一、選擇題
1．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù),則等于( )
A.B.C.2D.
2．某人打靶時連續(xù)射擊兩次,下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立的是( )
A.至多一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都沒中靶
3．的三內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,若,則角C的大小( ).
A.B.C.D.
4．已知直線m,n和平面,,,下列條件中能推出的是( )
A.,,B.,
C.,,,D.,
5．現(xiàn)有甲,乙兩組數(shù)據(jù),每組數(shù)據(jù)均由8個數(shù)組成,其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,方差為5,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,方差為1.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組,則新的一組數(shù)據(jù)的方差為( )
A.5B.6C.7D.8
6．設(shè)O是的外心,點D為AC的中點,滿足,,若,則面積的最大值為( )
A.2B.4C.D.8
7．祖暅原理也就是“等積原理”,它是由我國南北朝杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅?zhǔn)紫忍岢鰜淼?祖暅原理的內(nèi)容是:“冪勢既同,則積不容異”,“勢”即是高,“冪”是面積.意思是,如果夾在兩平行平面間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的平面所截,如果兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.已知,兩個平行平面間有三個幾何體,分別是三棱錐,四棱錐,圓錐（高度都是h）,其中:三棱錐的體積為V,四棱錐的底面是邊長為a的正方形,圓錐的底面半徑為r,現(xiàn)用平行于這兩個平面的平面去截三個幾何體,如果得到的三個截面面積總相等,那么,下面關(guān)系式正確的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
8．已三棱錐中,是以角為直角的直角三角形,,,,為的外接圓的圓心,,那么三棱錐外接球的半徑為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．設(shè)z,,是復(fù)數(shù),則( )
A.若,則B.若,則
C.若,則D.若,則為純虛數(shù)
10．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是( )
A.已知,點P在直線AB上,且,則P的坐標(biāo)為;
B.已知是的外接圓圓心,,,則向量在向量上的投影向量為
C.若,且,則
D.若點P是所在平面內(nèi)一點,且,則是的垂心.
11．如圖,矩形ABCD中,E,F分別為BC,AD的中點,且,,現(xiàn)將沿AE向上翻折,使B點移到P點,則在翻折過程中,下列結(jié)論正確的是( )
A.B.存在點P,使得
C.存在點P,使得D.三棱錐的體積最大值為
三、填空題
12．?dāng)?shù)據(jù)2,4,6,8,10,12,14,16,18,20的第70百分位數(shù)為________.
13．已知向量,均為單位向量,且,向量滿足,則的最大值為________.
14．如圖,幾何體是四棱錐,為正三角形,,,M為線段AE的中點.則直線MD與平面BEC的位置關(guān)系為________（填相交或平行）.N為線段EB上一點,使得D,M,N,C四點共面,則的值為________.
四、解答題
15．某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖:
（1）求直方圖中的的值
（2）估計月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù),第80百分位數(shù).
（3）從月平均用電量在,,,內(nèi)的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,求從月平均用電量在內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
16．如圖,在四棱錐中,底面ABCD是矩形,底面ABCD,,且直線PD與底面ABCD所成的角為.
（1）求證:平面平面PAC;
（2）求點C到平面PBD的距離.
17．已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,面積為S,且.
（1）若,求;
（2）若,求S.
18．如圖,四棱錐的側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形,底面ABCD為正方形,且平面平面ABCD,M,N分別為AB,AD的中點.
（1）求證:;
（2）在線段PB上是否存在一點Q使得平面PNC,存在指出位置,不存在請說明理由.
（3）求二面角的正弦值.
19．一個,它的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.
（1）如果這個三角形為銳角三角形,且滿足,求的取值范圍;
（2）若內(nèi)部有一個圓心為P,半徑為1的圓,它沿著的邊內(nèi)側(cè)滾動一周,且始終保持與三角形的至少一條邊相切.現(xiàn)用21米的材料剛好圍成這個三角形,請你設(shè)計一種的圍成方案,使得P經(jīng)過的路程最大并求出該最大值.（說明理由）
參考答案
1．答案：D
解析:由題意可得:,所以.故選:D.
2．答案：D
解析：對于A,“至多一次中靶”包含:一次中靶,兩次都不中靶,
“至少一次中靶”包含:一次中靶,兩次都中靶,A選項不滿足條件;
對于B,“兩次都中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系,B選項不滿足條件;
對于C,“只有一次中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系,C選項不滿足條件;
對于D,“兩次都沒有中靶”與“至少一次中靶”對立,D選項滿足條件.
故選:D.
3．答案：A
解析：依題意由余弦定理,
又,所以.
故選:A
4．答案：D
解析：由直線m和n,
若,,,則與相交或平行,故A不正確;
若,,則與相交或平行,故B不正確,
若,,,,由于m,n不一定相交,所以與相交或平行,故C不正確;
若,,則垂直于同一條直線的兩個平面互相平行,即,故D正確;
故選:D.
5．答案：C
解析：根據(jù)題意,甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,方差為5,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,方差為1,
則兩組數(shù)據(jù)混合后,新數(shù)據(jù)的平均數(shù),
則新數(shù)據(jù)的方差,
故選:C.
6．答案：B
解析：因為,,,
所以,,
從而,即,
所以,所以,
所以的面積為
,
等號成立當(dāng)且僅當(dāng),,
綜上所述,面積的最大值為4.
故選:B.
7．答案：D
解析：由祖暅原理可知:三個幾何體的體積相等,
則,解得,
由,解得,
所以.
故選:D
8．答案：D
解析：設(shè)三棱錐外接球的球心為O,半徑為R,連接,,AO,PO,如圖,
因為是以角A為直角的直角三角形,所以BC為圓的直徑,則,
因為,,,所以在中由余弦定理得,
所以,得,
因為,所以,所以,
因為,為BC的中點,所以,
因為,,平面ABC,所以平面ABC,
所以三棱錐外接球的球心O在直線上,則,
在中,,所以,解得,
故選:D
9．答案：BC
解析：設(shè),,,x,y,a,b,m,,
對于A,取,,則,,,A錯誤,
對于B,由,,,
可得,,
所以,B正確,
對于C,因為,,
所以,
所以,
所以,又,
所以,C正確,
對于D,由,可得,所以,
因為y可能為0,所以不一定為純虛數(shù),D錯誤,
故選:BC.
10．答案：BD
解析：對于A,設(shè),因為,,所以,,
因為點P在直線AB上,所以,共線,
所以,化簡得①,
因為,所以,
化簡得②,
由①②,解得,或,,
所以點P的坐標(biāo)為或,所以A錯誤,
對于B,因為O是的外接圓圓心,,所以O(shè)為BC的中點,BC為圓的直徑,
因為,所以為等邊三角形,
所以向量在向量上的投影向量為,所以B正確,
對于C,當(dāng),時,,滿足,但與不一定相等,所以C錯誤,
對于D,因為,所以,
所以,同理可得,所以P是的垂心,所以D正確,
故選:BD
11．答案：ACD
解析：依題意,,,則四邊形AECF為平行四邊形,有,
而,,即有,因此,
即,因此,A正確;
因為,,因此PE,CF不平行,即不存在點P,使得,B錯誤;
連接PF,當(dāng)時,因為,即,則,
而,,PO,平面PAE,因此平面PAE,又O,F分別為AE,AD的中點,
即,于是平面PAE,而平面PAE,則,C正確;
在翻折過程中,令PO與平面AED所成角為,則點P到平面AED的距離,
又的面積,因此三棱錐的體積,
當(dāng)且僅當(dāng),即平面時取等號,所以三棱錐的體積最大值為,D正確.
故選:ACD
12．答案：15
解析：因為,所以第70百分位數(shù)為從小到大排列的第7,8位兩數(shù)的平均數(shù),
即,即第70百分位數(shù)為15.
故答案為:15
13．答案：
解析：因為向量,均為單位向量,且,所以不妨設(shè),,
設(shè),因為,所以,則設(shè),
所以,,
所以
,
所以當(dāng)時,取得最大值,
所以的最大值為.
14．答案：（1）平行;
（2）
解析：（1）記F為AB的中點,連接DF,MF,如圖1,
因為F,M分別為AB,AE的中點,故,
因為平面EBC,平面EBC
所以平面EBC,
又因為為正三角形,所以,,
又為等腰三角形,,所以,
所以,即,
所以,又平面EBC,平面EBC,
所以平面EBC,又,DM,平面DMF,
故平面平面EBC,
又因為平面EBC,故平面BEC.
（2）延長CD,AB相交于點P,連接PM交BE于點N,連接CN,過點N作交AB于點Q,如圖2,
因為平面ECB,平面PDM,平面平面,
所以,此時D,M,N,C四點共面,
由（1）可知,,,,得,,
故,又因為,所以,
則有,故.
15．答案：（1）0.0075
（2）眾數(shù),中位數(shù),第80百分位數(shù)分別為230,224,253.33
（3）5
解析：（1）因直方圖中,各組數(shù)據(jù)頻率之和為所有矩形面積之和為1,
則,
得.
（2）月平均用電量的眾數(shù)是.
因前3個矩形面積之和為.
前4個矩形面積之和為.
則中位數(shù)在內(nèi),設(shè)為y,則,得,即中位數(shù)為224.
因為前4個矩形面積之和為,前5個矩形面積之和為,則第80百分位數(shù)在內(nèi),
設(shè)第80百分位數(shù)為a,則,解得,即第80百分位數(shù)約為253.33.
（3）月平均用電量為的居民對應(yīng)的頻率為:.
又由（2）分析可知,月平均用電量為,,,的四組居民對應(yīng)頻率之和為:.
則應(yīng)抽取居民的戶數(shù)為:.
16．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明:平面ABCD,故為直線PD與平面ABCD所成的角,因此,又,
底面ABCD為矩形,且,底面ABCD為正方形,
又,而,AC,平面PAC,平面PAC,又平面PBD,平面平面PAC,
（2）,
由于,所以,
設(shè)點C到平面PBD的距離為d,則
,,解得:,
設(shè)點C到平面PBD的距離為.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為,所以,
又,所以,整理的,
所以,即,
所以;
（2）因為,所以,
又,則,即,
由余弦定理,
所以,即,
解得或（舍去）,
所以.
18．答案：（1）證明見解析
（2）當(dāng)時平面PNC,理由見解析
（3）
解析：（1）為正三角形,N為AD中點,
,
又平面平面ABCD,平面平面,平面PAD,
平面ABCD,平面ABCD,
,
在正方形ABCD中,易知,
,
而,
,
,
,PN,平面PNC,
平面PNC,平面PNC,
.
（2）存在,當(dāng)時平面PNC,
取BE的四等分點E(靠近B),取BP的四等分點Q(靠近B),連接ME,EQ,MQ,
則,平面PNC,平面PNC,所以平面PNC,
由,所以,所以,
又,,所以,
所以,平面PNC,平面PNC,所以平面PNC,
又,平面,
所以平面平面PNC,平面MEQ,所以平面PNC,
即當(dāng)時平面PNC.
（3）取DC的中點F,連接BF交NC于點G,過點G作交PC于點H,連接BH,
則且,所以四邊形DFBM為平行四邊形,所以,
又平面PNC,所以平面PNC,平面PNC,所以,
又,GH,平面GHB,所以平面GHB,平面GHB,
所以,
所以為二面角的平面角,
因為,所以,又,所以,,
又,所以,又,
,,即,所以,
所以,所以,
故二面角的正弦值為.
19．答案：（1）
（2）設(shè)計方案答案見解析,路程最大值為,理由見解析
解析：（1）由（消也可）
即所以
再由正弦定理,有:
所以
因為三角形為銳角三角形,所以,即
得:
由A,B,,則得:
又,得:,因此可得:
所以,,
故
（2）,,,
P的路程L為:
又
所以兩邊同時除以
可得:
,,,,,,
,當(dāng)且僅當(dāng),等號成立.
即
故可得:
故路程最大值為,此時圍成的三角形為邊長為7的等邊三角形.

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