解三角形是指已知三角形的部分邊和角，求出三角形中其他未知的邊和角。通常利用勾股定理、相似三角形的性質(zhì)或者銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系進(jìn)行求解，是江蘇省各地市中考的必考點(diǎn)，考查形式多樣，既有選擇題、填空題，也會(huì)考查解答題，選擇和填空考查時(shí)，難度中等或者偏難，綜合題考查時(shí)難度中等。接此類題目時(shí)，要善于運(yùn)用勾股定理、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求三角形的邊長，能夠運(yùn)用銳角三角函數(shù)的基本知識(shí)進(jìn)行邊角互化，從而解出三角形。
【2022·江蘇南通·中考母題】如圖，B為地面上一點(diǎn)，測得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測角儀，測得樹頂A的仰角為，則樹高為___________m（結(jié)果保留根號(hào)）．
【考點(diǎn)分析】本題考查了解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．
【思路分析】在中，利用，求出，再加上1m即為AC的長．
【2022·江蘇常州·中考母題】如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．
【考點(diǎn)分析】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．
【思路分析】過點(diǎn)作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【2022·江蘇南通·中考母題】如圖，點(diǎn)O是正方形的中心，．中，過點(diǎn)D，分別交于點(diǎn)G，M，連接．若，則的周長為___________．
【考點(diǎn)分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【思路分析】連接BD，則BD過正方形的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，進(jìn)而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出OM、EM和OE即可解決問題．
【2022·江蘇無錫·中考母題】△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．
【考點(diǎn)分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
【思路分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時(shí)線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．
1．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊，，若不改變矩形的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)在軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)始終在軸的正半軸上隨之上下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離有最大值，則此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______ ．
2．（2022·江蘇·陽山中學(xué)一模）在中，，有一個(gè)銳角為60°，AB＝4，若點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A、B重合），且，則CP的長為______．
3．（2022·江蘇·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖，平面內(nèi)幾條線段滿足．AB、CD的交點(diǎn)為E，現(xiàn)測得，，，則CD的長度為___________．
4．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得，連接，B′B，則面積的最大值為________．
5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，連接BD、CD，將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEC，點(diǎn)M在邊AE上，若，，則線段BM的最小值為______．
6．（2022·江蘇蘇州·一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則長度的最小值為______．
7．（2022·江蘇·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，在中，，．矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若，則當(dāng)EC＝______時(shí)，矩形DEFG面積的最大值＝______．
8．（2022·江蘇南通·二模）某校航模小組打算制作模型飛機(jī)，設(shè)計(jì)了如圖所示的模型飛機(jī)機(jī)翼圖紙，圖紙中，均與水平方向垂直．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，機(jī)翼外緣CD的長為______cm．（結(jié)果取整數(shù)，參考，，）
9．（2022·江蘇·靖江市教師發(fā)展中心二模）如圖，，，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為______．
10．（2022·江蘇泰州·二模）如圖，在等邊外側(cè)作直線AD，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接CM，BM．其中BM交直線AD于點(diǎn)E．若，當(dāng)，時(shí)，則等邊的邊長為______．
11．（2022·江蘇·無錫市河埒中學(xué)二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是CD邊上的一點(diǎn)，連接BP，以BP為一邊在正方形內(nèi)部作，過點(diǎn)A作，交BQ的延長線于點(diǎn)E，則______．
12．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖，在中，，則的面積為_______．
13．（2022·江蘇常州·二模）如圖，在中，，．D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，將沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在同一平面內(nèi)點(diǎn)F處，線段FD交邊AB于點(diǎn)G，若時(shí)，則______．
14．（2022·江蘇南京·一模）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為 _____．
15．（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長是3．，連接、交于點(diǎn)，并分別與邊、交于點(diǎn)、，連接，下列到結(jié)論：①；②；③；④；⑤當(dāng)時(shí)，，其中正確結(jié)論是：__．
16．（2022·江蘇·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，將兩塊三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角頂點(diǎn)O重合，點(diǎn)A、D在EF邊上，AB=6．
（1）若點(diǎn)O到BC的距離為，則點(diǎn)O到EF的距離為_________；
（2）若BC=3AD，則△OCD外接圓的半徑為_________．
17．（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)一模）如圖，將繞斜邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，已知，，則________．
18．（2022·江蘇徐州·二模）如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)，，分別是邊，，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值是______．
19．（2022·江蘇南通·一模）如圖，△ABC中，，，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△DCE，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別與點(diǎn)A，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，邊CE， DE與邊AB相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)F，點(diǎn)G，若，則的值為_________．
20．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，⊙O的半徑為__________；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時(shí)，其半徑為__________．
21．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AB于F，則△ABD的面積為______，BF＝______．
22．（2022·江蘇無錫·一模）一個(gè)含30度角的三角板和一個(gè)含45度角的三角板按如圖所示的方式拼接在一起，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，AC=CE=2，取AB中點(diǎn)O，連接OF.∠FCE在∠ACB內(nèi)部繞點(diǎn)C任意轉(zhuǎn)動(dòng)(包括邊界)，則CE在運(yùn)動(dòng)過程中掃過的面積為____；在旋轉(zhuǎn)過程中，線段OF的長度最小時(shí)，兩塊三角板重疊部分的周長為____．
23．（2022·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）在△ABC中，∠BAC＝120°，D為BC的中點(diǎn)，AE＝6，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到AF，若CF＝7，∠ACF＝∠AEC，則AC＝________．
24．（2022·江蘇連云港·一模）如圖，在矩形和中，，將繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，當(dāng)最大時(shí)，的面積為___________．
25．（2022·江蘇·常州市武進(jìn)區(qū)前黃實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是矩形對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交所在直線與點(diǎn)，以、為邊作矩形，當(dāng)時(shí)，則長為______．
【填空題】必考重點(diǎn)10 解三角形
解三角形是指已知三角形的部分邊和角，求出三角形中其他未知的邊和角。通常利用勾股定理、相似三角形的性質(zhì)或者銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系進(jìn)行求解，是江蘇省各地市中考的必考點(diǎn)，考查形式多樣，既有選擇題、填空題，也會(huì)考查解答題，選擇和填空考查時(shí)，難度中等或者偏難，綜合題考查時(shí)難度中等。接此類題目時(shí)，要善于運(yùn)用勾股定理、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求三角形的邊長，能夠運(yùn)用銳角三角函數(shù)的基本知識(shí)進(jìn)行邊角互化，從而解出三角形。
【2022·江蘇南通·中考母題】如圖，B為地面上一點(diǎn)，測得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測角儀，測得樹頂A的仰角為，則樹高為___________m（結(jié)果保留根號(hào)）．
【考點(diǎn)分析】本題考查了解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．
【思路分析】在中，利用，求出，再加上1m即為AC的長．
【答案】
【詳解】解：過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，如圖：
則四邊形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由題意可知：，，
在中，，
∴，
∴，
故答案為：
【2022·江蘇常州·中考母題】如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．
【考點(diǎn)分析】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．
【思路分析】過點(diǎn)作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【答案】
【詳解】解：過點(diǎn)作的垂線交于，
，
四邊形為矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【2022·江蘇南通·中考母題】如圖，點(diǎn)O是正方形的中心，．中，過點(diǎn)D，分別交于點(diǎn)G，M，連接．若，則的周長為___________．
【考點(diǎn)分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【思路分析】連接BD，則BD過正方形的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，進(jìn)而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出OM、EM和OE即可解決問題．
【答案】
【詳解】解：如圖，連接BD，則BD過正方形的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，
∵，，
∴
∴AG＝AB＝，
∴BG＝，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在△ABG和△HFD中，，
∴△ABG≌△HFD（AAS），
∴AG＝DH，AB＝HF，
∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，
在△BCM和△FHM中，，
∴△BCM≌△FHM（AAS），
∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝，
∴BF＝，
∵M(jìn)是BF中點(diǎn)，O是BD中點(diǎn)，△BEF是直角三角形，
∴OM＝，EM＝，
∵BD＝，△BED是直角三角形，
∴EO＝，
∴的周長＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，
故答案為：．
【2022·江蘇無錫·中考母題】△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．
【考點(diǎn)分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
【思路分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時(shí)線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．
【答案】80
【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
設(shè)BF與AC相交于點(diǎn)H，如圖：
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，
∵點(diǎn)D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，
∴此時(shí)線段AF長度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，
∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
過點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，
∴DG=GE=，
∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，
故答案為：80；4-．
1．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊，，若不改變矩形的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)在軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)始終在軸的正半軸上隨之上下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離有最大值，則此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______ ．
【答案】
【思路分析】取AD的中點(diǎn)M，，連接OM，CM，利用垂線段最短，再利用三角函數(shù)建立等式即可求解．
【詳解】解：如圖1，取AD中點(diǎn)M，連接OM，CM，
∴，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，∠CDM=90°，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離最大時(shí)，O、M、C三點(diǎn)共線，此時(shí)，
如圖2，過O點(diǎn)作ON⊥AD于N，
∴，
∴即，即
∴，，
∴，
Rt△ONA中，，
∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
故答案為：．
2．（2022·江蘇·陽山中學(xué)一模）在中，，有一個(gè)銳角為60°，AB＝4，若點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A、B重合），且，則CP的長為______．
【答案】或2
【思路分析】分∠ABC=60°、∠ABC=30°兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可．
【詳解】解：①當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，則BC=AB=2，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，
∵∠PCB=30°，
∴CP⊥AB，
則PC=BCcs30°=2×=；
②當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，如圖，
∵∠PCB=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACP=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△PAC為等邊三角形．
∴PC=AC，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=AB=2．
∴PC=2．
綜上，PC的長為：2或．
故答案為：2或．
3．（2022·江蘇·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖，平面內(nèi)幾條線段滿足．AB、CD的交點(diǎn)為E，現(xiàn)測得，，，則CD的長度為___________．
【答案】
【思路分析】延長交于，過作交于，根據(jù)“字形”可知，得到相似比，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理得，結(jié)合條件得出，再利用相似比即可求出的長度．
【詳解】解：延長交于，過作交于，如圖所示：
，
，
，
，
，
,
,
,
,,
,
設(shè)，則，
在中，根據(jù)勾股定理得,
，解得，
，解得，
故答案為：．
4．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得，連接，B′B，則面積的最大值為________．
【答案】16
【思路分析】根據(jù)B′點(diǎn)軌跡求得B′到直線BC的最大距離為B′A+AC，再由勾股定理求得AC即可解答；
【詳解】解：如圖，B′的軌跡在以A為圓心，AB為半徑的圓上，點(diǎn)D、A、C三點(diǎn)共線，
∠ACB=90°，則DC⊥BC，
當(dāng)B′與點(diǎn)A、C不共線時(shí)，B′C＜B′A+AC，
∵B′C與BC不垂直，
由垂線段的性質(zhì)可得：B′到直線BC的距離小于B′C，
∴B到直線BC的距離小于B′A+AC，
當(dāng)B′與點(diǎn)D重合時(shí)，B′到直線BC的距離= B′A+AC，
∴B′到直線BC的最大距離為B′A+AC，
∴當(dāng)B′與點(diǎn)D重合時(shí)，△B′CB的面積最大，
Rt△ABC中，AC=，
∴△B′CB面積最大值為DC?BC=（5+3）×4=16，
故答案為：16；
5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，連接BD、CD，將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEC，點(diǎn)M在邊AE上，若，，則線段BM的最小值為______．
【答案】
【思路分析】點(diǎn)D在以BC為直徑的圓O上，根據(jù)垂線段最短，延長BD交AE于點(diǎn)F，證明BF⊥AE，四邊形DCEF是正方形，用勾股定理計(jì)算BD，BF=BD+DF計(jì)算即可．
【詳解】∵，
∴點(diǎn)D在以BC為直徑的圓O上，
延長BD交AE于點(diǎn)F，
∴∠EDF=90°，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得
∠AEC=∠ACB=90°，∠ECD=90°，CD=CE，
∴∠DFE=90°，
∴BF⊥AE，
∴BF最短，
∴當(dāng)M與點(diǎn)F重合時(shí)，BM最小，
∵ AC=2CD=BC=4，
∴DF=CD=2，BD=，
∴BF=BD+DF=，
故答案為：．
6．（2022·江蘇蘇州·一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則長度的最小值為______．
【答案】
【思路分析】過C作CD⊥AB于D，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)求出AB，利用勾股定理求BC，然后利用面積橋求出CD，根據(jù)點(diǎn)E為A′C中點(diǎn)求出CE，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，C、E、D三點(diǎn)共線時(shí)EP最短即可求解．
【詳解】解： 過C作CD⊥AB于D，
∵，，，
∴AB=2AC=4，BC=，
∴，
∴，
∵點(diǎn)E是A′C的中點(diǎn)，A′C=AC=2，
∴CE=，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，C、E、D三點(diǎn)共線時(shí)EP最短，
EP最短=CD-CE=．
故答案為：．
7．（2022·江蘇·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，在中，，．矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若，則當(dāng)EC＝______時(shí)，矩形DEFG面積的最大值＝______．
【答案】 2
【思路分析】設(shè)ED=x，EF=y，過F作FH⊥AC于H，根據(jù)求出，HE，勾股定理求出FH，根據(jù)AC=AH+HE+EC得到，進(jìn)而得到關(guān)于矩形DEFG面積的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到面積的最大值．
【詳解】解：設(shè)ED=x，EF=y，過F作FH⊥AC于H，
在Rt△ECD中，
∵，
∴，
∴，
∵∠FEH+∠CED=90°，
∴∠EFH=∠DEC，
∴，
∴FH=，
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=，
∵AC=AH+HE+EC=，
∴=4，
∴，
∴矩形DEFG面積=xy==，
∴當(dāng)時(shí)，矩形EDGF面積有最大值，最大值為，
∴=2，
故答案為：2，．
8．（2022·江蘇南通·二模）某校航模小組打算制作模型飛機(jī)，設(shè)計(jì)了如圖所示的模型飛機(jī)機(jī)翼圖紙，圖紙中，均與水平方向垂直．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，機(jī)翼外緣CD的長為______cm．（結(jié)果取整數(shù)，參考，，）
【答案】5
【思路分析】過點(diǎn)A作DC的垂線，交DC的延長線于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長線于點(diǎn)F．易證四邊形AFDE是矩形，那么AE=FD=30cm，DE=AF．解Rt△AEC，求出EC=AE=30cm．再解Rt△BFD，根據(jù)正切函數(shù)定義可得BF=FD?tan27°≈15.3cm．最后根據(jù)CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE，代入數(shù)據(jù)即可求得CD的長．
【詳解】解：過點(diǎn)A作DC的垂線，交DC的延長線于點(diǎn)E． 過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長線于點(diǎn)F．
在四邊形AFDE 中，∵AB∥CD，∠AED=90°，
∴∠FAE=90°．
又∠AFD=90°，
∴四邊形AFDE是矩形，
∴AE=FD=30cm，DE=AF．
在Rt△AEC中，∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，AE=30cm，
∴EC=AE=30cm．
在Rt△BFD中，∵∠BFD=90°，∠BDF=27°，F(xiàn)D=30cm，
∴tan27°=，
∴BF=FD?tan27°≈15.3cm．
∴CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE≈5cm．
故機(jī)翼外緣CD的長度約為5cm．
故答案為：5
9．（2022·江蘇·靖江市教師發(fā)展中心二模）如圖，，，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為______．
【答案】
【思路分析】作射線BD，根據(jù)△DEF為等腰直角三角形，得出DE=DF，再判斷四點(diǎn)D、E、B、F共圓，得出∠DEF=∠DFE=45°，得出BD平分∠ABC，可得當(dāng)AD⊥BD時(shí)，AD最短，然后利用AD=ABsin∠ABD=即可．
【詳解】解：作射線BD，
∵△DEF為等腰直角三角形，
∴DE=DF，
∵∠EDF=∠EBF=90°，
∴四點(diǎn)D、E、B、F共圓，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∴BD平分∠ABC，
∴當(dāng)AD⊥BD時(shí)，AD最短，
∵AB=5
∴AD=ABsin∠ABD=．
故答案為．
10．（2022·江蘇泰州·二模）如圖，在等邊外側(cè)作直線AD，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接CM，BM．其中BM交直線AD于點(diǎn)E．若，當(dāng)，時(shí)，則等邊的邊長為______．
【答案】
【思路分析】設(shè)DE交CM于點(diǎn)F，連接AM，CE，過點(diǎn)B作于N，由對(duì)稱的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可證，再由三角形外角的知識(shí)點(diǎn)求得，通過解直角三角形可得BN、CN的長，再利用勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】
設(shè)DE交CM于點(diǎn)F，連接AM，CE，過點(diǎn)B作于N，
點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為M，
，，，
，
，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
故答案為：．
11．（2022·江蘇·無錫市河埒中學(xué)二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是CD邊上的一點(diǎn)，連接BP，以BP為一邊在正方形內(nèi)部作，過點(diǎn)A作，交BQ的延長線于點(diǎn)E，則______．
【答案】
【思路分析】連接AP，作EM⊥.PB于M，根據(jù)S△PBE= S△ABP=S正方形ABCD= 8即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接AP，作EM⊥PB于M，
AE//PB，
S△PBE= S△ABP=S正方形ABCD=，
，
∠EBM = 45°，∠EMB = 90°.
EM=BE，
，
，
故答案為．
12．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖，在中，，則的面積為_______．
【答案】
【思路分析】過B點(diǎn)作BD⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)D，過C點(diǎn)作CN⊥AB于N點(diǎn)，在AN上取一點(diǎn)M，使得MN=NB，設(shè)CN=a，先求出∠DCB=45°，即在Rt△DCB中，DC=DB=BC，再解含有特殊角的直角三角形即可得到BC=CM=AM=2a， MN=NB=a，根據(jù)三角形的面積即可求出a的值，則問題得解．
【詳解】過B點(diǎn)作BD⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)D，過C點(diǎn)作CN⊥AB于N點(diǎn)，在AN上取一點(diǎn)M，使得MN=NB，設(shè)CN=a，如圖，
∵BD⊥AC，CN⊥AB，
∴∠D=90°=∠CNM=∠CNB，
∵∠A=15°，∠ABC=30°，
∴∠DCB=45°，
∴在Rt△DCB中，DC=DB=BC，
∵∠ABC=30°，
∴在Rt△CNB中，2CN=BC=2a，BN=CN=a，
∴DC=DB=×2a=a，
∵ CN⊥AB，MN=NB=a，
∴有△CMB是等腰三角形，CM=CB=2a，
∴∠CMB=∠CBM=30°，
∵∠A=15°，
∴∠ACM=∠A=15°，
∴AM=CM=BC=2a，
∴AB=AM+MN+BN=2a+2a，
∴△ABC的面積為：，
∴，
解得，
∴△ABC的面積為：，
故答案為：．
13．（2022·江蘇常州·二模）如圖，在中，，．D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，將沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在同一平面內(nèi)點(diǎn)F處，線段FD交邊AB于點(diǎn)G，若時(shí)，則______．
【答案】4
【思路分析】如圖，過點(diǎn)作交的延長線于，如圖，利用正弦的定義得到，則設(shè)，，所以，再根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，所以，接著根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，則，然后證明，利用相似比得到，最后計(jì)算的值．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于，如圖，
，
，
，
設(shè)，，
，
沿直線翻折得到，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
．
故答案為：4．
14．（2022·江蘇南京·一模）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為 _____．
【答案】
【思路分析】設(shè)PQ與AC交點(diǎn)為O，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點(diǎn)，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過O作BC的垂線，然后根據(jù)和△ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出，得到PQ的最小值．
【詳解】解：設(shè)PQ與AC交點(diǎn)為O，
∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝2，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過O作BC的垂線，
∵，，
∴△CAB∽△，
∴，
∴，
∴＝，
∴則PQ的最小值為2＝，
故答案為：．
15．（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長是3．，連接、交于點(diǎn)，并分別與邊、交于點(diǎn)、，連接，下列到結(jié)論：①；②；③；④；⑤當(dāng)時(shí)，，其中正確結(jié)論是：__．
【答案】①③⑤
【思路分析】由正方形的性質(zhì)得出條件，先判定△DAP≌△ABQ（SAS），再判定△CQF≌△BPE（ASA）及△ADF≌△DCE（SAS），則可判斷①②③是否正確；由勾股定理可判斷④是否正確；分別判定△PBE∽△PAD，△PAD∽△QOE，從而可得比例式，求得OE和OA的值，則可判斷⑤是否正確．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP和△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴∠DAO+∠ADO＝∠ADO+∠FDO＝90°，
∴∠DAO＝∠FDO，
∴△DAO∽△FDO，
∴，
∴OD2＝OA?OF，
∵OD不一定等于OQ，
故②不正確；
在△CQF和△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
故①正確；
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF﹣S△DOF＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四邊形OECF，
故③正確；
∵AQ⊥DP，
∴AO2+OE2＝AE2，
∵AE＞AB＝BC，
∴AO2+OE2＞BC2，
故④錯(cuò)誤；
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵正方形ABCD中，BC∥AD，
∴△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE，
∴QE，
∵∠P＝∠Q，∠PAD＝∠QOE＝90°，
∴△PAD∽△QOE，
∴，
∴OQ，OE，
∴AO＝5﹣OQ，
∴tan∠OAE，
故⑤正確．
綜上，正確的有①③⑤．
故答案為：①③⑤．
16．（2022·江蘇·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，將兩塊三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角頂點(diǎn)O重合，點(diǎn)A、D在EF邊上，AB=6．
（1）若點(diǎn)O到BC的距離為，則點(diǎn)O到EF的距離為_________；
（2）若BC=3AD，則△OCD外接圓的半徑為_________．
【答案】 6
【思路分析】（1）根據(jù)題意可得∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，延長GO交EF于點(diǎn)H，證明△OAH≌△BOG（AAS），可得OH=BG，AH=OG=，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題；
（2）根據(jù)題意證明△HOD∽△GCO，可得，由tan∠OCD=tan30°=，設(shè)BG=OH=x，可得CG=x，設(shè)HD=k，可得OG=k，根據(jù)BC=3AD可得，k=x，然后利用勾股定理可得DO=6，進(jìn)而可以解決問題．
【詳解】解：（1）∵兩塊三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，
∴∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，
如圖，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，延長GO交EF于點(diǎn)H，
∵四邊形BCEF是矩形，
∴BC∥EF，
∴OH⊥EF，
∴∠OHA=∠AOB=90°，
∴∠AOH+∠OAH=∠AOH+∠BOG=90°，
∴∠OAH=∠BOG，
在△OAH和△BOG中，
，
∴△OAH≌△BOG（AAS），
∴OH=BG，AH=OG=，
∵AB=6．
∴AO=BO=AB=3，
∴BG=2，
∴OH=2，
則點(diǎn)O到EF的距離為2，
故答案為：2；
（2）∵∠OGC=∠DHO=∠DOC=90°，
∴∠HOD+∠COG=∠GCO+∠COG=90°，
∴∠HOD=∠GCO，
∴△HOD∽△GCO，
∴，
∵∠OCD=30°，
∴tan∠OCD=tan30°=，
∴，
由（1）知：OH=BG，AH=OG，
設(shè)BG=OH=x，
∴CG=x，
設(shè)HD=k，
∴OG=k，
∴AH=OG=k，
∴AD=AH+DH=（+1）k，
∵BC=3AD，BC=BG+CG=OH+CG=（+1）x，
∴（+1）x=3（+1）k，
∴k=x，
∴AH=OG=k=x，
在Rt△AHO中，根據(jù)勾股定理得：
OH2+AH2=AO2，
∴x2+（x）2=（3）2，
解得x=3，
∴HD=k=x=，BG=OH=x=3，
在Rt△DHO中，根據(jù)勾股定理得：
DH2+OH2=DO2，
∴（）2+（3）2=DO2，
∴DO=6，
∴△OCD外接圓的半徑為6．
故答案為：6．
17．（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)一模）如圖，將繞斜邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，已知，，則________．
【答案】
【思路分析】如圖，連接，，作于，于．先證，根據(jù)勾股定理求出AB，利用旋轉(zhuǎn)求出EF，然后證明四邊形OMCH為矩形，求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接，，作于，于．
由題意：，
，，，，共圓，
，
，，
，
，
∵，，，
，
，
，
∵△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到△FEH，
∴AE=CB，F(xiàn)E=AB=，
∴，
∴∠BAC=∠ACE，
∴，
∴于，于．
∴∠DMC=∠DHC=∠HCM=90°，
∴四邊形是矩形，
，
∵OE=,
，
故答案為．
18．（2022·江蘇徐州·二模）如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)，，分別是邊，，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值是______．
【答案】3
【思路分析】作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，過點(diǎn)A作AI⊥BC于I，過點(diǎn)A作AJ⊥GH于J．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短確定△DEF周長的最小值是GH，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系確定，再根據(jù)垂線段最短確定當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△DEF周長取得最小值為，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可求解．
【詳解】解：如下圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，過點(diǎn)A作AI⊥BC于I，過點(diǎn)A作AJ⊥GH于J．
∴GE=DE，HF=DF，AG=AD，AH=AD，∠GAB=∠DAB，∠HAC=∠DAC．
∴AG=AH，．
∴，△DEF周長的最小值是GH．
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°．
∴∠DAB+∠DAC=60°．
∴∠GAB+∠HAC=60°．
∴∠GAH=∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC=120°．
∴．
∴，．
∴．
∴當(dāng)AD取得最小值時(shí)，GH取得最小值，即△DEF周長取得最小值．
∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，即點(diǎn)D與點(diǎn)I重合時(shí)，△DEF周長取得最小值為．
∵AB=2，
∴．
∴．
∴△DEF周長的最小值是3．
故答案為：3．
19．（2022·江蘇南通·一模）如圖，△ABC中，，，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△DCE，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別與點(diǎn)A，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，邊CE， DE與邊AB相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)F，點(diǎn)G，若，則的值為_________．
【答案】
【思路分析】過F作FH⊥BC于H，設(shè)AB=5k則AF=3k，BF=2k，解Rt△ABC，Rt△BFH和Rt△CHF求得CF的長，再由△GFE∽△CFB即可解答；
【詳解】解：如圖，過F作FH⊥BC于H，
設(shè)AB=5k，則AF=3k，BF=2k，
，則Rt△ABC中，AC=3k，BC==4k，
Rt△BFH中，F(xiàn)H=k，BH==k，
∴CH=BC-BH=4k-k=k，
Rt△CHF中，CF==k，
∵CE=CB，∴EF=CE-CF=4k-k，
∴EF∶BF=（4k-k）∶2k=，
∵∠E=∠B，∠GFE=∠CFB，
∴△GFE∽△CFB，∴=，
故答案為：；
20．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，⊙O的半徑為__________；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時(shí)，其半徑為__________．
【答案】 2 或
【思路分析】由題意易得，則有，．連接OD，過點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，由與⊙O相切，則有OD⊥AD，即∠ADO=90°，，即有∠ODM=∠ADC-∠ADO=30°，則可求出，問題得解；
②可分為⊙O與四邊形的邊相切和⊙O與四邊形的邊相切兩種情況，進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)可進(jìn)行求解．當(dāng)⊙O與四邊形的邊相切于點(diǎn)G時(shí)，作OF⊥CD于點(diǎn)F，并延長，交AD的延長線于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)N，利用，，即可求出和其度數(shù)，即可求出和其度數(shù)，即可求出、，進(jìn)而求出、、NF，設(shè)，則可表示出、，在Rt△DFO中，利用勾股定理得可得到關(guān)于r的方程，解方程即可求出r；當(dāng)⊙O與四邊形的邊相切時(shí)，則切點(diǎn)即為點(diǎn)C，為⊙O的直徑，⊙O的半徑為．
【詳解】解：∵在四邊形中，，，，
∴，
∴，，
連接OD，過點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，
如圖所示：
∵與⊙O相切，
∴OD⊥AD，即∠ADO=90°，，
∴∠ODM=∠ADC-∠ADO=30°，
∴，
即⊙O的半徑為2；
②分兩種情況討論
第一種情況：當(dāng)⊙O與四邊形的邊相切于點(diǎn)G時(shí)，作OF⊥CD于點(diǎn)F，并延長，交AD的延長線于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)N，如圖所示：
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴NF=5，
設(shè)，則有，
∴，
在Rt△DFO中，由勾股定理得：，整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去）；
第二種情況：當(dāng)⊙O與四邊形的邊相切時(shí)，則切點(diǎn)即為點(diǎn)C，
∴為⊙O的直徑，
∴⊙O的半徑為；
綜上所述：當(dāng)⊙O與四邊形的一邊相切時(shí)，其半徑為2或或；
故答案：2；或．
21．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AB于F，則△ABD的面積為______，BF＝______．
【答案】 3
【思路分析】過D作DG⊥AB于G，利用勾股定理和三角函數(shù)解Rt△ABC，Rt△DBG，Rt△ACD，Rt△ACE，Rt△ADG，Rt△AEF，求得AF即可解答；
【詳解】解：過D作DG⊥AB于G，
∵DB=DC，AC⊥BC，∴S△BDA=S△CDA=S△ABC=；
Rt△ABC中由勾股定理得：AB=，
∴cs∠B==，sin∠B==，
Rt△DBG中，BD=2，則BG=2×cs∠B=，DG=2×sin∠B=，
Rt△ACD中，AC=3，CD=2，則AD=，
∴cs∠CAD=，
Rt△ACE中，AC=3，則AE=3×cs∠CAE=，
Rt△ADG中，AG=AB-BG=5-=，AD=，則cs∠DAG=，
Rt△AEF中，AE=，則AF=，
∴BF=AB-AF=5-=，
故答案為：3，；
22．（2022·江蘇無錫·一模）一個(gè)含30度角的三角板和一個(gè)含45度角的三角板按如圖所示的方式拼接在一起，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，AC=CE=2，取AB中點(diǎn)O，連接OF.∠FCE在∠ACB內(nèi)部繞點(diǎn)C任意轉(zhuǎn)動(dòng)(包括邊界)，則CE在運(yùn)動(dòng)過程中掃過的面積為____；在旋轉(zhuǎn)過程中，線段OF的長度最小時(shí)，兩塊三角板重疊部分的周長為____．
【答案】
【思路分析】利用扇形面積公式，兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題．
【詳解】解：連接．在中，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
在運(yùn)動(dòng)過程中掃過的面積，
，
，
當(dāng)CF過O點(diǎn)時(shí)，如圖，的最小值為．
過G點(diǎn)做，
∵，，
∴，，，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
兩塊三角板重疊部分的周長為，
故答案為，．
23．（2022·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）在△ABC中，∠BAC＝120°，D為BC的中點(diǎn)，AE＝6，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到AF，若CF＝7，∠ACF＝∠AEC，則AC＝________．
【答案】10
【思路分析】過D作DM平行EC，交AB于M，過E作EN垂直CA延長線于點(diǎn)N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得△AMD≌△ACF（AAS），再利用三角形中位線的性質(zhì)求得CE的長；解Rt△ENA得出EN和NA的長，在Rt△ENC中由勾股定理便可解答；
【詳解】解：如圖，過D作DM平行EC，交AB于M，過E作EN垂直CA延長線于點(diǎn)N，
DM∥CE，則∠DMA=∠CEA，∵∠ACF=∠AEC，∴∠ACF=∠DMA，
∵∠BAC=∠DAF=120°，∴∠BAD=∠∠CAF，
由旋轉(zhuǎn)可知AD=AF，∴△AMD≌△ACF（AAS），∴MD=CF=7，
D是BC中點(diǎn)，DM∥CE，∴DM是△BCE的中位線，∴CE=2DM=14，
Rt△ENA中，∠EAN=180°-120°=60°，∴EN=AEsin∠EAN=，NA=3，
Rt△ENC中，CE2=EN2+CN2，即196=27+（AC+3）2，
解得：AC=10，或AC=-16（舍去），
故答案為：10；
24．（2022·江蘇連云港·一模）如圖，在矩形和中，，將繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，當(dāng)最大時(shí)，的面積為___________．
【答案】
【思路分析】構(gòu)造以點(diǎn)B為圓心，4為半徑的圓，由圖可知，當(dāng)CE與⊙B相切時(shí)，最大，再求出此時(shí)的面積即可．
【詳解】解：∵繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴點(diǎn)E在以點(diǎn)B為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，由圖可知，當(dāng)CE與⊙B相切時(shí)，最大，下面求的面積，
∵ CE與⊙B相切
∴∠BEC＝90°
在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，BE＝4，BC＝5，
由勾股定理得

∴
∴sin∠CBE＝
過點(diǎn)F作FH⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)H，
∴∠BHF＝90°
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠ABC＝90°
∴∠CBH＝180°－∠ABC＝90°
∴∠CBE＋∠EBH＝90°
∵是直角三角形
∴∠EBF＝90°
∴∠FBH＋∠EBH＝90°
∴∠CBE＝∠FBH
∴
∴FH＝
∴的面積為×AB×FH＝×6×＝
由圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到BC的左側(cè)的點(diǎn)時(shí)，當(dāng)C與⊙B相切時(shí)，最大，的面積仍然是
故答案為：．
25．（2022·江蘇·常州市武進(jìn)區(qū)前黃實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是矩形對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交所在直線與點(diǎn)，以、為邊作矩形，當(dāng)時(shí)，則長為______．
【答案】或
【思路分析】作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，先根據(jù)勾股定理求出的長，再證明∽，可求得，則，可推導(dǎo)出，再用含的代數(shù)式表示、，而，推導(dǎo)出，再根據(jù)列方程求出的值即可．
【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
四邊形是矩形，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
， ，
，，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，，
當(dāng)時(shí)，如圖，
當(dāng)時(shí)，如圖，
故答案為：或．

相關(guān)試卷

專題09 中考20題 不等式、方程與函數(shù)的綜合討論題型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版）：

這是一份專題09 中考20題 不等式、方程與函數(shù)的綜合討論題型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版），共10頁。

專題08 中考19題 三角函數(shù)的應(yīng)用—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版）：

這是一份專題08 中考19題 三角函數(shù)的應(yīng)用—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版），共12頁。試卷主要包含了5°，求佛像BD的高度．，1m．參考數(shù)據(jù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題05 尺規(guī)作圖與平面幾何結(jié)合題型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版）：

這是一份專題05 尺規(guī)作圖與平面幾何結(jié)合題型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版），共8頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題04 動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖形結(jié)合題型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版）

專題04 動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖形結(jié)合題型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版）
專題03 觀察規(guī)律歸納型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版）

專題03 觀察規(guī)律歸納型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版）
專題03 觀察規(guī)律歸納型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（解析版）

專題03 觀察規(guī)律歸納型—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（解析版）
專題02 與圓有關(guān)的計(jì)算求陰影部分的面積—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版）

專題02 與圓有關(guān)的計(jì)算求陰影部分的面積—2023年中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練（河南專用）（原卷版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部