一、單選題
1. 若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點是，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由復數(shù)的幾何意義可得，進而利用復數(shù)的除法可求得結(jié)果.
【詳解】由復數(shù)的幾何意義可得，因此，.
故選：A.
2. 如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為的正方形，則原平面圖形的周長為（ ）
A. 4aB. 8aC. 6aD.
【答案】B
【解析】
【分析】由直觀圖還原可得原圖形，結(jié)合斜二測畫法求邊長，再求其周長即可.
【詳解】由直觀圖可得原圖形，
所以，，，
所以，原圖形的周長為.
故選：B.
3. 已知非零向量與同向，則－（ ）
A. 必定與同向
B. 必定與同向
C. 必定與是平行向量
D. 與不可能是平行向量
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，，則，可判斷結(jié)果.
【詳解】因為非零向量與同向，設(shè)，
所以
則必定與是平行向量.
故選：C
4. 設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：
①若，則或 ②若，則或
③若且，則 ④若與,所成的角相等，則
其中所有真命題的編號是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.
【詳解】對①，當，因為，，則，
當，因為，，則，
當既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；
對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；
對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，
因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，
同理可得，則，因為平面，平面，則平面，
因為平面，，則，又因為，則，故③正確；
對④，若與和所成角相等，如果，則，故④錯誤；
綜上只有①③正確，
故選：A.
5. 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件 “第一枚硬幣正面朝上”，事件 “第二枚硬幣反面朝上”，則下列說法正確的是（ ）
A. 與互為對立事件B.
C. 與相等D. 與互斥
【答案】B
【解析】
【分析】AD選項，根據(jù)互斥事件和對立事件的概念進行判斷；B選項，求出兩事件的概率；C選項，兩事件不是同一事件，C錯誤.
【詳解】AD選項，事件與能同時發(fā)生，不是互斥事件，不是對立事件，故AD均錯誤；
B選項，，故B正確；
C選項，事件與事件不是同一個事件，故C錯誤．
故選：B．
6. 一個圓臺的上、下底面的半徑分別為和，體積為，則它的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用圓臺的體積公式求得高，再利用圓臺的表面積公式即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)圓臺的高為，則，解得，
所以圓臺的母線長為，
則圓臺的表面積為.
故選：B．
7. 如圖所示，要測量底部不能到達的某電視塔的高度，在塔的同一側(cè)選擇兩個觀測點，且在兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得，兩地相距500m，則電視塔的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)，將用表示，在中，由余弦定理得出關(guān)于的方程，求解，即可得到結(jié)論.
【詳解】設(shè)，在中，，
所以.
在中，，所以.
在中，，，
由余弦定理得，
解得（舍去）.
故選:D.
本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查余弦定理，以及計算求解能力，屬于中檔題.
8. 在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面. 如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，點是棱的中點，則過線段且平行于平面的截面的面積為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取BC的中點H，連接，證明平面AHGD1∥平面A1EF，得截面圖形，求面積即可
【詳解】取BC的中點H，連接，
因為面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1，
同理，面AHGD1，又，則平面AHGD1∥平面A1EF，
等腰梯形AHGD1的上下底分別為，，
腰長為，故梯形的高為，則梯形面積為，
故選B．
此題考查了幾何體截面問題，靈活運用面面平行的判定是關(guān)鍵，考查空間想象與推理能力，是中檔題．
二、多選題
9. 有一組樣本數(shù)據(jù)：1，1，2，4，1，4，1，2，則（ ）
A. 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4B. 這組數(shù)據(jù)的極差為3
C. 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2D. 這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為1
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)、極差的定義可得眾數(shù)為1，極差為3；經(jīng)計算可得平均數(shù)為2，根據(jù)百分位數(shù)的定義可知第分位數(shù)為,即可得出結(jié)果.
【詳解】對A，該組數(shù)據(jù)眾數(shù)為1，故A錯誤；
對B，極差為，故B正確；
對C，平均數(shù)為，故C正確；
對D，數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，1，1，2，2，4，4，因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故D錯誤．
故選：BC．
10. 設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則為鈍角三角形
D. 若，則為等腰三角形或者直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦定理可判斷A，結(jié)合在上單調(diào)遞減判斷B，由余弦定理判斷C，利用正弦定理將邊化角，再由二倍角公式判斷D正確.
【詳解】對于A，若，則，所以，所以A正確；
對于B，由且，
根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，所以B錯誤；
對于C，由余弦定理，可知為鈍角，即為鈍角三角形，所以C正確；
對于D，因為，所以，即，
又，所以，所以或，
即或，即為等腰三角形或直角三角形，所以D正確．
故選：ACD
11. 已知梯形，，，，，是線段的中點．將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項正確的是（ ）

A. 與始終垂直
B. 當直線與平面所成角為時，
C. 四面體體積的最大值為
D. 四面體的外接球的表面積的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用線面垂直的判定定理可得平面，進而可判斷A選項；由直線與平面所成角為得，取的中點，由可判斷B選項；當平面時，四面體體積最大，進而可判斷C選項；由題意確定球心，進而求半徑的最小值，可判斷D選項.
【詳解】對于A：連接，，如圖所示：

易知四邊形正方形，所以,
于是在四面體中，

，
又且平面，
平面，
又因為平面，所以，故A正確；
對于B：取的中點，連接，

因為，所以.
當直線與平面所成角為時，,
所以，故B正確；
對于C：由題意可知，當平面時，四面體體積最大，
于是，故C錯誤；
對于D：因為，所以外接圓的圓心為，
又因為，所以外接圓的圓心為.
分別過點作平面和的垂線，交于點，
則是四面體的外接球的球心.

，當與重合時取等號，
所以四面體的外接球的表面積的最小值為，故D正確.
故選：ABD
方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
三、填空題
12. 設(shè)是不共線的兩個向量，.若三點共線，則k的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三點共線可得向量共線，由此利用向量共線定理可列出向量等式，即可求得答案.
【詳解】因為三點共線，故,
則，使得，
又，
故，則，解得，
故答案為：
13. 如圖，正方體，棱長為是中點，則二面角的正弦值為________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)二面角平面角的定義得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可.
【詳解】
如圖，取中點，連接，
因為為正方體，所以，，
因為為中點，所以，，
因為平面平面，平面，平面，
所以是二面角的平面角，
，，，
，所以二面角的正弦值為.
故答案為：.
14. 粽子，古時北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米、泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風俗，千百年來在中國盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個正四面體，蛋黃近似看成一個球體，且每個粽子里僅包裹一個蛋黃，若粽子的棱長為6 cm，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積為______．

【答案】
【解析】
【分析】蛋黃近似看成一個棱長為6 cm的正四面體的內(nèi)切球，設(shè)正面體的內(nèi)切球的球心為，球的半徑為，正四面體的表面積為，體積為，則由可求出，從而可求出蛋黃的體積.
【詳解】蛋黃近似看成一個棱長為6 cm的正四面體的內(nèi)切球，
設(shè)正面體的內(nèi)切球的球心為，球的半徑為，正四面體的表面積為，體積為，
因為正四面體的棱長為6，
所以正四面體的高，
正四面體的表面積為，
因為，
所以，解得，
所以蛋黃的體積為，
故答案為：

四、解答題
15. 復數(shù)
（1）若是虛數(shù)，求實數(shù)的取值范圍：
（2）若所對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍：
【答案】（1）且
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復數(shù)類型為虛數(shù)得到不等式，從而求解；
（2）根據(jù)復數(shù)對應(yīng)的點在第四象限得到不等式組，求出實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意可知：是虛數(shù)，則，解得：且，
所以實數(shù)的取值范圍且.
【小問2詳解】
因為所對應(yīng)的點在第四象限，則，解得：，
所以實數(shù)的取值范圍是.
16. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.
（1）求；
（2）若，求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；
（2）利用余弦定理及基本不等式得，利用三角形面積公式求解最值即可.
【小問1詳解】
由題意得，又，所以.
【小問2詳解】
當時，由余弦定理得，
則，所以，
當時取等號，所以的面積，
即面積的最大值.
17. 甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：
（1）兩個人都譯出密碼的概率；
（2）恰有1個人譯出密碼的概率.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根題意，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解；
（2）由題意，甲譯出乙未譯出或甲未譯出乙譯出，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解.
【小問1詳解】
解：記“甲獨立地譯出密碼”為事件，“乙獨立地譯出密碼”為事件，
可得事件，為相互獨立事件，且，，
兩個人都譯出密碼的概率為.
【小問2詳解】
解：恰有1個人譯出密碼可以分為兩類：甲譯出乙未譯出或甲未譯出乙譯出，
且兩個事件為互斥事件，所以恰有1個人譯出密碼的概率為：
.
18. 如圖，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的任意一點．求證：平面平面．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】先利用線面垂直的判定定理證明平面，再利用面面垂直的判定定理證明即可.
【詳解】證明：因為平面,
平面，
所以.
又因為，,平面，
所以平面，
又因為平面，
所以平面平面.
19. 文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中的值；
（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；
（3）已知落在的平均成績是57，方差是7，落在的平均成績?yōu)?9，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.
【答案】（1）
（2）84 （3）總平均數(shù)為；總方差為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解；
（2）由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計算公式即可求解；
（3）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計算公式即可求解.
【小問1詳解】
因為每組小矩形的面積之和為1，
所以，則.
【小問2詳解】
成績落在內(nèi)的頻率為，
落在內(nèi)的頻率為，
設(shè)第75百分位數(shù)為m，
由，得，故第75百分位數(shù)為84.
【小問3詳解】
由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，
成績在的市民人數(shù)為，
故這兩組成績的總平均數(shù)為，
由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為：
.

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