2022-2023學(xué)年云南省玉溪市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  已知集合，，則(    )A.  B.
C.  D. 2.  已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知向量，，且，則向量的夾角為(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知，則(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，若上的點(diǎn)滿足軸，，則的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 6.  將個(gè)和個(gè)隨機(jī)排成一行，則個(gè)相鄰的概率為(    )A.  B.  C.  D. 7.  設(shè)，則(    )A.  B.  C.  D. 8.  取兩個(gè)相互平行且全等的正邊形，將其中一個(gè)旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個(gè)多邊形的頂點(diǎn)，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“角反棱柱”當(dāng)時(shí)，得到如圖所示棱長(zhǎng)均相等的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的半徑與棱長(zhǎng)的比值的平方為(    )

 A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 的最小正周期為 B.
C. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D. 在區(qū)間上單調(diào)遞增10.  已知，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是(    )A.  B. 單調(diào)遞增區(qū)間為
C. 的極大值為 D. 方程有兩個(gè)不同的解11.  已知數(shù)列滿足，則(    )A. 為等比數(shù)列 B. 的通項(xiàng)公式為
C. 為單調(diào)遞減數(shù)列 D. 的前項(xiàng)和12.  已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則(    )A. 的最小值為
B. 的準(zhǔn)線方程為
C.
D. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  在的展開式中，的系數(shù)是______ 用數(shù)字作答．14.  已知函數(shù)，則在處的切線方程為______ ．15.  已知平行四邊形，，，則分別以對(duì)角線，為直徑的兩個(gè)圓的面積和為______ ．16.  趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元年，他為周髀算經(jīng)一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)，若，則的值為______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
在遞增的等比數(shù)列中，，，其中．
求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.  本小題分
在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足．
求角；
若，求的面積的最大值．19.  本小題分
我國(guó)某芯片企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)一款芯片進(jìn)行試產(chǎn)試產(chǎn)該款芯片共有三道工序，前兩道生產(chǎn)工序互不影響，第三道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括自動(dòng)智能檢測(cè)和人工抽檢已知前兩道生產(chǎn)工序的次品率分別為，．
求該款芯片的次品率；
第三道工序中自動(dòng)智能檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰；否則，進(jìn)入流水線進(jìn)行人工抽檢已知該款芯片自動(dòng)智能檢測(cè)顯示合格率為，求人工抽檢時(shí)，抽檢的一個(gè)芯片恰是合格品的概率．20.  本小題分
如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，平面平面．
證明：平面；
已知四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，且，求平面與平面所成角的正弦值．
21.  本小題分
已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，漸近線與拋物線：交于點(diǎn)
求，的方程；
設(shè)是與在第一象限的公共點(diǎn)，作直線與的兩支分別交于點(diǎn)，，使得求證：直線過(guò)定點(diǎn)．22.  本小題分
已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若恰為的極值點(diǎn)．
求實(shí)數(shù)的值；
求在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：函數(shù)有意義，則有，即，
而，
所以．
故選：．
求出函數(shù)定義域化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解作答．
本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：依題意，，，所以．
故選：．
根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，求出復(fù)數(shù)，，再利用復(fù)數(shù)乘法求解作答．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：由，得，
又，
，整理得：，即．
故選：．
對(duì)兩邊同平方得，則解出，則得到答案．
本題主要考查了向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以．
故選：．
利用倍角公式，即得．
本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：設(shè)，則直線：，由，得，即，

而，，由，得，即，
有，又，因此，
所以的離心率為．
故選：．
設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出長(zhǎng)，再利用給定的正切值列式計(jì)算作答．
本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 6.【答案】 【解析】解：由題意可知：個(gè)和個(gè)隨機(jī)排成一行，共有種不同排法，
個(gè)相鄰的，共有種不同排法，
所以個(gè)相鄰的概率為．
故選：．
根據(jù)題意利用組合數(shù)結(jié)合古典概型運(yùn)算求解．
本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：，，
如圖，半徑為的圓與軸交于點(diǎn)，銳角所對(duì)弧度數(shù)為，軸于點(diǎn)，

則，劣弧長(zhǎng)為，顯然小于劣弧的長(zhǎng)度，即當(dāng)時(shí)，，
因此，
所以．
故選：．
利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較的大小，再利用三角函數(shù)定義比較大小作答．
本題主要考查對(duì)數(shù)值的大小比較，屬中檔題．
 8.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，如圖，
由題意可知旋轉(zhuǎn)角度為，設(shè)上下正四邊形的中心分別為，，
連接，則的中點(diǎn)即為外接球的球心，其中點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)，
設(shè)棱長(zhǎng)為，可知，，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
則，即該“四角反棱柱”外接球的半徑，
故該“四角反棱柱”外接球的半徑與其棱長(zhǎng)的比值的平方為．
故選：．
根據(jù)題意，設(shè)上下正四邊形的中心分別為，，連接，設(shè)出棱長(zhǎng)，利用外接圓的性質(zhì)求出外接球的半徑，最后求出比值．
本題主要考查球的應(yīng)用，涉及棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于難題．
 9.【答案】 【解析】解：依題意，函數(shù)，則，B錯(cuò)誤；
函數(shù)的周期，A正確；
由于，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；
當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上不單調(diào)，
因此函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，D錯(cuò)誤．
故選：．
利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，求出函數(shù)，再逐項(xiàng)判斷作答．
本題考查函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)得，
對(duì)于，，A正確；
對(duì)于，由，解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，B正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得極小值，無(wú)極大值，C錯(cuò)誤；
對(duì)于，顯然函數(shù)在上遞減，在上遞增，，則方程有唯一解，D錯(cuò)誤．
故選：．
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再逐項(xiàng)分析判斷作答．
本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：，
是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
，即，故B正確；
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，故C正確；
的前項(xiàng)和，故D正確．
故選：．
由題意得，可得為等差數(shù)列，即可判斷，求出其通項(xiàng)，即可判斷，利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷，利用等差數(shù)列的前和公式即可判斷．
本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 12.【答案】 【解析】解：如圖：

對(duì)于，，由拋物線的焦點(diǎn)為，
則，即，其準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
則，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
易知，故選項(xiàng)A正確，B正確；
由題意可知，過(guò)點(diǎn)的直線的方程可設(shè)為，代入拋物線：，
可得，
，
則直線始終與拋物線圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)，，則
，當(dāng)時(shí)，取到最小值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由可得直線的方程為，由，可知到直線的距離等于到直線的距離，
點(diǎn)到直線的距離，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，所以，故選項(xiàng)D正確．
故選：．
根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出準(zhǔn)線方程即可判斷，利用圖形根據(jù)拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)一線即可判斷，設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，則得到韋達(dá)定理式，計(jì)算得，則可判斷，因?yàn)榭芍?/span>到直線的距離等于到直線的距離，則點(diǎn)到直線的距離，利用導(dǎo)數(shù)即可求出最大值即可判斷．
本題主要考查直線與拋物線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：由題可得的展開式的展開式通項(xiàng)為，其中，，
令，則含的系數(shù)為．
故答案為：．
直接根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得到答案．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二項(xiàng)展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
 14.【答案】 【解析】解：由題意可得：，
則，，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，
所以切線方程為．
故答案為：．
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：依題意，，
因此，
所以分別以對(duì)角線，為直徑的兩個(gè)圓的面積和為．
故答案為：．
根據(jù)給定條件，利用平面向量的數(shù)量積求出?兩條對(duì)角線的平方和作答．
本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，不妨設(shè)，因此，
又由題意可得，
所以，
因此，
延長(zhǎng)交于，
記，，
則，
所以，
又由題意易知，則，
在三角形中，由正弦定理可得：，
即，
因此，
，
所以，
因?yàn)?/span>，即，
整理得，
所以，
又因?yàn)?/span>，
由平面向量的基本定理可得，，
所以，
故答案為：．
先設(shè)，根據(jù)題意可知，求出的長(zhǎng)，延長(zhǎng)交于，求出，的長(zhǎng)，再由平面向量基本定理即可得出結(jié)果
本題主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟記正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，屬于中檔題．
 17.【答案】解：，，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，
，，
數(shù)列的公比，
；
由得，則，
數(shù)列的前項(xiàng)和． 【解析】根據(jù)給定條件，求出的首項(xiàng)、公比，即可得出答案；
利用分組求和法及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求和，即可得出答案．
本題考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：在中，由條件及正弦定理得，
因?yàn)?/span>，所以，所以，
因?yàn)?/span>，所以；
因?yàn)?/span>，，
所以由正弦定理有：，
所以，
所以

，
因?yàn)槿切?/span>為銳角三角形，
所以，解得：，
所以，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值． 【解析】利用正弦定理進(jìn)行邊化角即可得到答案；
由三角形為銳角三角形求出的取值范圍，利用正弦定理將“邊化角”，再由三角形面積公式和三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，再求最值即可．
本題考查利用正余弦定理和三角形的面積公式解三角形，屬于中檔題．
 19.【答案】解：該款芯片的次品率為，
；
設(shè)批次的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件，人工抽檢合格為事件，
由已知得，
則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品概率為：
． 【解析】根據(jù)相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件求批次芯片的次品率；
再由條件概率公式求人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率．
本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
 20.【答案】證明：在三棱柱中，由，是的中點(diǎn)，得，
而平面平面，且平面平面，平面，
平面C.
解：四邊形為菱形，，則為正三角形，連接，有，
而平面平面，平面平面，因此平面，，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，
令，得平面的法向量，
顯然平面的法向量，
設(shè)平面與平面所成角為，
則，
平面與平面所成角的正弦值為． 【解析】利用等腰三角形性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)推理作答；
以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答．
本題主要考查線面垂直的證明，平面與平面所成角的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：雙曲線的漸近線方程為：，
雙曲線：的右焦點(diǎn)為，
則，解得，
則，由拋物線過(guò)，得，則，
所以，的方程分別為，．
證明：由于點(diǎn)，在雙曲線左右兩支上，則直線的斜率存在，設(shè)的方程為，，，

由消去得：，，
即，則，，
，
由，解得，于是，，
由，得，即
，
整理得：，即，
顯然不在直線上，即，于是，滿足，
因此直線的方程為，即，恒過(guò)定點(diǎn)，
所以直線過(guò)定點(diǎn)． 【解析】求出雙曲線漸近線方程，由已知列出關(guān)于，的方程組即得方程，代入求出得的方程．
求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積探求、計(jì)算判斷作答．
本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，屬于難題．
 22.【答案】解：由題意得，
因?yàn)?/span>為的極值點(diǎn)，故，，
此時(shí)，則時(shí)，，故，
則在上單調(diào)遞增；
由，
令，，
當(dāng)時(shí)，，則，
則在上單調(diào)遞減，故，即，
故在上單調(diào)遞減，
則為的極大值點(diǎn)，符合題意，
故；
由知，，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則，
故在上不存在零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，則，
故在上不存在零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，即為的零點(diǎn)，
綜合上述，在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為． 【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令起等于，即可求得的值，結(jié)合極值點(diǎn)定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；
對(duì)于分段討論，判斷的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值情況，即可判斷其零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 

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