注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷.草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若點在圓上運動，，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.
2.下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是（ ）
A.B.C.D.
3.若是空間的一個基底，，，，，，則，，的值分別為（ ）
A.，，B.，1，C.，1，D.，1，
4.橢圓的焦點坐標是（ ）
A.，B.，C.，D.，
5.若函數(shù)的圖象上存在與直線垂直的切線，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
6.直線與（）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A.B.
C.D.
7.已知向量，滿足，，且，的夾角為，則向量在向量方向上的投影向量的模為（ ）
A.B.C.3D.
8.正方體的棱長為，點在上且，為的中點，則等于（ ）
A.B.C.D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.設等差數(shù)列的前項和為，公差為，已知，，.則（ ）
A.B.
C.時，的最小值為13D.最大時，
10.設點，分別為橢圓：的左、右焦點，點是橢圓上任意一點，若使得成立的點恰好是4個，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A.1B.3C.5D.4
11.已知數(shù)列滿足，且，，則下列說法正確的是（ ）
A.數(shù)列可能為常數(shù)列
B.數(shù)列可能為等比數(shù)列
C.若，則
D.若，記是數(shù)列的前項積，則的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知雙曲線（）的焦距為6，則實數(shù)的值為______.
13.（2023·四川省綿陽市南山中學實驗學校期中）已知直線：與直線：互相垂直，則它們的交點坐標為______.
14.將數(shù)列按“第組有個數(shù)”的規(guī)則分組如下：，，，…，則第100組中的第一個數(shù)是______.
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.已知函數(shù)（）有極小值.
（1）試判斷，的符號，求的極小值點；
（2）設的極小值為，求證：.
16.（2023·江蘇省泰州中學期中）已知橢圓：（）的離心率為，左頂點為，直線與橢圓交于，兩點.
（1）求橢圓的的標準方程；
（2）若直線，的斜率分別為，，且，求的取值范圍.
17.某高校為調查學生喜歡“應用統(tǒng)計”課程是否與性別有關，隨機抽取了選修課程的60名學生，得到數(shù)據(jù)如下表：
下面的臨界值表供參考：
（參考公式：，其中.）
（1）判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關？
（2）用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學生中抽取6名學生作進一步調查，將這6名學生作為一個樣本，從中任選3人，求恰有2個男生和1個女生的概率.
18.如圖，正四棱錐中，，正四棱錐的高為，，分別為，的中點.
（1）求證：；
（2）連結，相交于點，求平面與平面夾角的正弦值.
19.已知橢圓：（），右焦點為且離心率為，直線：，橢圓的左右頂點分別為、，為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為，與橢圓的另一個交點為.
（1）直線和直線的斜率分別記為、，求證：為定值；
（2）求證：直線過定點.
峨山縣第一中學2023—2024學年高二下學期期末考試
數(shù)學試卷參考答案
一、單選題
1.【答案】B
【解析】由，設，，得，即點在直線上，由點在圓上運動，則的最小值為.
2.【答案】C
【解析】由題意，選項A，B表示的雙曲線的焦點在軸上，故排除A，B選項；
C選項表示的雙曲線的漸近線方程為，D選項表示的雙曲線的漸近線方程為.
3.【答案】A
【解析】
∴，
由空間向量基本定理，得解得故選A.
4.【答案】B
【解析】根據(jù)方程可得，，且焦點在軸，
又，所以，所以焦點坐標為，.故選B.
5.【答案】D
【解析】因為函數(shù)的圖象上存在與直線的垂直的切線，
所以函數(shù)的圖象上存在斜率為2的切線，
故有解.
所以，有解，
構造函數(shù)，的值域為，
則實數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在上的值域.
所以.
6.【答案】B
【解析】易知直線的斜率為，直線的斜率為，則兩直線的傾斜角同為銳角或者同為鈍角，且斜率的絕對值一個大于1，一個小于1，檢驗4個選項，知只有B選項滿足.
7.【答案】B
【解析】向量在向量方向上的投影向量的模為.
故選：B.
8.【答案】A
【解析】如圖，
在正方體中，
設，，，
則，.
由條件知，
，
∴
，
∴.
二、多選題
9.【答案】AC
【解析】對于A，由，則，
又因為，所以，故A正確；
對于B，結合選項A知，，，
又，所以，解得，故B錯誤；
對于C，結合選項A知，
又，所以時，的最小值為13，故C正確；
對于D，結合選項A和B知，當時，，
當時，，所以當最大時，，故D錯誤.
故選：AC.
10.【答案】BD
【解析】設，∵，，
∴，，
由可得，
又∵點在橢圓上，即，
∴，要使得成立的點恰好是4個，
則，解得.
故選：BD.
11.【答案】ABD
【解析】A.若數(shù)列為常數(shù)列時則有，
故，解得或（舍），
即時數(shù)列為常數(shù)列，故A正確；
B.由得（），故
，
當時，此時，不是等比數(shù)列，
當時，有，此時數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，故B正確；
C.若，，所以，故C錯誤；
D.若，，
故數(shù)列是首項為7，公比為的等比數(shù)列，
，顯然數(shù)列單調遞減，，
又因為當時，，
當時，，故的最大值為，故F正確.
故選：ABD.
三、填空題
12.【答案】或6
【解析】當時，方程化為標準方程形式為.
∵，∴，∴.
當時，方程化為.
∵，∴.
綜上可知或6.
13.【答案】
【解析】因為直線：與直線：互相垂直，
所以，解得，
聯(lián)立，解得直線和的交點坐標為，
故答案為：
14.【答案】
【解析】在“第個數(shù)”的規(guī)則分組中，各組數(shù)的個數(shù)構成一個以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.因為前99組中數(shù)的個數(shù)共有，且第1個數(shù)為，故第100組中的第1個數(shù)是.
四、解答題
15.【答案】（1）解由題意得，，.
∵函數(shù)（）有極小值，
∴，，的極小值點為.
（2）證明由（1）知，，
則
令，，設，
則.
令，得（負值舍去），
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
∴.
∵，∴，∴.
16.【答案】解：（1）由橢圓：（）的離心率為，左頂點為，
所以，解得，，.
所以橢圓的標準方程為.
（2）由（1）得，：，
因為直線與橢圓交于，兩點，
由題可知，直線斜率為0時，，
所以直線的斜率不為0，所以設直線：，，
聯(lián)立方程得，
所以，
，
所以
，解得，
此時恒成立，
所以直線的方程為直線，直線過定點，
此時，，
∴
，令，
∴，
令，∴在上單調遞減，
所以的取值范圍為.
17.【答案】解：（1）由公式，
所以沒有99.5%的把握認為喜歡統(tǒng)計專業(yè)與性別有關.
（2）設所抽樣本中有個男生，則，得人，
所以樣本中有4個男生，記為，，，個女生，記為，，
從中選出3人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，恰有兩名男生一名女生的事件數(shù)有12種，
所以恰有兩名男生一名女生的概率為.
18.【答案】（1）證明：在正四棱錐中，
連接，交于點，連接.
因為四棱錐為正四棱錐，
所以平面，四邊形為正方形，
所以，，
因為，平面，所以，，
所以，，兩兩垂直，所以以為原點，
以，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.
因為，，所以在中，
由，得，得，
所以，
則，，，，，，
因為，分別為，的中點，所以，，
所以，，所以.
所以.
（2）解：在，，分別為，的中點，點為，的交點，
所以為的重心，則，
所以，，
設平面的法向量為，則
令，則，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
設平面與平面夾角為，
則
所以，
所以平面與平面夾角的正弦值為.
19.【答案】解：（1）由題意，得，解得
所以橢圓：，，，
設，則，即，
所以，
故為定值，且為.
（2）方法1：設，則，，，
所以，
設直線：，，，，
聯(lián)立，消去，得，
此時，解得，
根據(jù)韋達定理，得，，
所以，
整理得，
所以，
因為，則，解得，
所以直線：過定點.
方法2：設，則，，，
直線：，顯然與橢圓必相交，
聯(lián)立，消去，得，
所以，解得，，
同理，，
①直線的斜率存在時，，
所以：，
令，；
②當?shù)男甭什淮嬖跁r，，解得，；
綜上所述，直線過定點.喜歡統(tǒng)計課程
不喜歡統(tǒng)計課程
合計
男生
20
10
30
女生
10
20
30
合計
30
30
60
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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