數(shù)學試題
本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，務必將自己的姓名、座位號和準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。
2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。
3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。
5．考試結束后，只將答題卡交回。
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．根據(jù)物理中的胡克定律，彈簧伸長的長度與所受的外力成正比．測得一根彈簧伸長長度和相應所受外力的一組數(shù)據(jù)如下：
據(jù)此給出以下結論：
①這兩變量不相關；②這兩個變量負相關；③這兩個變量正相關．
其中所有正確結論的個數(shù)是（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
3．一名同學有4本不同的數(shù)學書，5本不同的物理書，3本不同的化學書，現(xiàn)要將這些書全部放在一個單層的書架上，且同科目的書不分開，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．某種生態(tài)魚在某個池塘一年的生長量（單位：克）服從正態(tài)分布，則概率為（ ）
參考數(shù)據(jù)：①；②；③
A．0.8186B．0.84C．0.8785D．0.9759
5．已知函數(shù)，有大于的極值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．的展開式中，各項系數(shù)和與含項的系數(shù)分別是（ ）
A．4092，495B．8188，220C．4092，220D．8188，495
7．已知函數(shù)的最大值為，令，，則，，的大小關系是（ ）
A．B．C．D．
8．一個直四棱柱的底面為梯形，這個四棱柱的每兩個頂點相連形成多條直線，這些直線最多能組成（ ）對異面直線
A．174B．180C．210D．368
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．下列有關樣本相關系數(shù)，敘述正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．的取值范圍是
C．越接近1，表示兩變量的線性相關程度越強
D．越接近0，表示兩變量的線性相關程度越強
10．在一個大型公司中，技術部門員工占，非技術部門員工占．在技術部門中，有的員工持有碩士學位，而在非技術部門中，只有的員工持有碩士學位．現(xiàn)從該公司隨機抽取一名員工．則下列結論正確的是（ ）
A．抽到的員工是技術部門且持有碩士學位的概率為
B．抽到的員工持有碩士學位的概率為
C．若抽到的員工持有碩士學位，則該員工是技術部門的概率為
D．若抽到的員工持有碩士學位，則該員工是非技術部門的概率為
11．對于可以求導的函數(shù)，如果它的導函數(shù)也是可導函數(shù)，那么將的導函數(shù)記為．如果有零點，則稱其為的“駐點”；如果有零點，則稱點為的“拐點”．
某同學對三次函數(shù)和進行探究發(fā)現(xiàn)，得到如下命題，其中真命題為：（ ）
A．在“駐點”處取得最值
B．一定有“拐點”，但不一定有“駐點”
C．若有3個零點，則
D．存在實數(shù)，使得對于任意不相等的兩實數(shù)都有
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知，之間的一組數(shù)據(jù)：
若與滿足回歸方程，則的值為______．
13．第33屆夏季奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校欲從4名男生、5名女生中選派5名大學生到奧運會的3個項目當志愿者（每個項目必須有志愿者），則志愿者中至少有4名女生的分配方法共有______種（用數(shù)作答）．
14．已知函數(shù)則關于的方程根的個數(shù)為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
已知的展開式中所有的二項式系數(shù)之和為64．
（1）求的值；
（2）求該展開式的常數(shù)項．
16．（15分）
設，，，兩個函數(shù)的圖象如圖所示．
（1）過點作的切線，求的方程；
（2）判斷，的圖象與，之間的對應關系，根據(jù)這些關系，寫出一個不等式，并證明．
17．（15分）
竹編是某地的地方特色，某地區(qū)相關部門對該地居民在過去兩年內學習竹編次數(shù)進行了詳盡統(tǒng)計，然后隨機抽取了80名居民的學習數(shù)據(jù)，現(xiàn)將整理后的結果呈現(xiàn)如下表：
（1）若將這兩年學習竹編的次數(shù)為3次及3次以上的，稱為學習竹編“先鋒”，其余的稱為學習竹編“后起之秀”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學習竹編有關系；
（2）若將這兩年內學習竹編6次的居民稱為竹編“愛好者”，為進一步優(yōu)化竹編技術，在樣本的“愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男性人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．
附：，
18．（17分）
隨著信息技術的飛速進步，大數(shù)據(jù)的應用領域正日益擴大，它正成為推動社會進步的關鍵力量．某研究機構開發(fā)了一款數(shù)據(jù)分析軟件，該軟件能夠精準地從海量數(shù)據(jù)中提取有價值的信息．在軟件測試階段，若輸入的數(shù)據(jù)集質量高，則軟件分析準確的概率為0.8；若數(shù)據(jù)集質量低，則分析準確的概率為0.3．已知每次輸入的數(shù)據(jù)集質量低的概率為0.1．
（1）求一次數(shù)據(jù)能被軟件準確分析的概率；
（2）在連續(xù)次測試中，每次輸入一個數(shù)據(jù)集，每個數(shù)據(jù)集的分析結果相互獨立．設軟件準確分析的數(shù)據(jù)集個數(shù)為．
①求的方差；
②當為何值時，的值最大？
19．（17分）
已知函數(shù)，記．
（1）判斷的單調性；
（2）若存在極值點，且，
①求的取值范圍；
②求證：．編號
1
2
3
4
5
6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
3.08
3.76
4.31
5.02
5.51
6.25
1
4
9
16
5.5
4
3.5
3
學習竹編次數(shù)
0
1
2
3
4
5
6
合計
男
1
3
5
7
9
9
6
40
女
5
6
7
7
6
5
4
40
合計
6
9
12
14
15
14
10
80
性別
學習竹編
合計
后起之秀
先鋒
男生
女生
合計
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635

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