本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁至第2頁，第II卷第3頁至第4頁.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.
第I卷（選擇題，共58分）
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知平面向量，，則（ ）
A.B.4C.D.
2.某同學(xué)高中階段6次考試的數(shù)學(xué)成績?yōu)?05，117，110，128，141，133，則這6次數(shù)學(xué)成績的極差為（ ）
A.128B.119C.36D.28
3.已知集合，，則的元素個數(shù)為（ ）
A.4B.5C.6D.無數(shù)
4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ）
A.B.C.D.
5.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的外接圓半徑為（ ）
A.B.1C.D.
6.已知正項等比數(shù)列滿足，則數(shù)列的公比為（ ）
A.2B.1C.D.或
7.設(shè)，是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A.B.C.D.
8.已知函數(shù)，滿足，且，則（ ）
A.1011B.C.1012D.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知直線與圓交于A，B兩點，則的值可以為（ ）
A.3B.4C.5D.6
10.如圖1，在三棱柱中，，，為線段的中點，點為線段上靠近的三等分點，則（ ）
圖1
A.B.C.平面NPCD.平面平面
11.已知，則（ ）
A.B.C.D.
第II卷（非選擇題，共92分）
注意事項：
第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.某校高二年級共有18個班，藝術(shù)節(jié)評比共產(chǎn)生3個一等獎，若每個班獲得一等獎的概率相等，則1班和2班均獲得一等獎的概率為__________.
13.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，如圖2所示，記直角三角形較小的銳角為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則_________.
圖2
14.若，使取得最小值時的值為_________.
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點到點的距離與到直線的距離相等，記動點的軌跡為.
（I）求的方程；
（II）直線與相切于點，若點的縱坐標(biāo)為2，求直線的方程.
16.（本小題滿分15分）
如圖3，在四棱雉中，底面ABCD是正方形，底面，，為AC與BD的交點，為PD的中點.
圖3
（I）求MO與PC成角的正切值；
（II）求MO與平面MCD成角的正弦值.
17.（本小題滿分15分）
已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，點是所在平面內(nèi)一點，.
（I）求；
（II）求的面積.
18.（本小題滿分17分）
已知.
（I）求在點處的切線方程；
（II）記的最大值為，求證：.
19.（本小題滿分17分）
隨機游走在空氣中的煙霧擴散、股票市場的價格波動等動態(tài)隨機現(xiàn)象中有重要應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動一個單位，向四個方向移動的概率均為，且每秒的移動方向彼此獨立互不影響，例如在1秒末，粒子會等可能地出現(xiàn)在，，，四點處.
（I）求粒子在第2秒末移動到點的概率；
（II）求第6秒末粒子回到原點的概率；
（III）設(shè)粒子在第3秒末移動到點，記的取值為隨機變量，求的分布列.
玉溪市2023~2024學(xué)年春季學(xué)期期末高二年級教學(xué)質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)參考答案
第I卷（選擇題，共58分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
【解析】
1.，故選B.
2.6次考試的數(shù)學(xué)成績?yōu)?05，117，110，128，141，133，故成結(jié)的極差為，故選C.
3.由題意得，，則，中元素的個數(shù)是4，故選A.
4.，，，故選D.
5.由正弦定理，，解得，故選C.
6.設(shè)等比數(shù)列公比為，由題意得，，解得，故選A.
7.由，，，，
所以，，，
由勾股定理可得，可得，故，故選B.
8.由題意得，，
令，
則是首項為、公差為的等差數(shù)列，
，故選D.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
【解析】
9.直線和圓相交等價于圓心到直線的距離小于半徑，故，解得，故選AB.
10.因為，故，，
所以側(cè)面為矩形；，
又，，，平面，
所以平面，而平面，故；
平面NPC不平行于平面，所以AC不垂直于平面NPC；平面ACP，
所以平面平面，故選ABD.
11.由二項式定理可得，，，，，故選ACD.
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
【解析】
12.1班和2班獲得一等獎的概率.
13.設(shè)大正方形的邊長為，則直角三角形的直角邊分別為，，
因為是直角三角形較小的銳角，所以，可得，，
則，
即.
14.，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即.
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
解：（I）設(shè)，由題意得，
化簡得，故的方程為.
（II）設(shè)，帶入的方程，解得，
設(shè)直線為，
聯(lián)立，得
由直線與相切，可得
，
解得，
直線的方程為.
16.（本小題滿分15分）
解：（I）為AC與BD的交點，為AC與BD的中點，
因為底面，底面，所以，
因為底面ABCD是正方形，所以，
所以平面PAB，所以，
因為，
所以MO與PC成角為PB與PC成角，即為，
所以.
（II），
為PD的中點，所以點到平面OCD的距離為，
因為底面，底面ABCD，所以，
因為底面ABCD是正方形，所以，
所以平面PAD，所以，
，
設(shè)點到平面MCD的距離為，
由等體積法可得，
解得，
所以MO與平面MCD成角的正弦值為.（兩問均可建系解答）
17.（本小題滿分15分）
解：（I）由正弦定理得
，
即，
由余弦定理，
得，解得.
（II），
取AC，BC邊中點分別為P，Q，
由平行四邊形法則可知，
故點在PQ上，即在邊AB的中位線上，
所以，，
所以.
18.（本小題滿分17分）
（I）解：，，，
所以在點處的切線方程為.
（II）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以求的最大值為只需討論時，
，
令，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
，，
故，使得，即，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，
由于，，所以.
19.（本小題滿分17分）
解：（I）由題意得，粒子在第2秒末移動到點的概率.
（II）粒子在第6秒后回到原點，分四種情況考慮：
1）兩上兩下一左一右，共有種情形，
2）兩左兩右一上一下，共有種情形，
3）三上三下，共有種情形，
4）三左三右，共有種情形，
于是.
（III）粒子向右或向上則X的取值加1，粒子向左或向下則X的取值減1，
的可能取值為，，1，3，對應(yīng)的概率分別為：
，，，，
所以X的分布列為：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
D
C
A
B
D
題號
9
10
11
答案
AB
ABD
ACD
題號
12
13
14
答案
1
3

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