1．（4分）24的相反數(shù)是
A．B．C．D．24
2．（4分）如圖幾何體的俯視圖是
A．B．C．D．
3．（4分）中央廣播電視總臺(tái)《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》傳播數(shù)據(jù)創(chuàng)下新紀(jì)錄，截至2月10日2時(shí)，總臺(tái)春晚全媒體累計(jì)觸達(dá)142億人次，較去年增長．將數(shù)據(jù)14200000000用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
4．（4分）“二十四節(jié)氣”是我國古代農(nóng)耕文明的重要成果，對(duì)于指導(dǎo)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)具有重大意義．下列為小明設(shè)計(jì)的四個(gè)節(jié)氣的圖標(biāo)（不含文字），其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是
A．芒種B．大雪
C．谷雨D．立秋
5．（4分）化簡的結(jié)果為
A．B．C．D．
6．（4分）根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的出生人數(shù)為38.2萬人，2022年的出生人數(shù)為29.6萬人．設(shè)這兩年福建省出生人數(shù)的年平均下降率為，根據(jù)題意可列方程
A．B．
C．D．
7．（4分）如圖，內(nèi)接于，，是的兩條切線，若，則等于
A．B．C．D．
8．（4分）某鎮(zhèn)持續(xù)調(diào)整農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)百姓發(fā)展鮮切花產(chǎn)業(yè)，為當(dāng)?shù)匕傩盏脑鍪罩赂煌貙捔饲溃『郊以跍厥掖笈锢锓N植了玫瑰花，他統(tǒng)計(jì)了月份每枝玫瑰花的平均成本和平均售價(jià)，繪制了如圖折線統(tǒng)計(jì)圖，下列說法錯(cuò)誤的是
A．平均利潤最大的月份是2月份
B．
C．月份平均售價(jià)的中位數(shù)為3
D． 月份平均利潤為3元
9．（4分）福州白塔是福州的標(biāo)志性建筑之一，也是中國現(xiàn)存最早的木塔之一（如圖．小明想測量白塔的高度（如圖，在離白塔底端正前方8米的處，用高為1.5米的測角儀測得白塔頂部處的仰角為，則白塔的高度為
A．米B．米
C．米D．米
10．（4分）已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，則下列說法正確的是
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11．（4分）已知反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為 ．
12．（4分）將一枚點(diǎn)數(shù)為且質(zhì)地均勻的正方體骰子投擲一次，觀察向上一面的點(diǎn)數(shù)，則向上一面的點(diǎn)數(shù)大于3的概率為 ．
13．（4分）如圖，在中，，，是的角平分線，則的度數(shù)是 ．
14．（4分）不等式組的解集是 ．
15．（4分）已知任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)，滿足，小玲說可以得到．
下面為小玲給出的證明過程：
，第一步
，第二步
即，第三步
，第四步
即，第五步
兩邊開平方，得，第六步
．
以上證明過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第 步．
16．（4分）如圖，在菱形中，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)重合），連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，現(xiàn)有以下結(jié)論：①點(diǎn)，之間的距離為定值；②；③的值可以是；④或．其中正確的是 ．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（8分）計(jì)算：．
18．（8分）如圖，在中，延長到點(diǎn)，使得，連接，，若．求證：．
19．（8分）先化簡，再求值：，其中．
20．（8分）某校積極倡導(dǎo)人文運(yùn)動(dòng)觀念，提倡體育與文化、教育的有機(jī)結(jié)合，提高同學(xué)們的身體素質(zhì)．為了了解本校八、九年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉的時(shí)間，隨機(jī)抽取了八、九年級(jí)部分學(xué)生，對(duì)其每周體育鍛煉的時(shí)間（單位：進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，匯總得到如下報(bào)表（經(jīng)調(diào)查八、九年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉的時(shí)間少于
（1）若八年級(jí)共有600名學(xué)生，估計(jì)八年級(jí)全體學(xué)生中每周體育鍛煉時(shí)間少于的人數(shù)；
（2）通過調(diào)查報(bào)告能否得出所調(diào)查的學(xué)生中八年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉總時(shí)長大于九年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉總時(shí)長？并說明理由；
（3）請(qǐng)寫出一條你對(duì)學(xué)生每周體育鍛煉的建議．
21．（8分）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求線段的長．
22．（10分）泉州木偶造型優(yōu)美，彩繪精致，個(gè)性鮮明，具有獨(dú)特的藝術(shù)風(fēng)格和地方色彩．某店銷售，兩款木偶工藝品，如下是甲、乙兩位銷售員的對(duì)話：
（1）求兩款木偶工藝品的售價(jià)各為多少元；
（2）某公司想購買40件木偶工藝品送給員工（兩種款式均需購買），且購買款木偶工藝品的數(shù)量不超過款木偶工藝品數(shù)量的，為使購買總費(fèi)用最低，應(yīng)購買款木偶工藝品和款木偶工藝品各多少件？總費(fèi)用最低為多少元？
23．（10分）閱讀下列材料，解決問題．
如圖1，已知正六邊形ABCDEF，要求在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作一個(gè)矩形A1B1C1D1，且矩形A1B1C1D1的頂點(diǎn)在正六邊形ABCDEF的邊上（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
小明利用尺規(guī)作圖只作了部分，如圖2所示．
（1）請(qǐng)你根據(jù)小明的作圖思路，補(bǔ)畫出矩形A1B1C1D1；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接AC，若AC＝4，則線段A1D1的長為 ，依據(jù)是 ；
（3）如圖3，已知正五邊形A2B2C2D2E2，在其內(nèi)部作一個(gè)矩形MND2C2，使得點(diǎn)M，N分別在邊A2B2，A2E2上（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
24．（12分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)E在邊AB上，且∠ADE＝45°，將△DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DGH，且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在邊AB上，DH的延長線交AC于點(diǎn)F，連接EF，交AD于點(diǎn)M．
（1）求∠ADF的度數(shù)；
（2）求證：；
（3）的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
25．（14分）已知拋物線y＝m（x﹣n）2+n﹣1經(jīng)過（1，0），（﹣1，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若A，B是拋物線上相異的兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為﹣1．
①求證：A，O，B三點(diǎn)共線；
②不與y軸平行的直線AC，BC均與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，CD⊥x軸，且與拋物線相交于點(diǎn)D，連接AD，BD，AB，小聰研究發(fā)現(xiàn)：在△ACD，△ABD，△BCD中存在兩個(gè)三角形的面積始終相等．請(qǐng)指出面積始終相等的兩個(gè)三角形，并說明理由．
2024年福建省中考數(shù)學(xué)模擬試卷（黑卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．（4分）24的相反數(shù)是
A．B．C．D．24
【解答】解：24的相反數(shù)是．
故選：．
2．（4分）如圖幾何體的俯視圖是
A．B．C．D．
【解答】解：這個(gè)組合體的俯視圖是兩個(gè)同心圓．
故選：．
3．（4分）中央廣播電視總臺(tái)《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》傳播數(shù)據(jù)創(chuàng)下新紀(jì)錄，截至2月10日2時(shí)，總臺(tái)春晚全媒體累計(jì)觸達(dá)142億人次，較去年增長．將數(shù)據(jù)14200000000用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
【解答】解：，
故選：．
4．（4分）“二十四節(jié)氣”是我國古代農(nóng)耕文明的重要成果，對(duì)于指導(dǎo)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)具有重大意義．下列為小明設(shè)計(jì)的四個(gè)節(jié)氣的圖標(biāo)（不含文字），其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是
A．芒種B．大雪
C．谷雨D．立秋
【解答】解：．原圖既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
．原圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
．原圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
．原圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
5．（4分）化簡的結(jié)果為
A．B．C．D．
【解答】解：
．
故選：．
6．（4分）根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的出生人數(shù)為38.2萬人，2022年的出生人數(shù)為29.6萬人．設(shè)這兩年福建省出生人數(shù)的年平均下降率為，根據(jù)題意可列方程
A．B．
C．D．
【解答】解：依題意得：．
故選：．
7．（4分）如圖，內(nèi)接于，，是的兩條切線，若，則等于
A．B．C．D．
【解答】解：連接，，
，是的兩條切線，
，，
，
，
，
，
，
．
故選：．
8．（4分）某鎮(zhèn)持續(xù)調(diào)整農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)百姓發(fā)展鮮切花產(chǎn)業(yè)，為當(dāng)?shù)匕傩盏脑鍪罩赂煌貙捔饲溃『郊以跍厥掖笈锢锓N植了玫瑰花，他統(tǒng)計(jì)了月份每枝玫瑰花的平均成本和平均售價(jià)，繪制了如圖折線統(tǒng)計(jì)圖，下列說法錯(cuò)誤的是
A．平均利潤最大的月份是2月份
B．
C．月份平均售價(jià)的中位數(shù)為3
D． 月份平均利潤為3元
【解答】解：月份平均利潤分別為：2元；5元；3元；2元；3元，
平均利潤最大的月份是2月份，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
從折線圖可以看出平均售價(jià)的波動(dòng)比平均成本的波動(dòng)大，
，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
月份平均售價(jià)按由小到大排列為：3，4，4，5，6，
月份平均售價(jià)的中位數(shù)為4，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
月份平均利潤為：（元，
選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選：．
9．（4分）福州白塔是福州的標(biāo)志性建筑之一，也是中國現(xiàn)存最早的木塔之一（如圖．小明想測量白塔的高度（如圖，在離白塔底端正前方8米的處，用高為1.5米的測角儀測得白塔頂部處的仰角為，則白塔的高度為
A．米B．米
C．米D．米
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，
由題意得：米，米，
在中，，
（米，
米，
白塔的高度為米，
故選：．
10．（4分）已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，則下列說法正確的是
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【解答】解：由題意，拋物線為，
對(duì)稱軸是直線．
若，則，
拋物線開口向上．
此時(shí)拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越?。?br>經(jīng)過，，三點(diǎn)，
又，
，故錯(cuò)誤，正確．
若，則，
拋物線開口向下．
此時(shí)拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大
經(jīng)過，，三點(diǎn)，
又，
，故、錯(cuò)誤．
故選：．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11．（4分）已知反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為 ．
【解答】解：反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，
，
解得．
故答案為：．
12．（4分）將一枚點(diǎn)數(shù)為且質(zhì)地均勻的正方體骰子投擲一次，觀察向上一面的點(diǎn)數(shù)，則向上一面的點(diǎn)數(shù)大于3的概率為 ．
【解答】解：一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，點(diǎn)數(shù)大于3的有4，5，6共3個(gè)，
向上一面的點(diǎn)數(shù)大于3的概率為．
故答案為：．
13．（4分）如圖，在中，，，是的角平分線，則的度數(shù)是 ．
【解答】解：，，，
，
是的角平分線，
，
，
故答案為：．
14．（4分）不等式組的解集是 ．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
不等式組的解集為：．
故答案為：．
15．（4分）已知任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)，滿足，小玲說可以得到．
下面為小玲給出的證明過程：
，第一步
，第二步
即，第三步
，第四步
即，第五步
兩邊開平方，得，第六步
．
以上證明過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第 六 步．
【解答】解：由可得，
那么他是從第六步出錯(cuò)的，
故答案為：六．
16．（4分）如圖，在菱形中，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)重合），連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，現(xiàn)有以下結(jié)論：①點(diǎn)，之間的距離為定值；②；③的值可以是；④或．其中正確的是 ②④ ．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【解答】解：如圖，連接，由題可得是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
是 的中位線，
，
點(diǎn)在平行于的直線上運(yùn)動(dòng)，
點(diǎn)，之 間的距離不為定值，
①說法錯(cuò)誤；
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
四邊形是菱形，，
，，，
，
；
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，
或，
④說法正確；
是的垂直平分線，
，
菱形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，
，
點(diǎn)，，，在以線段為直徑的圓上，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
②說法正確；
當(dāng)點(diǎn)與 點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，
此時(shí)，
點(diǎn) 不與點(diǎn)重合，，
故③說法錯(cuò)誤．為定值，
故取最小值時(shí)， 得最小值，
最小值大于，故不可能取到．
故答案為：②④．
三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（8分）計(jì)算：．
【解答】解：
．
18．（8分）如圖，在中，延長到點(diǎn)，使得，連接，，若．求證：．
【解答】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
．
19．（8分）先化簡，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
當(dāng)時(shí)，原式．
20．（8分）某校積極倡導(dǎo)人文運(yùn)動(dòng)觀念，提倡體育與文化、教育的有機(jī)結(jié)合，提高同學(xué)們的身體素質(zhì)．為了了解本校八、九年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉的時(shí)間，隨機(jī)抽取了八、九年級(jí)部分學(xué)生，對(duì)其每周體育鍛煉的時(shí)間（單位：進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，匯總得到如下報(bào)表（經(jīng)調(diào)查八、九年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉的時(shí)間少于
（1）若八年級(jí)共有600名學(xué)生，估計(jì)八年級(jí)全體學(xué)生中每周體育鍛煉時(shí)間少于的人數(shù)；
（2）通過調(diào)查報(bào)告能否得出所調(diào)查的學(xué)生中八年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉總時(shí)長大于九年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉總時(shí)長？并說明理由；
（3）請(qǐng)寫出一條你對(duì)學(xué)生每周體育鍛煉的建議．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人，
所調(diào)查的八年級(jí)學(xué)生中每周體育鍛煉時(shí)間少于的人數(shù)為（人，
本次抽樣調(diào)查的八年級(jí)學(xué)生人數(shù)總數(shù)為（人，
八年級(jí)全體學(xué)生中每周體育鍛煉時(shí)間少于的人數(shù)為（人．
（2）不能，理由如下：
若八年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間在、、、的區(qū)間內(nèi)都取最小值，九年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間在、、、的區(qū)間內(nèi)都取最大整數(shù)值，
則所調(diào)查的八年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉的總時(shí)長為，
所調(diào)查的九年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉的總時(shí)長為，
，
所調(diào)查的學(xué)生中九年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉總時(shí)長有可能大于八年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉總時(shí)長．
（3）學(xué)生應(yīng)該多進(jìn)行體育鍛煉，有助于增強(qiáng)身體素質(zhì)．
21．（8分）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求線段的長．
【解答】（1）證明：為直徑，
，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
設(shè)，則，
在中，，
即：，
解得：，
，
，
，
，
，
，
．
22．（10分）泉州木偶造型優(yōu)美，彩繪精致，個(gè)性鮮明，具有獨(dú)特的藝術(shù)風(fēng)格和地方色彩．某店銷售，兩款木偶工藝品，如下是甲、乙兩位銷售員的對(duì)話：
（1）求兩款木偶工藝品的售價(jià)各為多少元；
（2）某公司想購買40件木偶工藝品送給員工（兩種款式均需購買），且購買款木偶工藝品的數(shù)量不超過款木偶工藝品數(shù)量的，為使購買總費(fèi)用最低，應(yīng)購買款木偶工藝品和款木偶工藝品各多少件？總費(fèi)用最低為多少元？
【解答】解：（1）設(shè)款木偶工藝品的售價(jià)為元，款木偶工藝品的售價(jià)為元，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：款木偶工藝品的售價(jià)為20元，款木偶工藝品的售價(jià)為25元；
（2）設(shè)購買款木偶工藝品件，則購買款木偶工藝品件，總費(fèi)用為元，
根據(jù)題意得：，
購買款木偶工藝品的數(shù)量不超過款木偶工藝品數(shù)量的，
，
解得，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，最小，最小值為950，
此時(shí)，，
答：應(yīng)購買款木偶工藝品10件和款木偶工藝品30件，總費(fèi)用最低為950元．
23．（10分）閱讀下列材料，解決問題．
如圖1，已知正六邊形ABCDEF，要求在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作一個(gè)矩形A1B1C1D1，且矩形A1B1C1D1的頂點(diǎn)在正六邊形ABCDEF的邊上（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
小明利用尺規(guī)作圖只作了部分，如圖2所示．
（1）請(qǐng)你根據(jù)小明的作圖思路，補(bǔ)畫出矩形A1B1C1D1；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接AC，若AC＝4，則線段A1D1的長為 2 ，依據(jù)是 三角形中位線定理 ；
（3）如圖3，已知正五邊形A2B2C2D2E2，在其內(nèi)部作一個(gè)矩形MND2C2，使得點(diǎn)M，N分別在邊A2B2，A2E2上（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
【解答】解：（1）如圖：
（2）∵A1是AB的中點(diǎn)，D1是BC的中點(diǎn)，
∴A1D1∥AC，A1D1＝AC＝2，
故答案為：2，三角形中位線定理；
（3）如圖：
24．（12分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)E在邊AB上，且∠ADE＝45°，將△DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DGH，且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在邊AB上，DH的延長線交AC于點(diǎn)F，連接EF，交AD于點(diǎn)M．
（1）求∠ADF的度數(shù)；
（2）求證：；
（3）的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BD＝GD，
∴△BGD為等腰直角三角形，
∴旋轉(zhuǎn)角∠BDG＝90°，
∴旋轉(zhuǎn)角∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠ADE＝45°；
（2）證明：∵∠EAF＝90°，
∴△AEF的外接圓是以EF為直徑的圓，
∵∠EDF＝90°，
∴△DEF的外接圓是以EF為直徑的圓，
∴A，E，D，F(xiàn)共圓，
∴∠AEF＝∠ADF＝45°，
∴∠AEF＝∠B＝45°，
∴EF∥BC，
∴＝＝＝＝，
∵BD＝DG，
∴＝；
（3）是定值；
證明如下：設(shè)＝＝＝＝＝k，
∴AE＝kAB，F(xiàn)M＝kCD，
∴BE＝（1﹣k）AB，
∴＝+，
∵∠ADE＝∠B＝45°，∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴AD2＝AE?AB＝kAB2，
∴AD＝AB，
過作AN⊥BC于N，如圖：
∴AN＝BN＝CN＝AB，
∴DN＝＝AB，
∴CD＝（±）AB，
∴＝（1﹣k）?+±＝＝＝＝．
25．（14分）已知拋物線y＝m（x﹣n）2+n﹣1經(jīng)過（1，0），（﹣1，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若A，B是拋物線上相異的兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為﹣1．
①求證：A，O，B三點(diǎn)共線；
②不與y軸平行的直線AC，BC均與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，CD⊥x軸，且與拋物線相交于點(diǎn)D，連接AD，BD，AB，小聰研究發(fā)現(xiàn)：在△ACD，△ABD，△BCD中存在兩個(gè)三角形的面積始終相等．請(qǐng)指出面積始終相等的兩個(gè)三角形，并說明理由．
【解答】（1）解：∵拋物線經(jīng)過（1，0），（﹣1，0）兩點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸直線為：x＝0，即y軸，
∴n＝0，
將（1，0）代入拋物線解析式得：m﹣1＝0，
∴m＝1，
∴拋物線解析式為：y＝x2﹣1；
（2）①證明：設(shè)A（a，a2﹣1），則B（﹣，﹣1），
設(shè)AB所在直線的解析式為：y＝kx+b，
則有：，
解得：k＝，b＝0，
∴直線AB過原點(diǎn)O，
∴A，O，B三點(diǎn)共線；
②解：△ACD和△BCD；
理由如下：設(shè)直線AC的解析式為：y＝k1x+b1，
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入得：a2﹣1＝k1a+b1，
∴b1＝a2﹣1﹣k1a，
∴y＝k1x+a2﹣1﹣k1a，
將AC的解析式代入拋物線解析式得：
k1x+a2﹣1﹣k1a＝x2﹣1，
∵直線AC與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)A，
∴Δ＝+4（k1a﹣a2）＝0，
∴k1＝2a，
∴b1＝﹣1﹣a2，
∴直線AC的解析式為：y＝2ax﹣1﹣a2，
同理可得，直線BC的解析式為：y＝﹣x﹣1﹣，
聯(lián)立直線AC和BC的解析式：，
解得：x＝，
∴C（，﹣2），D（，0），
∴CD＝2，
∴S△ACD＝|xA﹣xC|×2＝|xA﹣xC|＝，S△BCD＝|xB﹣xC|×2＝|xB﹣xC|＝，
∴S△ACD＝S△BCD恒成立．
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