f(1,2) ＝3.
21. 證明：(1)如解圖，連接OB，
第21題解圖
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠2.
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3.
又∵AC為⊙O的直徑，
∴∠2＋∠OBC＝90°，
∴∠3＋∠OBC＝90°，即OB⊥BD.
∵OB是⊙O的半徑，
∴PD是⊙O的切線(xiàn)；
(2)如解圖，由(1)知PD是⊙O的切線(xiàn)，直線(xiàn)PA與⊙O相切，
∴PA＝PB.
∵OA＝OB，
∴PO垂直平分AB，
∴∠AMP＝∠AMO＝90°.
∴∠4＋∠5＝90°.
∵∠OAP＝90°，
∴∠1＋∠5＝90°，
∴∠1＝∠4.
∵∠AMO＝∠AMP，
∴△OAM∽△APM，
∴ eq \f(AM,PM) ＝ eq \f(OM,AM) ，
∴AM2＝OM·PM.
22. (1)證明：如解圖，連接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線(xiàn)；
第22題解圖
(2)解：如解圖，連接CB交OD于點(diǎn)H，連接BD，
∵∠EAD＝∠DAO，
∴＝，
∴OD⊥CB，CH＝BH，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴CB＝ eq \r(AB2－AC2) ＝8，OB＝5，
∴HB＝4，
在Rt△OBH中，OH＝ eq \r(OB2－BH2) ＝3，
∴DH＝2，
∴DB＝ eq \r(DH2＋BH2) ＝2 eq \r(5) ，
∴在Rt△ABD中，AD＝ eq \r(AB2－DB2) ＝4 eq \r(5) ，
∴tan ∠DAB＝ eq \f(DB,AD) ＝ eq \f(1,2) .
23. (1)證明：如解圖，連接OE，
∵四邊形ODEF是平行四邊形，
∴OF∥DE，EF∥AB，
∴∠FOA＝∠EDA，∠FOE＝∠OED，
∵OD＝OE，
∴∠EDA＝∠OED，
∴∠FOA＝∠FOE，
∵OA＝OE，∠FOA＝∠FOE，OF＝OF，
∴△FOA≌△FOE，
∴∠A＝∠FEO，
∵EF∥AB，
∴∠FEO＝∠EOB，
∴∠A＝∠EOB，
∴AC∥OE，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半徑，
∴BC與⊙O相切．
第23題解圖
(2)解：∵EF∥AB，∴∠CFE＝∠BAC，
∵sin ∠BAC＝ eq \f(3,5) ，
∴sin ∠CFE＝ eq \f(3,5) ，
在Rt△CFE中，sin ∠CFE＝ eq \f(CE,EF) ，
∴EF＝ eq \f(CE,sin ∠CFE) ＝ eq \f(6,\f(3,5)) ＝10，
由(1)可知AF∥OE，
∴四邊形AOEF是平行四邊形，
∵OA＝OE，
∴四邊形AOEF是菱形，
∴AO＝AF＝10.
如解圖，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AB，垂足為P，則FP＝AF·sin ∠BAC＝6，
∴AP＝ eq \r(AF2－FP2) ＝8，
∴OP＝AO－AP＝2，
∴OF＝ eq \r(PF2＋OP2) ＝2 eq \r(10) .
24. 解：(1)直線(xiàn)DE為⊙O的切線(xiàn)，
證明：∵BD2＝BC·BE，∴ eq \f(BD,BC) ＝ eq \f(BE,BD) .
∵∠CBD＝∠DBE，∴△BCD∽△BDE，
∴∠BCD＝∠BDE，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE，
又∵BD為⊙O的直徑，
∴直線(xiàn)DE為⊙O的切線(xiàn)；
(2)當(dāng)P既不與C重合也不與B重合時(shí)， eq \f(PA＋PC,PD) ＝ eq \r(2) 成立，
證明：如解圖，將△DCP繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△DAQ，則∠PDQ＝90°.
第24題解圖
∵四邊形APCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠DCP＋∠DAP＝180°.
∴∠DAQ＋∠DAP＝180°，即Q、A、P三點(diǎn)共線(xiàn)，
由旋轉(zhuǎn)知△DCP≌△DAQ，
∴∠DCP＝∠DAQ，DP＝DQ，PC＝QA.
∴△DPQ為等腰直角三角形．
∴ eq \f(PQ,PD) ＝ eq \r(2) .
∵PQ＝QA＋PA＝PC＋PA.
∴ eq \f(PA＋PC,PD) ＝ eq \f(PQ,PD) ＝ eq \r(2) .
25. (1)證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，
∵AO是△ABC的角平分線(xiàn)，OF⊥AB，OC⊥AC，
∴OF＝OC，
∴OF為⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線(xiàn)；
第25題解圖
(2)證明：∵OC是⊙O的半徑，OC⊥AC，
∴∠ACE＋∠ECO＝90°.
∵ED是⊙O的直徑，∴∠DCE＝90°，
∴∠EDC＋∠DEC＝90°.
又∵∠DEC＝∠ECO，
∴∠ACE＝∠EDC.
又∵∠EAC＝∠CAD，
∴△ACE∽△ADC；
(3)解：∵ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(1,2) ，△ACE∽△ADC，
∴ eq \f(AC,AD) ＝ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(1,2) ，即AC2＝AE·AD.
設(shè)AE＝a，則AC＝2a，AD＝a＋12，
∴(2a)2＝a·(a＋12)，
解得a1＝0(舍去)，a2＝4，
∴AC＝8，
∴在Rt△OAC中，tan ∠OAC＝ eq \f(OC,AC) ＝ eq \f(6,8) ＝ eq \f(3,4) .
26. (1)證明：如解圖，連接OC，則∠BOC＝2∠BAC，
∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠BOC＝2∠BAD，
∵∠ECD＝2∠BAD，
∴∠BOC＝∠ECD，
∵∠OHC＝90°，
∴∠BOC＋∠OCH＝90°，
∴∠ECD＋∠OCH＝90°，即∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CF是⊙O的切線(xiàn)；
(2)解：①∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5，
∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，CD＝6，
∴CH＝DH＝ eq \f(1,2) CD＝3，∠OHC＝90°，
∴OH＝ eq \r(OC2－CH2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，
∵∠OHC＝∠OCE＝90°，∠HOC＝∠COE，
∴△OHC∽△OCE，
∴ eq \f(OC,OE) ＝ eq \f(OH,OC) ，
∴ eq \f(5,OE) ＝ eq \f(4,5) ，解得OE＝ eq \f(25,4) ，
∴AE＝OA＋OE＝5＋ eq \f(25,4) ＝ eq \f(45,4) ；
②如解圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AE交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，設(shè)FM＝x，
∵AB⊥CD，
∴CD∥FM，
∴∠HCE＝∠EFM，
在Rt△CHE中，CH＝3，HE＝OE－OH＝ eq \f(25,4) －4＝ eq \f(9,4) ，
∴tan ∠HCE＝ eq \f(HE,CH) ＝ eq \f(3,4) ，
∴tan ∠EFM＝ eq \f(EM,FM) ＝ eq \f(3,4) ，解得EM＝ eq \f(3,4) x，
在Rt△AHD中，DH＝3，AH＝OA＋OH＝9，
∴tan ∠DAH＝ eq \f(DH,AH) ＝ eq \f(1,3) ，
∴ eq \f(FM,AM) ＝ eq \f(1,3) ，解得AM＝3x，
∵AM＝AE＋EM，
∴3x＝ eq \f(45,4) ＋ eq \f(3,4) x，解得x＝5，即FM＝5，
∴S△AEF＝ eq \f(1,2) AE·FM＝ eq \f(1,2) × eq \f(45,4) ×5＝ eq \f(225,8) .
第26題解圖