一、選擇題
1．對(duì)于非零向量,,“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
二、選擇題
2．已知a，b均為空間單位向量，它們的夾角為，那么等于( )
A.B.C.D.4
三、選擇題
3．已知正四棱柱的底面長(zhǎng)是3,側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是,則這個(gè)正四棱柱的體積為( )
A.18B.54C.64D.23
四、選擇題
4．若,則( )
A.B.C.D.
五、選擇題
5．設(shè)函數(shù),若對(duì)于任意的,都有,則的最小值為( )
A.4B.2C.1D.
六、選擇題
6．圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,則圓錐的側(cè)面積為( )
A.B.C.D.
七、選擇題
7．在直三棱柱（三條側(cè)棱和底面均垂直的三棱柱叫作直三棱柱）中,若,,則異面直線與所成的角等于( )
A.B.C.D.
八、選擇題
8．在中,,則是( )
A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形
九、多項(xiàng)選擇題
9．設(shè)直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，則下列說(shuō)法不正確的是( )
A.直線l與直線m沒(méi)有公共點(diǎn)
B.直線l與直線m異面
C.直線l與直線m至多一個(gè)公共點(diǎn)
D.直線l與直線m不垂直
一十、多項(xiàng)選擇題
10．如圖,在四面體 中,,,D,E,F 分別是棱,,的中點(diǎn),則下列結(jié)論中成立的是( )
A.平面B.平面
C.平面平面D.平面平面
一十一、多項(xiàng)選擇題
11．半正多面體(semiregularslid)亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體,半正多面體有且只有13種.最早用于1970年世界杯比賽的足球就可以近似看作是由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成的半正面體,半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖所示的二十四等邊體就是一種半正多面體,它由8個(gè)正三角形和6個(gè)正方形圍成,它是通過(guò)對(duì)正方體進(jìn)行八次切截而得到的.若這個(gè)二十四等邊體的棱長(zhǎng)都為2,則下列結(jié)論正確的是( )
A.MQ與平面AEMH不可能垂直
B.異面直線BC和EA所成角為
C.該二十四等邊體的體積為
D.該二十四等邊體外接球的表面積為
一十二、填空題
12．與向量平行的單位向量是______________.
一十三、填空題
13．在中,,,,則____________.
一十四、填空題
14．如圖,在中,分別為,的中點(diǎn),F為上一點(diǎn),且滿足,則___________.
一十五、解答題
15．如圖,已知圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為1,B,A分別為上、下底面圓周上的點(diǎn),若異面直線,所成的角為,求AB的長(zhǎng).
一十六、解答題
16．如圖,在正方體中,E為的中點(diǎn).
（1）求證：平面;
（2）若F為的中點(diǎn),求證：平面平面.
一十七、解答題
17．如圖,觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西方向,B在目標(biāo)A的南偏東方向且到觀測(cè)站C距離為,有一人正沿BA方向行走,走到達(dá)D處時(shí)測(cè)得C,D相距.
（1）求;
（2）求D,A之間的距離.
一十八、解答題
18．在銳角中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知
（1）若,,求c;
（2）求的取值范圍.
一十九、解答題
19．設(shè)A,B是單位圓上不同的兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)O為圓心,點(diǎn)C是單位圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C滿足（為銳角）線段交于點(diǎn)D（不包括A,B）,點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)且在圓外,過(guò)P作圓的兩條切線,.
（1）求的范圍
（2）求的最小值,
（3）若,,求的最小值.
參考答案
1．答案：A
解析：若,則,所以,若,則不一定成立,
所以“”是“ ”的的充分不必要條件,
故選：A.
2．答案：C
解析：.故選C.
3．答案：B
解析：由題意知,正四棱柱的高為,
所以它的體積,
故選：B.
4．答案：C
解析：由可得,
故,
故選：C.
5．答案：B
解析：函數(shù),若對(duì)于任意的,都有,
則是函數(shù)的最小值,是函數(shù)的最大值,的最小值即為函數(shù)的半周期長(zhǎng),
而函數(shù)的最小正周期,因此.
故選：B.
6．答案：A
解析：
7．答案：C
解析：根據(jù)已知條件可以把直三棱柱補(bǔ)成正方體（如圖所示）,
連接和,由正方體結(jié)構(gòu)特征知：,
所以,(或其補(bǔ)角)即為異面直線與所成角,
由于為正三角形,所以,
即異面直線與所成角為.
故選：C.
8．答案：D
解析：,,
因?yàn)?,所以,所以
所以,所以或,
所以選：D.
9．答案：ABD
解析：對(duì)于選項(xiàng)A，直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，但是，直線l與m可以相交，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，但是，直線l與m可以相交也可以平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，則直線l與直線m只可以平行或者相交，不可能重合，所以，直線l與直線m至多一個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，則當(dāng)直線l垂直于平面時(shí)，直線l與直線m垂直，故D錯(cuò)誤.
10．答案：ABC
解析：對(duì)于A中,因?yàn)镈,F分別為,的中點(diǎn),可得,
又因?yàn)槠矫?且平面,所以平面,所以A正確;
對(duì)于B中,因?yàn)?且E為的中點(diǎn),可得,
又因?yàn)?且E為的中點(diǎn),可得,
因?yàn)榍?平面,所以平面,
又因?yàn)?所以平面,所以B正確.
對(duì)于C中,由B項(xiàng)知：平面,因?yàn)槠矫?
所以平面平面,所以C正確;
對(duì)于D中,設(shè)直線,易得,可得,所以,
假設(shè)平面平面,且平面平面,平面,
所以平面,
因?yàn)槠矫?所以,
又因?yàn)榕c不一定垂直,所以平面與
平面不一定垂直,所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11．答案：ABC
解析：對(duì)于A,若平面AEMH,因?yàn)槠矫鍭EMH,所以,又因?yàn)闉榈冗吶切?所以,這與矛盾,故MQ與平面AEMH不可能垂直,所以A正確:
對(duì)于B,因?yàn)?所以異面直線BC和EA所成的角即為直線AD和EA所成的角,設(shè)角,在正六邊形ADGPNE中,可得,所以異面直線BC和EA所成角為,所以B正確;
對(duì)于C,補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的一個(gè)正方體,則該正方體的體積為,其中每個(gè)小三棱形的體積為,
所以該二十四面體的體積為,所以C正確:
對(duì)于D,取正方形ACPM對(duì)角線的交點(diǎn)為O,即為該二十四面體的外接球的球心,其半徑為,所以該二十四面體的外接球的表面積為,所以D不正確.故選:ABC.
12．答案：或
解析：
13．答案：或
解析：由正弦定理得,即,
由于,所以或.
14．答案：1
解析：過(guò)點(diǎn)F作于G,令,由,得,,
由D,E分別為,的中點(diǎn),得,,
所以.
15．答案：2或
解析：如圖,過(guò)點(diǎn)A作平面于點(diǎn)D,則是母線,
連接,底面,,,
則四邊形是平行四邊形,,
與所成的角就是或其補(bǔ)角,
當(dāng)時(shí),是等邊三角形,,
在中,;
當(dāng)時(shí),在中,,
在中,.
綜上,或.
16．答案：（1）證明見(jiàn)解析;
（2）證明見(jiàn)解析.
解析：（1）連結(jié)交于O,連結(jié).
因?yàn)闉檎襟w,底面為正方形,
對(duì)角線?交于O點(diǎn),所以O(shè)為的中點(diǎn),
又因?yàn)镋為的中點(diǎn),在中
是的中位線,;
又因?yàn)槠矫?平面,
所以平面.
（2）證明：因?yàn)镕為的中點(diǎn),E為的中點(diǎn),
所以,
所以四邊形為平行四邊形,所以,
又因?yàn)槠矫?平面,
所以∥平面;
由（1）知平面,又因?yàn)?所以平面平面.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由題意知：,,,
在中,由余弦定理得：.
（2）,,
由題意知：,
在中,由正弦定理得：,,
由余弦定理得：,
即,解得：或（舍）,
,A之間的距離為.
18．答案：（1）2
（2）
解析：（1）由,得,
得,得,在,,
由余弦定理,得,
即,解得或.
當(dāng)時(shí),
即A為鈍角（舍）,
故符合.
（2）由（1）得,所以,
,
為銳角三角形,,,
,,
故的取值范圍是.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,
,
為銳角,,,
解法一：
.
取的中點(diǎn)為E,,
,.
解法二：以O(shè)為原點(diǎn),以,為x,y軸,建立直角坐標(biāo)系,
,,,
,,
,,
,
.
故小問(wèn)1答案為：.
（2）解法一：由題意知：
,
,
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,的最小值為.
解法二：由題意知：
以O(shè)為原點(diǎn),以,為x,y軸,建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn),則,
,
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,的最小值為.
解法三：
設(shè),
,,
,,
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,的最小值為.
故小問(wèn)答案為：
（3）解法一：由題意知：
,
.
,
,
令,則原式,
當(dāng)且僅當(dāng)即,等號(hào)成立,的最小值為.
解法二：由題意知：
以O(shè)為原點(diǎn),以,為x,y軸,建立直角坐標(biāo)系
,D,A,B三點(diǎn)共線
,,
,,
,
,
,
,
.
解法三：由題意知：
,,
,
,,
,下同解法二.
故小問(wèn)3答案為：.

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