【知識必備】
1．直線的方向向量
設(shè)A，B是直線上的兩點，則eq \(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．
2．直線的傾斜角
(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α0；
當(dāng)k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞)．
(3)解 由題意可知k≠0，再由l的方程，
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
依題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)0，))
解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|
＝eq \f(1,2)·eq \f(?1＋2k?2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))
≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的條件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.
【題型三 直線的位置關(guān)系】
方法技巧 判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點
(1)斜率不存在的特殊情況．
(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論
例5 (2023·全國高三專題練習(xí)）已知，，直線，，且，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．D．
答案：D
【解析】因為，所以，即，
因為，，所以，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．
故選：D.
例6 (2023·廣東深圳市·高三二模）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
答案：C
【解析】當(dāng)兩直線平行，∴，解得或，
當(dāng)，兩直線重合，舍去；
當(dāng)時，兩直線平行．
所以“”是“直線與直線平行”的充要條件．
故選：C
【題型精練】
1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）“m＝3”是“直線l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
答案：A
【解析】由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，
∴m＝3或m＝－2，
∴“m＝3”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件．
2. (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
答案：D
【解析】由題意得直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點．當(dāng)直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行時，m＝eq \f(2,3)或m＝－eq \f(4,3)；當(dāng)直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點時，m＝－eq \f(2,3).所以實數(shù)m的取值集合為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).
【題型四 兩直線的交點與距離問題】
方法技巧 利用距離公式應(yīng)注意的點
(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.
(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．
例7 （1）（2023·湖南高考真題）點到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
（2）（2023·浙江高三專題練習(xí)）已知直線，直線，則與之間的距離為（ ）
A．B．C．D．
答案：（1）D（2）D
【解析】（1）點到直線的距離為，故選：D.
（2）直線的方程可化為，則與之間的距離．故選：D
例8 (2023·全國·高三專題練習(xí)）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5)
C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
答案：C
【解析】因為eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，
所以|PQ|的最小值為eq \f(29,10).
【題型精練】
1. 設(shè)直線l：與直線平行，則點到l的距離的最小值為（ ）
A．B．1C．D．
答案：A
【解析】由已知兩直線平行，∴,∴直線,
∴到l的距離的,當(dāng)時取到最小值,
故選：
2. (2023·山東青島·二模）直線l1經(jīng)過點(3,0)，直線l2經(jīng)過點(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之間的距離，則d的取值范圍是________．
答案：(0,5]
【解析】當(dāng)直線l1，l2都與過(3,0)，(0,4)兩點的直線垂直時，
dmax＝eq \r(32＋42)＝5；
當(dāng)直線l1和l2都經(jīng)過(3,0)，(0,4)兩點時，兩條直線重合．
所以0＜d≤5.
【題型五 對稱問題】
方法技巧 對稱問題的求解策略
(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．
(2)中心對稱問題可以利用中點坐標(biāo)公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．
例9 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：
(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；
(3)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′的方程．
【解析】(1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,13)，\f(4,13))).
(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，
則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．
設(shè)對稱點M′(a，b)，則
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))
得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
設(shè)直線m與直線l的交點為N，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．
又m′經(jīng)過點N(4,3)，
∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.
(3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，
如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點P′，Q′均在直線l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.
方法二 ∵l∥l′，
∴設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，
∴由點到直線的距離公式，
得eq \f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq \f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，
解得C＝－9，∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.
【題型精練】
1. 已知直線，則點P(2，2)關(guān)于對稱的點的坐標(biāo)為（ ）
A．(1，3)B．(-1，-1)C．(-1，5)D．(-2，-2)
答案：C
【解析】設(shè)點，根據(jù)對稱得到,解得：，所以(-1，5).
故選：C.
2. (2023·山東青島·二模）直線關(guān)于對稱的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在所求的直線上任取一點 ，關(guān)于對稱后的點為 ，
則有，
所以 ，
因為點在直線，
所以
即，
故選：D名稱
方程
適用范圍
點斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直線x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用
位置關(guān)系
法向量滿足的條件
l1，l2滿足的條件
l3，l4滿足的條件
平行
v1∥v2
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
垂直
v1⊥v2
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
v1與v2
不共線
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.1直線方程(精練)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.1直線方程(精練)(原卷版+解析)，共15頁。

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))4.4ω的最值范圍問題(精講)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))4.4ω的最值范圍問題(精講)(原卷版+解析)，共19頁。

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))3.4還原構(gòu)造函數(shù)5大模型(精講)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))3.4還原構(gòu)造函數(shù)5大模型(精講)(原卷版+解析)，共20頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.7函數(shù)的圖象(精講)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.7函數(shù)的圖象(精講)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))1.3復(fù)數(shù)(精講)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))1.3復(fù)數(shù)(精講)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))1.3復(fù)數(shù)(精練)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))1.3復(fù)數(shù)(精練)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))1.1集合(精講)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))1.1集合(精講)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部