數(shù)學
（考試時間：120分鐘；全卷滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考號、姓名、班級填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設(shè)為虛數(shù)單位，復數(shù)的模為（ ）
A．2B．C．3D．5
2．下列運算不正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．在建立兩個變量與的回歸模型時，分別選擇了4個不同的模型，模型1、2、3、4的相關(guān)系數(shù)依次為0.20，0.48，0.96，0.85，則其中擬合效果最好的模型是（ ）
A．模型1B．模型2C．模型3D．模型4
4．展開式中含的項的系數(shù)是（ ）
A．B．C．10D．5
5．已知函數(shù)的極小值為，則（ ）
A．1B．C．1或D．0
6．3名男生和2名女生共5位同學站成一排照相，且2位女生不相鄰，則不同排法的種數(shù)為（ ）
A．120B．72C．36D．12
7．若隨機事件滿足，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)在上可導，且，若成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．隨機變量，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．有唯一極值點B．在單調(diào)遞增
C．的最大值為D．在處的切線方程為
11．設(shè)，則（ ）
A．B．展開式中系數(shù)最大值為
C．D．
12．在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（ ）
A．
B．平面平面
C．點到平面的距離為
D．該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若隨機變量，且，則_________．
14．已知雙曲線的離心率為，則_________．
15．有3臺車床加工同一型號的零件，第臺車床加工的次品率依次為，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的、，任取一個零件，則它是次品的概率為_________．
16．若函數(shù)無零點，則的取值范圍是_________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（10分）
已知數(shù)列滿足：，點在直線上．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
18．（12分）
通過對某商品在六個城市的銷售情況與廣告投入的關(guān)系進行調(diào)研，得到一些統(tǒng)計量的值（如下表）．并發(fā)現(xiàn)該商品的銷售額（單位：百萬元）與其廣告費（單位：萬元）成線性相關(guān)．用模型進行擬合，得出相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程并進行殘差分析繪制了如圖所示的殘差圖，但在隨后數(shù)據(jù)整理的過程中不小心將部分數(shù)據(jù)損壞．
現(xiàn)將殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被視為異常數(shù)據(jù)，需要剔除．
（1）剔除異常數(shù)據(jù)后，分別計算廣告費、銷售額的平均值；
（2）求剔除異常數(shù)據(jù)后的經(jīng)驗回歸方程；并估計當廣告費為20萬元時，銷售額為多少．
參考公式：
19．（12分）
如圖，在四棱錐中，平面，．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
20．（12分）
某校為了了解學生體能情況，從全校男女生體能測試成績中隨機抽取容量為20的樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，樣本數(shù)據(jù)整理如下（滿分100分）：
女生 75 70 75 70 75 95 85 75 90 75
男生 75 70 80 85 90 80 85 80 90 80
若規(guī)定成績不低于80為A等，成績低于80為B等．
（1）完成上表，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為體能測試成績與性別有關(guān)聯(lián)?
（2）從這20名體能測試成績?yōu)锽等的學生中隨機挑選3名，求挑選出男生成績?yōu)榈鹊娜藬?shù)的分布列與數(shù)學期望．
附：，其中．
21．（12分）
已知為拋物線的焦點，是拋物線上一點，且的最小值為1．
（1）求的方程；
（2）過的直線與交于兩點，過原點作直線的垂線交于點（異于點）．當四邊形的面積為時，求直線的方程．
22．（12分）
已知函數(shù)．
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，，求的取值范圍．
2024年秋期高中教育階段學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測
高二數(shù)學參考答案及評分意見
一、選擇題
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13． 14． 15．0.037 16．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．解：（1）因為，即．
所以是等差數(shù)列，且首項為，公差為3．
于是，．
（2）因為．
所以．
18．解：（1）由題知，剔除數(shù)據(jù)后．
（2）．
．
所以．
所以
當時，．
19．解：（1）過點作，所以
在中，因為，所以
于是，，過點作交于點
因為，所以，所以且，于是，四邊形是平行四邊形
所以平面平面，
所以平面
（2）法一：因為平面，所以
因為，所以平面
所以平面平面
過點作交于，
所以平面，過點作交于點
連接，所以為二面角的平面角
在中，
所以
（2）法2：如圖建系，
因為，．
所以
設(shè)平面的法向量，所以
不妨設(shè)，于是，，所以
設(shè)平面的法向量，所以，
，不妨設(shè)，于是，
所以，于是
所以二面角的余弦值為．
20．解：（1）填表如下：
假設(shè)：體能測試成績與性別無關(guān)．
．
假設(shè)不成立，認為體能測試成績與性別有關(guān)．
（2）由題知且．
于是，的分布列為
所以的數(shù)學期望．
21．解：（1）由題知，，所以．
于是，拋物線的方程為．
（2）設(shè)方程為
由聯(lián)立得：．于是，，
于是，
直線方程為．
由聯(lián)立得：．解得或．
于是，點，所以
所以四邊形的面積
即，令，則，所以
于是，．
即
即解得或
于是，或
所以直線的方程為或
22．解：（1）當時，
當時，，當時，．
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）因為對任意成立．設(shè)．
所以．
分類：①當時，，知在單調(diào)遞增，
所以，不成立．
②當時，，知在單調(diào)遞減，所以成立．
③當時，令．
所以．
（?。┤艏磿r，，知在單調(diào)遞減，所以，
所以，所以在單調(diào)遞減，所以對任意時，成立．
（ⅱ）若即時，由可得，所以當時，，
于是，在單調(diào)遞增，所以對任意時，，所以，
所以在單調(diào)遞增，所以對任意時，成不成立．
綜上所述：的取值范圍是．城市
廣告費萬元
3
6
8
10
5
8
336
214
性別
成績
合計
A等
B等
女生
10
男生
10
合計
20
0.05
0.005
3.841
7.897
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
選項
B
D
C
C
A
B
A
C
AD
BC
ACD
BCD
性別
成績
合計
A等
B等
女生
7
3
10
男生
2
8
10
合計
9
11
20
0
1
2

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