福建省漳州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份福建省漳州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版），共17頁(yè)。試卷主要包含了 已知，，，則， 函數(shù)的部分圖象大致是， 已知，則“”的一個(gè)充分條件是， 為了得到函數(shù)的圖象，只需等內(nèi)容，歡迎下載使用。
本試卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：A.
2. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函數(shù)定義域滿(mǎn)足，解得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域滿(mǎn)足，解得.
故選：B.
3. 若，則下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知C正確，舉反例得到ABD錯(cuò)誤，得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：取，，不成立，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：取，，不成立，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：，則，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：取，，不成立，錯(cuò)誤；
故選：C.
4. 已知，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性與和進(jìn)行比較大小.
【詳解】根據(jù)題意，,,,
所以.
故選：D
5. 函數(shù)的部分圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】確定函數(shù)為偶函數(shù)排除CD，當(dāng)時(shí)，，排除B，得到答案.
【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>，函數(shù)為偶函數(shù)，排除CD；
當(dāng)時(shí)，，排除B；
故選：A.
6. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用誘導(dǎo)公式和和差公式計(jì)算得到答案.
【詳解】
.
故選：C.
7. 已知，則“”的一個(gè)充分條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件的定義逐項(xiàng)判斷.
【詳解】對(duì)于A：即，因，所以不一定成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：即，因?yàn)?，所以不一定成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：即，因?yàn)?，所以不一定成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：即，則成立，故D正確.
故選：D.
8. 若函數(shù)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】確定，，得到，當(dāng)時(shí)，，得到，解得答案.
詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且；
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，
且，解得；
當(dāng)時(shí)，，，.
函數(shù)單調(diào)遞增，則，解得；
同理可得：當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，
且，解得；
綜上所述：.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 函數(shù)是偶函數(shù)B. 函數(shù)是增函數(shù)
C. 的解集為D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定，函數(shù)為奇函數(shù)得到A錯(cuò)誤，函數(shù)為增函數(shù)得到B正確，計(jì)算得到CD正確，得到答案.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即，解得，即，
對(duì)選項(xiàng)A：函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：函數(shù)是增函數(shù)，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，解得，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，正確；
故選：BCD.
10. 為了得到函數(shù)的圖象，只需（ ）
A. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換和誘導(dǎo)公式，進(jìn)行逐一判斷選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得,故A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，故D正確.
故選：ACD
11. 已知，，且，則（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為
C. 的最小值為2D. 的最大值為8
【答案】BC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，利用基本不等式直接進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C選項(xiàng)，兩邊平方后，利用基本不等式求出答案；D選項(xiàng)，變形得到，D錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，由基本不等式得?br>即，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為，B正確；
C選項(xiàng)，兩邊平方得，
，其中，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故，解得，
的最小值為2，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，?br>所以，
故D錯(cuò)誤.
故選：BC
12. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 函數(shù)是奇函數(shù)
B. 函數(shù)是增函數(shù)
C. 關(guān)于的不等式的解集為
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)定義判斷A錯(cuò)誤，確定函數(shù)單調(diào)遞增B正確，構(gòu)造，確定函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，得到，C正確，確定，計(jì)算得到D錯(cuò)誤，得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：函數(shù)定義域?yàn)?，，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：，在上單調(diào)遞增，故是增函數(shù)，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>則，函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，
，即，即，
故，解得，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，，
，錯(cuò)誤；
故選：BC.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知圓心角是2弧度的扇形的周長(zhǎng)為8，則扇形的面積為_(kāi)_____.
【答案】4
【解析】
【分析】設(shè)扇形半徑為，解得，計(jì)算面積即可.
【詳解】設(shè)扇形半徑為，則，解得，.
故答案為：.
14. 若函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解：因?yàn)閿?shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
即，
所以當(dāng)時(shí)，.
故答案為：
15. 設(shè)，則的值為_(kāi)_____.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，求解值.
【詳解】由，則，所以，
故,
故答案為：
16. 函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】判斷出為偶函數(shù)，只需研究時(shí)的值域即可，分、討論去絕對(duì)值，然后利用兩角和與差的正弦化簡(jiǎn)，再根據(jù)的范圍求的值域即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，只需研究時(shí)的值域即可.
當(dāng)即或時(shí)，
，
因或，
所以，或，
可得；
當(dāng)即時(shí)，
，
因?yàn)椋?br>所以，
可得，
綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是只需研究時(shí)的值域，分、討論，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)解題.
四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知集合，.
（1）求；
（2）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）確定或，，再計(jì)算補(bǔ)集和并集即可.
（2）確定，考慮和兩種情況，計(jì)算得到答案.
小問(wèn)1詳解】
集合或，，
故，.
【小問(wèn)2詳解】
，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，或，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn).
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)定義可得，后由兩角和的正切公式可得答案；
（2）由與誘導(dǎo)公式可得，后由可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由三角函數(shù)定義，結(jié)合題意，可得，
即，所以；
【小問(wèn)2詳解】
由誘導(dǎo)公式，結(jié)合題意可得：，
又，則，
又，則
19. 設(shè)函數(shù)，其中.
（1）若命題“，”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論.
【答案】（1）
（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可推出“，”為真命題，結(jié)合判別式列不等式，即可求得答案；
（2）由題意可得的表達(dá)式，判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槊}“，”為假命題，
所以“，”為真命題，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問(wèn)2詳解】
在區(qū)間上單調(diào)遞減.證明如下：
，且，
則
，
因?yàn)?，且?br>所以，，，
所以，即，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
20. 已知函數(shù)，且函數(shù)的最小正周期為.
（1）求的圖象的對(duì)稱(chēng)中心；
（2）若，求使取最大值時(shí)自變量的集合，并求出最大值.
【答案】（1），
（2）或，最大值為.
【解析】
【分析】（1）確定，變換得到，再計(jì)算對(duì)稱(chēng)中心即可.
（2）變換，取，計(jì)算得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
，
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，，故，，
.
由，，得，，
故的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，.
【小問(wèn)2詳解】
，
所以當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)或，即或，，
使取最大值時(shí)自變量的集合為或，最大值為.
21. 北京時(shí)間2023年10月26日11時(shí)14分，搭載神舟十七號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)遙十七運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心精準(zhǔn)發(fā)射，約10分鐘后，神州十七號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，航天員乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功，這是我國(guó)載人航天工程立項(xiàng)實(shí)施以來(lái)的第30次發(fā)射任務(wù)，也是空間站階段的第2次載人飛行任務(wù).航天工程對(duì)人們的生活產(chǎn)生方方面面的影響，有關(guān)部門(mén)對(duì)某航模專(zhuān)賣(mài)店的航模銷(xiāo)售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該專(zhuān)賣(mài)店每天銷(xiāo)售一款特價(jià)航模，在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的特價(jià)航模日銷(xiāo)售價(jià)格（元/個(gè)）與時(shí)間（一個(gè)月內(nèi)的第天，下同）的函數(shù)關(guān)系近似表示為（常數(shù)）.該專(zhuān)賣(mài)店特價(jià)航模日銷(xiāo)售量（百個(gè)）與時(shí)間部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
已知一個(gè)月內(nèi)第7天該專(zhuān)賣(mài)店特價(jià)航模日銷(xiāo)售收入為350百元.
（1）給出以下三種函數(shù)模型：①，②，③.請(qǐng)你依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從以上三種函數(shù)模型中，選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來(lái)表示該專(zhuān)賣(mài)店特價(jià)航模日銷(xiāo)售量（百個(gè)）與時(shí)間的關(guān)系，說(shuō)明你的理由.
（2）借助你在（1）中選擇的模型，記該專(zhuān)賣(mài)店特價(jià)航模日銷(xiāo)售收入為（百元），其中，，預(yù)估該專(zhuān)賣(mài)店特價(jià)航模日銷(xiāo)售收入在一個(gè)月內(nèi)的第幾天最低？
【答案】（1）選擇模型③，理由見(jiàn)解析
（2）第13天最低.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)變化速度排除模型①，根據(jù)不對(duì)稱(chēng)性排除模型②，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，滿(mǎn)足條件，得到答案.
（2）確定，，利用均值不等式計(jì)算最值得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
選擇模型③，理由如下：
表格中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)勻速遞增時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)并未勻速變化，模型①不滿(mǎn)足題意；
因?yàn)楸砀裰袛?shù)據(jù)滿(mǎn)足，而模型②滿(mǎn)足，模型②不滿(mǎn)足題意；
對(duì)于模型③，將，代入模型③，有，解得，
此時(shí)，
經(jīng)驗(yàn)證，，均滿(mǎn)足，所以模型③滿(mǎn)足題意.
故選擇模型③
【小問(wèn)2詳解】
，故，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以預(yù)估該專(zhuān)賣(mài)店特價(jià)航模日銷(xiāo)售收入在一個(gè)月內(nèi)的第13天最低.
22. 已知函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，其中，.
（1）求的值；
（2）用表示，中的最小者，記為，請(qǐng)討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)解得答案，再驗(yàn)證即可.
（2）考慮，，三種情況，首先確定的零點(diǎn)情況，再根據(jù)，，，四種情況計(jì)算的零點(diǎn)，綜合得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
是奇函數(shù)，所以，即，
因?yàn)?，所以?br>，函數(shù)定義域?yàn)?，?br>函數(shù)為奇函數(shù)，滿(mǎn)足；
【小問(wèn)2詳解】
①當(dāng)時(shí)，，從而，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，，，，
所以當(dāng)，且時(shí)，，
，即是的零點(diǎn)；
當(dāng)，時(shí)，，
，即不是的零點(diǎn).
③當(dāng)時(shí)，，所以與在內(nèi)的零點(diǎn)完全相同.
，，即，.
（i）當(dāng)，時(shí)，，
所以在內(nèi)的零點(diǎn)有，，…，共個(gè)；
（ii）當(dāng)，時(shí)，，
所以在內(nèi)的零點(diǎn)有，，…，，共個(gè)；
（iii）當(dāng)，時(shí)，，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；
（iv）當(dāng)，時(shí)，，
在內(nèi)的零點(diǎn)有，，…，，共個(gè).
綜上所述：
當(dāng)，時(shí)，在內(nèi)共有個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)，時(shí)，在內(nèi)共有個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查形式的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，分類(lèi)討論可以明確解題思路，是解題的關(guān)鍵，此方法是?？嫉臄?shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.
（天）
2
7
14
23
（百個(gè)）
4
5
6
7