2023-2024學(xué)年安徽省合肥市部分學(xué)校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是(    )A.  B.
C.  D. 2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(    )A.  B.  C.  D. 3.拋物線的對(duì)稱軸是(    )A. 直線 B. 直線 C. 直線 D. 直線4.下列函數(shù)中，隨的增大而增大的是(    )A.  B.  C.  D. 5.某種藥品售價(jià)為每盒元，經(jīng)過(guò)醫(yī)保局連續(xù)兩次“靈魂砍價(jià)”，藥品企業(yè)同意降價(jià)若干進(jìn)入國(guó)家醫(yī)保用藥目錄如果每次降價(jià)的百分率都是，則兩次降價(jià)后的價(jià)格元與每次降價(jià)的百分率之間的函數(shù)關(guān)系式是(    )A.  B.  C.  D. 6.將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新拋物線的函數(shù)表達(dá)式為(    )A.  B.
C.  D. 7.將二次函數(shù)化成的形式，正確的是(    )A.  B.
C.  D. 8.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)和一次函數(shù)的大致圖象可能是(    )A.  B.
C.  D. 9.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的和為(    )A.  B.  C.  D. 10.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，拋物線的對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )A.
B. 若點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，則
C.
D. 若，則
 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）11.已知拋物線開(kāi)口向下，則的取值范圍是______．12.已知函數(shù)為二次函數(shù)，則的值為______ ．13.已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)若，則 ______ ．14.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)．
的度數(shù)是______ ；
若點(diǎn)是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上的一點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)的最大值是______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共90.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.本小題分
已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該拋物線的表達(dá)式．16.本小題分
已知拋物線．
求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
在所給的平面直角坐標(biāo)系中，畫出該拋物線的圖象．
17.本小題分
學(xué)校準(zhǔn)備將一塊長(zhǎng)，寬的矩形綠地?cái)U(kuò)建，如果長(zhǎng)和寬都增加，設(shè)增加的面積是．
求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
若要使綠地面積增加，長(zhǎng)與寬都要增加多少米？18.本小題分

二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．
求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
根據(jù)圖象，寫出滿足不等式的的取值范圍．
19.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)為常數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
求的值以及二次函數(shù)的表達(dá)式；
若點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．
20.本小題分
規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”，頂點(diǎn)是“完美點(diǎn)”的二次函數(shù)為“完美函數(shù)”．
若點(diǎn)是“完美點(diǎn)”，則 ______ ；
已知某“完美函數(shù)”的頂點(diǎn)在直線上，且與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，求該“完美函數(shù)”的表達(dá)式．21.本小題分
已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．
當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于另一點(diǎn)，連接，，試判斷的面積是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出的面積；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．22.本小題分
如圖為某新建住宅小區(qū)修建的一個(gè)橫斷面為拋物線的拱形大門，點(diǎn)為頂點(diǎn)，其高為米，寬為米以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系．
求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；
拱形大門下的道路設(shè)雙向行車道供車輛出入正中間是寬米的值班室，其中的一條行車道能否行駛寬米、高米的消防車輛？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；
如圖，小區(qū)物業(yè)計(jì)劃在拱形大門處安裝一個(gè)矩形“光帶”，使點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)，在上，求出所需的三根“光帶”，，的長(zhǎng)度之和的最大值．

 23.本小題分
如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．
求直線的解析式；
若點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最大值；
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：時(shí)，不是二次函數(shù)，
選項(xiàng)A不符合題意；
是一次函數(shù)，
選項(xiàng)B不符合題意；
可化簡(jiǎn)為，
選項(xiàng)C符合題意；
不是二次函數(shù)，
選項(xiàng)D不符合題意，
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行逐一辨別．
此題考查了二次函數(shù)概念的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解該知識(shí)，并能對(duì)所給出的函數(shù)解析式進(jìn)行辨別．2.【答案】 【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是即可求解．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確記憶的頂點(diǎn)坐標(biāo)是是關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：，
拋物線的對(duì)稱軸是直線，
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，熟練掌握此知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：、函數(shù)中，，在隨增大而減小，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、函數(shù)中，，隨增大而增大，故本選項(xiàng)符合題意；
C、函數(shù)中，，對(duì)稱軸是軸，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、函數(shù)中，，對(duì)稱軸是軸，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)與方程的關(guān)系，函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．5.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：．
故選：．
利用經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格原價(jià)每次降價(jià)的百分率，即可找出與之間的函數(shù)關(guān)系式．
本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出與之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，進(jìn)行解答即可．
本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：，
將二次函數(shù)化成的形式為．
故選：．
利用配方法化成頂點(diǎn)式即可得到答案．
本題考查了把化成頂點(diǎn)式，正確運(yùn)用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，符合條件的為、，
選項(xiàng)A：從二次函數(shù)看，、同號(hào)，即，則，
而從一次函數(shù)看，，
故A錯(cuò)誤，不符合題意；
選項(xiàng)B：從二次函數(shù)看，、異號(hào)，即，則，
從一次函數(shù)看，，，
故B正確，符合題意；
對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，符合條件的為、，
在選項(xiàng)C中，對(duì)于拋物線而言、異號(hào)，則，
對(duì)于一次函數(shù)而言，，，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)D，從拋物線看，同號(hào)，則，
從一次函數(shù)看，，，
故D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：．
逐次分析兩個(gè)函數(shù)的、值，即可求解．
本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的圖象，掌握?qǐng)D象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：函數(shù)中，，
函數(shù)圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
的最大值與最小值的和．
故選：．
先根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的開(kāi)口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出其最小值，再找出其最大值求和即可．
本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的最值，根據(jù)題意得出函數(shù)的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：，
，
，故A錯(cuò)誤；
拋物線開(kāi)口向上，
在對(duì)稱軸右側(cè)隨增大而增大，
關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，
，故B正確；
圖象過(guò)，
，
，
，故C正確；
關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
時(shí)，，故D正確．
故選：．
根據(jù)對(duì)稱軸判斷，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷，根據(jù)拋物線與軸交點(diǎn)可判斷，根據(jù)拋物線與軸交點(diǎn)及對(duì)稱軸判斷．
本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：由題意可知：，
；
故答案為：．
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．12.【答案】 【解析】解：函數(shù)為二次函數(shù)，
，
解得：，
故答案為：
由函數(shù)為二次函數(shù)，可得，再解不等式組可得答案．
本題考查的是二次函數(shù)的定義，形如：的函數(shù)是二次函數(shù)，熟記二次函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．13.【答案】 【解析】解：當(dāng)，則，
設(shè)方程的兩根分別為，，
，，
，
，
，
，
，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
故答案為：．
設(shè)方程的兩根分別為，，可得，，利用，再解方程即可．
本題考查的是二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用建立方程求解是解本題的關(guān)鍵．14.【答案】   【解析】解：在中，令得，
，
令得或，
，，
，，，
，
，
故答案為：；
由，得直線解析式為，
設(shè)，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值，
故答案為：．
由求出，，，可得，，，故；
由，得直線解析式為，設(shè)，可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理逆定理的應(yīng)用，二次函數(shù)最值問(wèn)題等，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．15.【答案】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線為：，
把代入可得：
，
解得：，
拋物線為：． 【解析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線為：，再把代入，從而可得答案．
本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，根據(jù)給定的條件設(shè)出合適的表達(dá)式是解本題的關(guān)鍵．16.【答案】解：，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
如圖所示：
 【解析】把化成頂點(diǎn)式即可得到結(jié)論；
根據(jù)題意畫出拋物線的圖象即可．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，正確地畫出圖象是解題的關(guān)鍵．17.【答案】解：由題意可得，

化簡(jiǎn)，得
，
即與之間的函數(shù)關(guān)系式是：；
將代入，得
，
解得，舍去，，
即若要使綠地面積增加，長(zhǎng)與寬都要增加米． 【解析】根據(jù)題意可以得到與之間的函數(shù)關(guān)系式；
將代入中的函數(shù)關(guān)系式，即可解答本題．
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．18.【答案】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
，得，
，
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，
點(diǎn)，
設(shè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，
，得，
一次函數(shù)，
即二次函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為；
由圖象可知，
不等式的的取值范圍：或． 【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，可以求得二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，從而可以求得一次函數(shù)的解析式；
根據(jù)函數(shù)圖象可以直接寫出滿足不等式的的取值范圍．
本題考查二次函數(shù)與不等式組、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．19.【答案】解：把點(diǎn)坐標(biāo)為代入一次函數(shù)中可得：
，
，
把點(diǎn)坐標(biāo)為代入二次函數(shù)中可得：
，
解得：，
，
答：的值為，二次函數(shù)的表達(dá)式為：；
，
頂點(diǎn)，
軸，
把代入中得：
，
，
． 【解析】把點(diǎn)的坐標(biāo)為代入可求出的值，然后再把點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可解答；
求出，坐標(biāo)，可得結(jié)論．
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)．20.【答案】 【解析】解：點(diǎn)是“完美點(diǎn)”，
，即，
解得：，
故答案為：；
某“完美函數(shù)”的頂點(diǎn)在直線上，
設(shè)函數(shù)的頂點(diǎn)為，
該函數(shù)為“完美函數(shù)”，
，
解得：，
，
該函數(shù)的頂點(diǎn)為，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
令，則，
該函數(shù)與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，
，
解得：或，
或
該“完美函數(shù)”的表達(dá)式為：或．
由定義可得，求出的值即可；
根據(jù)該“完美函數(shù)”的頂點(diǎn)在直線上可求出頂點(diǎn)為，然后可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，令，則，再根據(jù)該函數(shù)與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為求出的值即可得到答案．
本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相反數(shù)的定義，理解新定義，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．21.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：，，
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
的面積不發(fā)生變化，理由如下：
對(duì)于拋物線，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：，，
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
，
直線的解析式為：，
聯(lián)立得：，
解得：，，
點(diǎn)在上，
當(dāng)時(shí)，，
，
． 【解析】將代入可得，令，解方程即可求解；
令，有，解方程得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，則，由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得直線為，聯(lián)立求解方程組得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：，．
設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為，
拋物線過(guò)，
，解得，
這條拋物線的函數(shù)解析式為，
即．
當(dāng)或時(shí)
．
故能行駛寬米、高米的消防車輛．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
則，
根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱，可得：，
故BC，即
令
故當(dāng)，即米時(shí)，三根木桿長(zhǎng)度之和的最大值為米． 【解析】根據(jù)所建坐標(biāo)系知頂點(diǎn)和與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式形式求解，的取值范圍是；
根據(jù)對(duì)稱性當(dāng)車寬米時(shí)，或，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的值，與車高米進(jìn)行比較得出結(jié)論；
求三段和的最大值須先列式表示三段的和，再運(yùn)用性質(zhì)求最大值，可設(shè)點(diǎn)或點(diǎn)的坐標(biāo)表示三段的長(zhǎng)度從而得出表達(dá)式．
本題考查通過(guò)建模把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性．23.【答案】解：拋物線與軸相交于點(diǎn)，
，
拋物線與軸相交于點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為；
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)．
直線的解析式為：．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值；
在軸上是存在點(diǎn)，能夠使得是直角三角形．理由如下：
，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分三種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，
由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
綜上可知，在軸上存在點(diǎn)，能夠使得是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或． 【解析】已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式；
過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)的解析式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)就可以表示出的面積，運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論；
分三種情況進(jìn)行討論：以為直角頂點(diǎn)；以為直角頂點(diǎn)；以為直角頂點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理列出方程，求出的值即可．
本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，勾股定理等知識(shí)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．

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