【知識儲備】
1．二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
?1?項數(shù)為n＋1.
?2?各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
?3?字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.
2．二項式系數(shù)的性質(zhì)
[常用結(jié)論]
若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：
(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項．
(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項．
(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項．
(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項．
【題型精講】
【題型一 求特定項的系數(shù)】
方法技巧 三項式的展開式：
若令，便得到三項式展開式通項公式，其中叫三項式系數(shù)．
例1 (2023·華師大二附中高三練習(xí)） 若，則 ．
例2 在的展開式中，的系數(shù)是 ．
例3 (2023·江西模擬）在 的展開式中，含 的項的系數(shù)是（ ）
A．10B．12C．15D．20
【題型精練】
1. (2023·河南高三月考）在的展開式中，項的系數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全國高三課時練習(xí)）展開式中二項式系數(shù)和為___________，展開式中常數(shù)項為___________.
3．(2023·棗莊模擬）在的展開式中，含項的系數(shù)為（ ）
A．-480B．480C．-240D．240
4. (2023·汕頭模擬）的展開式中系數(shù)為有理數(shù)項的共有_______項.
【題型二 已知項的系數(shù)求參】
例4 (2023·四川模擬）已知二項式的展開式中，項的系數(shù)為40，則（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
例5 (2023·武昌模擬）的展開式中，項的系數(shù)為-10，則實數(shù) .
【題型精練】
1．(2023·石家莊模擬）已知二項式的展開式中，項的系數(shù)為40，則（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
2. (2023·臨沂二模）已知 的展開式中各項系數(shù)的和為-3，則該展開式中 的系數(shù)為（ ）
A．-120B．-40C．40D．120
【題型三 二項式定理的性質(zhì)】
例6 (2023·唐山二模）（多選）已知的展開式中第3項與第8項的二項式系數(shù)相等，則（ ）
A．n=9B．
C．常數(shù)項是672D．展開式中所有項的系數(shù)和是-1
例7 設(shè)為正整數(shù)，的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【題型精練】
1．(2023·高三課時練習(xí)）若的展開式中第5項與第6項的二項式系數(shù)相等，則（ ）
A．11B．10C．9D．
2.(2023·廣東高三模擬）若n展開式中前三項的系數(shù)和為163，則展開式中系數(shù)最大的項為_______．
3. (2023·浙江高三模擬）在的展開式中，只有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【題型四 二項式系數(shù)和及系數(shù)和問題】
方法技巧 系數(shù)和問題
，令得系數(shù)和： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
令得奇數(shù)項系數(shù)和減去偶數(shù)項系數(shù)和： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，聯(lián)立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可求得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和．
例8 (2023·福建泉州科技中學(xué)月考）在的展開式中，求：
（1）二項式系數(shù)的和；
（2）各項系數(shù)的和；
（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；
（4）奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；
（5）的奇次項系數(shù)和與的偶次項系數(shù)和.
【題型精練】
1．(2023·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）若，則的值為 ．
2.(2023·濟北中學(xué)高三月考）設(shè) .若 ，則實數(shù) ， ．
3. (2023·上虞模擬）已知，則 ， .
【題型五 二項式定理的應(yīng)用】
例9 (2023福建省部分名校高三聯(lián)合測評）（多選）若能被13整除，則實數(shù)的值可以為（ ）
A．0B．11C．12D．25
例10 的計算結(jié)果精確到個位的近似值為
A．106B．107C．108D．109
【題型精練】
1.(2023·全國高三課時練習(xí)）(1.05)6的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是
A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34
2. 若，則被8整除的余數(shù)為___________.
9.5 二項式定理5大題型
【題型解讀】
【知識儲備】
1．二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
?1?項數(shù)為n＋1.
?2?各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
?3?字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.
2．二項式系數(shù)的性質(zhì)
[常用結(jié)論]
若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：
(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項．
(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項．
(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項．
(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項．
【題型精講】
【題型一 求特定項的系數(shù)】
方法技巧 三項式的展開式：
若令，便得到三項式展開式通項公式，其中叫三項式系數(shù)．
例1 (2023·華師大二附中高三練習(xí)） 若，則 ．
答案：-56
【解析】由題意可知，， 展開式的通項公式為，
由，得出求的項是.
令，解得，所以.故答案為：-56.
例2 在的展開式中，的系數(shù)是 ．
答案：-189
【解析】由二項式定理知的展開式的通項為：
，
令，解得，
所以的系數(shù)是，故答案為：-189.
例3 (2023·江西模擬）在 的展開式中，含 的項的系數(shù)是（ ）
A．10B．12C．15D．20
答案：A
【解析】因為 的展開式為 ，
的展開式為 和 的和，
； ，
所以在 中令 ，即可得到 的項的系數(shù)，是 ，
故答案為：A.
【題型精練】
1. (2023·河南高三月考）在的展開式中，項的系數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】展開式中，通項．
令，得，故展開式中項的系數(shù)為.故選：C.
2．(2023·全國高三課時練習(xí)）展開式中二項式系數(shù)和為___________，展開式中常數(shù)項為___________.
答案：64
【解析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得二項式展開式的二項式系數(shù)和；
又由二項展開式的通項為，
令，解得，
所以展開式的常數(shù)項為.
故答案為：，.
3．(2023·棗莊模擬）在的展開式中，含項的系數(shù)為（ ）
A．-480B．480C．-240D．240
答案：A
【解析】看成是6個相乘，要得到.分以下情況：
6個因式中，2個因式取，1個因式取，3個因式取，此時的系數(shù)，所以的系數(shù)為-480.故答案為：A
4. (2023·汕頭模擬）的展開式中系數(shù)為有理數(shù)項的共有_______項.
答案：17
【解析】的展開式的通項為：，
即r既是3的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)，則是的倍數(shù)，r=0，6，12，，96，共17項.
故答案為：.
【題型二 已知項的系數(shù)求參】
例4 (2023·四川模擬）已知二項式的展開式中，項的系數(shù)為40，則（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
答案：C
【解析】由，令，解得，所以項的系數(shù)為，解得． 故答案為：C
例5 (2023·武昌模擬）的展開式中，項的系數(shù)為-10，則實數(shù) .
答案：2
【解析】，
的展開式通項為，所以，的展開式通項為，
令，可得，由題意可得，解得.故答案為：2.
【題型精練】
1．(2023·石家莊模擬）已知二項式的展開式中，項的系數(shù)為40，則（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
答案：C
【解析】由，令，解得，所以項的系數(shù)為，解得．
故選：C
2. (2023·臨沂二模）已知 的展開式中各項系數(shù)的和為-3，則該展開式中 的系數(shù)為（ ）
A．-120B．-40C．40D．120
答案：A
【解析】在二項式 中，令 ，可得 ，解得 ，
的展開式通項為 ，
因為 ，
在 ，令 ，可得 ，
在 中，令 ，可得 ，
因此，展開式中 的系數(shù)為 .故答案為：A.
【題型三 二項式定理的性質(zhì)】
例6 (2023·唐山二模）（多選）已知的展開式中第3項與第8項的二項式系數(shù)相等，則（ ）
A．n=9B．
C．常數(shù)項是672D．展開式中所有項的系數(shù)和是-1
答案：A,D
【解析】由，可得n=9，則A判斷正確；B判斷錯誤；
的展開式的通項公式為
令，則，則展開式的常數(shù)項是.C判斷錯誤；
展開式中所有項的系數(shù)和是.判斷正確.故答案為：AD
例7 設(shè)為正整數(shù)，的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：C
【解析】的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，故，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為或，兩者相等，不妨令，則有，解得：.
故選：C
【題型精練】
1．(2023·高三課時練習(xí)）若的展開式中第5項與第6項的二項式系數(shù)相等，則（ ）
A．11B．10C．9D．
答案：C
【解析】因為第5項二項式系數(shù)為，第6項的二項式系數(shù)為，
由題意知，所以，即，所以，故選：C.
2.(2023·廣東高三模擬）若n展開式中前三項的系數(shù)和為163，則展開式中系數(shù)最大的項為_______．
答案：5376
【解析】展開式的通項公式為，由題意可得，，解得，
設(shè)展開式中項的系數(shù)最大，則
解得，
又∵，∴，
故展開式中系數(shù)最大的項為.
故答案為：5376.
3. (2023·浙江高三模擬）在的展開式中，只有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】依題意，第五項二項式系數(shù)最大，一共是9項，所以n=8，
二項式展開項的通項公式為： ，
，
∴ 的系數(shù)為
故選：C.
【題型四 二項式系數(shù)和及系數(shù)和問題】
方法技巧 系數(shù)和問題
，令得系數(shù)和： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
令得奇數(shù)項系數(shù)和減去偶數(shù)項系數(shù)和： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，聯(lián)立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可求得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和．
例8 (2023·福建泉州科技中學(xué)月考）在的展開式中，求：
（1）二項式系數(shù)的和；
（2）各項系數(shù)的和；
（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；
（4）奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；
（5）的奇次項系數(shù)和與的偶次項系數(shù)和.
答案：（1）；
（2）1；
奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為；
奇數(shù)項的系數(shù)和為，偶數(shù)項的系數(shù)和為；
（5）的奇次項系數(shù)和為，的偶次項系數(shù)和為
【解析】設(shè)，
各項系數(shù)和為，
奇數(shù)項系數(shù)和為，偶數(shù)項系數(shù)和為，
的奇次項系數(shù)和為，的偶次項系數(shù)和為
（1）二項式系數(shù)的和為；
（2）令，，則，
所以各項系數(shù)和為1；
（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，
偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為；
（4）由（2）知，①，取，，
則②，
所以奇數(shù)項的系數(shù)和，
偶數(shù)項的系數(shù)和；
（5）由（4）知，的奇次項系數(shù)和為，
的偶次項系數(shù)和為.
【題型精練】
1．(2023·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）若，則的值為 ．
答案：-32
【解析】令，可得。 故答案為：-32。
2.(2023·濟北中學(xué)高三月考）設(shè) .若 ，則實數(shù) ， ．
答案：；6
【解析】令x=1，則(1+2m)5+(1-1)4=a0+a1+a2+a3+a4+a5=32解得： m=.
(x+1)5的第r+1項系數(shù)為Tr+1=.所以(x+ 1)5展開式中的x3的系數(shù)為=10，
(x- 1)4的第r+1項系數(shù)為Tr+1=·x4-r.(-1)r 所以(x- 1)4展開式中的x3的系數(shù)為-= -4；
a3=10-4=6故答案為： ；6.
3. (2023·上虞模擬）已知，則 ， .
答案：-3240；-1
【解析】展開式的通項為：，
令，可得；
令得：；令得：，
.
故答案為：-3240；-1.
【題型五 二項式定理的應(yīng)用】
例9 (2023福建省部分名校高三聯(lián)合測評）（多選）若能被13整除，則實數(shù)的值可以為（ ）
A．0B．11C．12D．25
答案：CD
【解析】∵
，
又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，結(jié)合選項可知CD滿足．
故選：CD.
例10 的計算結(jié)果精確到個位的近似值為
A．106B．107C．108D．109
答案：B
【解析】∵，∴.故選B
【題型精練】
1.(2023·全國高三課時練習(xí)）(1.05)6的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是
A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34
答案：D
【解析】 (1.05)6 =
=1+0.3+0.0375+0.0025+…1.34．故選D．
2. 若，則被8整除的余數(shù)為___________.
答案：5
【解析】在已知等式中，取得，
取得，
兩式相減得，
即，
因為
因為能被8整除，
所以被8整除的余數(shù)為5，
即被8整除的余數(shù)為5，
故答案為：5

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