專題03    二次函數(shù)中面積問題壓軸真題訓(xùn)練1．（2022?連云港）已知二次函數(shù)y＝x+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）當(dāng)該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），求此時函數(shù)圖象的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求證：二次函數(shù)y＝x+（m﹣2）x+m﹣4的頂點(diǎn)在第三象限；（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點(diǎn)在直線y＝﹣x﹣2上運(yùn)動，平移后所得函數(shù)的圖象與y軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為B，求△AOB面積的最大值．2．（2022?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx﹣3（k≠0）與拋物線y＝﹣x相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為B'．（1）當(dāng)k＝2時，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；（3）試探究直線AB'是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．3．（2022?巴中）如圖1，拋物線y＝ax+2x+c，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，F為拋物線頂點(diǎn)，直線EF垂直于x軸于點(diǎn)E，當(dāng)y≥0時，﹣1≤x≤3． （1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BE上的動點(diǎn)（除B、E外），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D．①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時，求四邊形ACFD的面積；②如圖2，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點(diǎn)．試問，EM+EN是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．              4．（2022?阜新）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段OB向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)M，N同時出發(fā)．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜5）．當(dāng)t為何值時，△BMN的面積最大？最大面積是多少？（3）已知P是拋物線上一點(diǎn)，在直線BC上是否存在點(diǎn)Q，使以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．            5．（2022?鞍山）如圖，拋物線y＝﹣x+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），連接BC．（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)P是第三象限拋物線上一點(diǎn)，直線PB與y軸交于點(diǎn)D，△BCD的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E是線段BC上點(diǎn)，連接OE，將△OEB沿直線OE翻折得到△OEB'，當(dāng)直線EB'與直線BP相交所成銳角為45°，時，求點(diǎn)B'的坐標(biāo)． 6．（2022?菏澤）如圖，拋物線y＝ax+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為D，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出四邊形OADC的面積；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 7．（2022?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)D（4，﹣3），與x軸的另一個交點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．（1）①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)E是直線AD下方的拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S，△DEF的面積記為S，當(dāng)S＝2S時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方的部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下的部分組成新的曲線記為C，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)為G′，將曲線C沿y軸向下平移n個單位長度（0＜n＜6）．曲線C與直線BC的公共點(diǎn)中，選兩個公共點(diǎn)記作點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若四邊形C′G′QP是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．         8．（2022?西藏）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x+（m﹣1）x+2m與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；（2）如圖甲，點(diǎn)M是直線BC上的一個動點(diǎn)，連接AM，OM，是否存在點(diǎn)M使AM+OM最小，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）如圖乙，過點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，過點(diǎn)C作CD⊥BC，交x軸于點(diǎn)D，連接DP交BC于點(diǎn)E，連接CP．設(shè)△PEF的面積為S，△PEC的面積為S，是否存在點(diǎn)P，使得最大，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．            9．（2022?青海）如圖1，拋物線y＝x+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)E是拋物線的對稱軸與直線BC的交點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，求EF的長；（3）設(shè)點(diǎn)P是（1）中拋物線上的一個動點(diǎn)，是否存在滿足S＝6的點(diǎn)P？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（請?jiān)趫D2中探討）  10．（2022?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x+bx+c過點(diǎn)A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）平移拋物線，平移后的頂點(diǎn)為P（m，n）（m＞0）．?。绻?/span>S＝3，設(shè)直線x＝k，在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線均呈上升趨勢，求k的取值范圍；ⅱ．點(diǎn)P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點(diǎn)Q，且∠BPQ＝120°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．   11．（2022?福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．（1）求拋物線的解析式；（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，OP交AB于點(diǎn)C，PD∥BO交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S，S，S．判斷+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．              12．（2022?岳陽）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F：y＝x+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）．（1）求拋物線F的解析式；（2）如圖2，作拋物線F，使它與拋物線F關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，請直接寫出拋物線F的解析式；（3）如圖3，將（2）中拋物線F向上平移2個單位，得到拋物線F，拋物線F與拋物線F相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．①求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若點(diǎn)M，N分別為拋物線F和拋物線F上C，D之間的動點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)C，D不重合），試求四邊形CMDN面積的最大值．             13．（2023?沛縣模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x+ax經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和B（1，m）點(diǎn)，其對稱軸交x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)C是拋物線在直線AB上方的一個動點(diǎn)（不含A，B兩點(diǎn)）．（1）求a、m的值．（2）連接AB、OB，若△AOB的面積是△ABC的面積的2倍，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（3）若直線AC、OC分別交該拋物線的對稱軸于點(diǎn)E、F，試問EH+FH是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．             14．（2023?柳南區(qū)一模）如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，4），連接BC交對稱軸于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，位于直線BC的上方（點(diǎn)P與B，C不重合），過P作y軸的平行線交BC于F點(diǎn)；①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)四邊形DEFP是平行四邊形時，求m的值；②在①的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QBC的面積與△PBC的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．                15．（2022?淄博）如圖，拋物線y＝﹣x+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動點(diǎn)P（m，n）在x軸上方的拋物線上．（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥l于點(diǎn)N，當(dāng)1＜m＜3時，求PM+PN的最大值；（3）設(shè)直線AP，BP與拋物線的對稱軸分別相交于點(diǎn)E，F，請?zhí)剿饕?/span>A，F，B，G（G是點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)）為頂點(diǎn)的四邊形面積是否隨著P點(diǎn)的運(yùn)動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由．           16．（2022?煙臺）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個交點(diǎn)為B，對稱軸為直線x＝﹣1．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．         17．（2022?內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個動點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．               18．（2021?西寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，且∠BAO＝∠DAO，求證：OB＝OD；（3）在（2）的條件下，若直線AD與拋物線的對稱軸l交于點(diǎn)E，連接BE，在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形BEAP的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形BEAP面積的最大值；若不存在，請說明理由．             19．（2021?沈陽）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B坐標(biāo)是（3，0）．拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，連接PC．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）直線BC與拋物線對稱軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)Q為直線BC上一動點(diǎn)．①當(dāng)△QAB的面積等于△PCD面積的2倍時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②在①的條件下，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時，過點(diǎn)Q作直線l垂直于AQ，直線y＝x﹣交直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)G在直線y＝x﹣上，且AG＝AQ時，請直接寫出GF的長．             20．（2021?鞍山）如圖，拋物線y＝ax+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），AE∥PD交直線l：y＝x+2于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)△PDF的面積為S，△AEF的面積為S，當(dāng)S＝S時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且∠BMQ＝45°，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．            21．（2021?遼寧）如圖，拋物線y＝﹣x+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），連接AB，BC，點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作PF⊥PD于點(diǎn)P，使PF＝OA，以PE，PF為鄰邊作矩形PEGF．當(dāng)矩形PEGF的面積是△BOC面積的3倍時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到拋物線的頂點(diǎn)時，點(diǎn)Q在直線PD上，若以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，請直接寫出點(diǎn)Q縱坐標(biāo)n的取值范圍． 

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