【題型一 線面垂直的判定】
1.(2023·陜西安康·高三期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，.證明：
(1)平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
2.(2023·江蘇南通市高三模擬）在平行四邊形中過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，.連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.如圖2.證明：直線平面.
3. (2023·陜西高三模擬）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，證明：平面
4. (2023·海原縣高三模擬）如圖，在三棱臺(tái)中，側(cè)棱平面點(diǎn)在棱上，證明：平面
5. (2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于，），已知，，平面，四邊形為平行四邊形，求證：平面
【題型二 面面垂直的判定】
1.(2023·全國(guó)高三模擬）如圖，正方形ABED的邊長(zhǎng)為1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直線CE與平面ABC所成角的正切值為．
(1)若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC；
(2)求證：平面BCD⊥平面ACD．
2.(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）在四棱錐中，底面是正方形，若，證明：平面平面
3. (2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；
4. (2023·全國(guó)高三模擬）已知正三角形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足（如圖1），將沿折起到的位置（如圖2），且使與底面成角，連接，，求證：平面⊥平面
【題型三 線線垂直的判定】
1.(2023·江西高三模擬）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．證明：
2.(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）在四棱錐中，底面．證明：
3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證：
4. (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，四邊形是菱形，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).證明：；
【題型四 垂直中的探究性問(wèn)題】
1.(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).，）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
2.(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中， 分別為的中點(diǎn)，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面平面；
（2）是否存在，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
3. (2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別為棱和的中點(diǎn)，交于，試在棱上找一點(diǎn)，使平面，并證明你的結(jié)論；
4. (2023·云南昆明市高三模擬）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且.①當(dāng)在上時(shí)，______；②點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.
7.6 空間幾何體中垂直的判定和性質(zhì)
【題型解讀】

【題型一 線面垂直的判定】
1.(2023·陜西安康·高三期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，.證明：
(1)平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】(1)取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF.
∵M(jìn)，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，
∴，.
∵E為DA的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，
∴，，
∴，，
∴四邊形DEFM為平行四邊形.
∴，
∵平面PDC，平面PDC.
∴平面PDC.
(2)∵ 四邊形ABCD為正方形，∴.
又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵平面PAB，∴.
連接AF，∵，F(xiàn)為PB中點(diǎn)，∴.
又，AD，平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
2.(2023·江蘇南通市高三模擬）在平行四邊形中過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，.連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.如圖2.證明：直線平面.
答案：證明見(jiàn)解析
【解析】證明：圖1中，在中，所以.所以
也是直角三角形，
，
在圖2中，所以平面.
3. (2023·陜西高三模擬）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，證明：平面
答案：證明見(jiàn)解析
【解析】∵為的中點(diǎn)，∴，
∵直三棱柱中，面面，面，面面，
∴面，又面，即，
由題設(shè)易知：，故，又，
∴，則，又，∴平面.
4. (2023·海原縣高三模擬）如圖，在三棱臺(tái)中，側(cè)棱平面點(diǎn)在棱上，證明：平面
答案：證明見(jiàn)解析
【解析】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>又，所以平面，所以，
又因?yàn)椋?br>所以，所以，
又，所以平面；
5. (2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于，），已知，，平面，四邊形為平行四邊形，求證：平面
答案：證明見(jiàn)解析
【解析】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?br>因?yàn)槠矫?，所以平面，所以?br>因?yàn)槭且詾橹睆降膱A上的圓周角，所以，
因?yàn)?，，平面?br>所以平面．
【題型二 面面垂直的判定】
1.(2023·全國(guó)高三模擬）如圖，正方形ABED的邊長(zhǎng)為1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直線CE與平面ABC所成角的正切值為．
(1)若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC；
(2)求證：平面BCD⊥平面ACD．
答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】（1）如圖，連接AE，因F是正方形ABED對(duì)角線BD的中點(diǎn)，則F是AE的中點(diǎn)，而G是CE的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.
（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，則平面，即是與平面所成的角，有，解得，即有，則，即，而，則有平面，又平面，于是得，因，平面，則平面，平面，所以平面平面.
2.(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）在四棱錐中，底面是正方形，若，證明：平面平面
答案：證明見(jiàn)解析
【解析】取的中點(diǎn)為，連接.
因?yàn)椋?，則，
而，故.
在正方形中，因?yàn)?，故，故?br>因?yàn)椋?，故為直角三角形且?br>因?yàn)椋势矫妫?br>因?yàn)槠矫?，故平面平?
3. (2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；
答案：證明見(jiàn)解析
【解析】∵在正三棱柱中，平面，平面，∴.
∵是棱的中點(diǎn)，為正三角形，∴.
∵，∴平面.
∵平面∴.
又∵，，，∴，，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴.
又∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
4. (2023·全國(guó)高三模擬）已知正三角形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足（如圖1），將沿折起到的位置（如圖2），且使與底面成角，連接，，求證：平面⊥平面
答案：證明見(jiàn)解析
【解析】折疊前，在圖1中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，則，
折疊后，在圖2中，對(duì)應(yīng)地有，，
，平面，
平面，因此，平面⊥平面；
【題型三 線線垂直的判定】
1.(2023·江西高三模擬）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．證明：
答案：證明見(jiàn)解析；
【解析】連接，因是等邊三角形，是的中點(diǎn)，是的重心，所以在上，，
又點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，即平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.
2.(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）在四棱錐中，底面．證明：
答案：證明見(jiàn)解析；
【解析】證明：在四邊形中，作于，于，
因?yàn)椋?br>所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以；
3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證：
答案：證明見(jiàn)解析
【解析】由題意，在直三棱柱中，，
不妨設(shè)，則，
由余弦定理可得，因?yàn)?，可得?br>又由是線段的中點(diǎn)，所以，且，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)?，且平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所?
在直角中，，
因?yàn)槭蔷€段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，可得，
所以,可得，
又由且平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
4. (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，四邊形是菱形，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).證明：；
答案：證明見(jiàn)解析
【詳解】證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，
在中，，，
∴，
在菱形中，由可知為等邊三角形，
∴，
又∵，，，
∴，，
∴.
【題型四 垂直中的探究性問(wèn)題】
1.(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).，）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
答案：存在點(diǎn)滿足題意，且，證明詳見(jiàn)解析
【解析】存在點(diǎn)滿足題意，且.
證明如下：
取的中點(diǎn)為，連接.
則，所以平面.
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.
在直三棱柱中，平面平面，且交線為，
所以平面，所以.
在平面內(nèi)，，，
所以，從而可得.
又因?yàn)?，所以平?
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
2.(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中， 分別為的中點(diǎn)，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面平面；
（2）是否存在，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.
【解析】(1)當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,
則四邊形是平行四邊形，所以.
又平面平面，所以平面.
因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平?
(2)如圖，連接與,
因?yàn)槠矫嫫矫妫?
若又平面，且，所以平面.
因?yàn)槠矫?，所?
在矩形中，由，得,
所以.
又，所以,
則，即.
3. (2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別為棱和的中點(diǎn)，交于，試在棱上找一點(diǎn)，使平面，并證明你的結(jié)論；
答案：中點(diǎn)；見(jiàn)解析
【解析】在棱上取中點(diǎn)，連、．
平面，以．
在正方形中，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，
又因?yàn)槠矫妫?，所以，平?br>4. (2023·云南昆明市高三模擬）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且.①當(dāng)在上時(shí)，______；②點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.
答案：2
【解析】(1)當(dāng)在上時(shí),因?yàn)槠矫?故,又,故平面.
故.又,為中點(diǎn),故所以為中點(diǎn).
故.
(2)取中點(diǎn)則由(1)有平面,故,又,
設(shè)平面則有平面.故點(diǎn)的軌跡為.
又此時(shí),,故.
所以.
故答案為：(1). 2 (2).

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