【例1-1】(1)已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．若a＝1，?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值．
(2)已知函數(shù).若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍
【例1-2】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，是否存在整數(shù)，都有恒成立，若存在求出實(shí)數(shù)m的最小值，若不存在說(shuō)明理由．
題型二 函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍
【例2-1】已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
題型三 端點(diǎn)值問(wèn)題
【例3-1】已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（十九）】
【課時(shí)作業(yè)（十九）】
1．已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線方程是．
(1)求a，b的值； (2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
2．設(shè)函數(shù)，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的極值； (2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
3．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性，并求出極值； (2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
4．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性； (2)若，求a的取值范圍．
5．已知．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
6．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有極值點(diǎn)，且關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．
7．已知函數(shù)，（其中）．
(1)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)的圖象與軸正半軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范圍．
專題研究一 恒成立或存在性問(wèn)題
編寫(xiě)：廖云波
題型一 分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
【例1-1】(1)已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．若a＝1，?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值．
(2)已知函數(shù).若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍
【答案】（1）1.(2)
【解析】
【分析】
（1）解：a＝1，從而f（x）＝x﹣1﹣lnx．因此f（x）≥bx﹣2 ，即1，令g（x）＝1，則，由≥0得x≥e2則g（x）在（0，e2）上遞減，在（e2，+∞）上遞增，，故實(shí)數(shù)b的最大值是1．
（2）由參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)解：存在，使得可得，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，
所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【例1-2】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，是否存在整數(shù)，都有恒成立，若存在求出實(shí)數(shù)m的最小值，若不存在說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)存在；最小值為3
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，然后分與討論即可求解
（2）由題意可得恒成立，令，則由題意有，利用導(dǎo)數(shù)法求出的最大值即可求解
(1)
∵，
當(dāng)，，
∴在單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，
令，得，得
∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
綜上：時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
(2)
∵，
∴，
∴，
∴
令，
∴
令，
∴在單調(diào)遞減，
∵
∵
∴，使得，即，
當(dāng)，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，，，單調(diào)遞減，
∴，
∵，，
∴，
∴m的最小值為3
題型二 函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍
【例2-1】已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)見(jiàn)詳解；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，分類解不等式可得；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分類求得，然后解可得.
(1)
函數(shù)的定義域?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，解不等式得，
當(dāng)時(shí)，解不等式得，
當(dāng)時(shí)，解不等式得，
當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)實(shí)數(shù)解.
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)
由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，顯然恒成立；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，顯然恒成立；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以
因?yàn)楫?dāng)時(shí)恒成立，所以，解得.
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為
題型三 端點(diǎn)值問(wèn)題
【例3-1】已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為
(2)
【解析】
【分析】
（1）由可求得的值，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）令，，只需，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證對(duì)任意的能否恒成立，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)
解：因?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域?yàn)?，?br>所以，，解得.
此時(shí)，
令，其中，，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
解：令，，只需，
可得，，
記，，則，，
①當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，恒成立；
②當(dāng)時(shí)，令，則，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，
同①可知，當(dāng)時(shí)，恒成立；
③當(dāng)時(shí)，由②可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，則，
所以，，
所以，，
所以，存在使得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，不合乎題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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1．已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線方程是．
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)表示切線的斜率，列方程組即可求得；（2）利用分離參數(shù)法得到恒成立.令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求出的最小值，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(1)
，
∵曲線在點(diǎn)處的切線方程是，
∴，，∴，，
解得，．
(2)
由（1）得，，
由，得，
∵，∴可化為恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴的最小值為，∴，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
2．設(shè)函數(shù)，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義求解即可；
（2）求出，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的取值情況，由此分析求解即可．
(1)
解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
則，
令，解得，，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；
(2)
（2）由題意，令，且，
則，且，
令，
，且，
①當(dāng)，即時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，
所以，則在上單調(diào)遞增，
所以，符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，，，
所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
故，不符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
3．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性，并求出極值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為1，無(wú)極大值；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)求解即可；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊的最大值即可.
(1)
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，顯然，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故在時(shí)，取得極小值為，無(wú)極大值；
(2)
由題意得，不等式為 ，
①當(dāng)時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于.
令 ，
則 .
令，則，
而，所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即.
從而在上單調(diào)遞減，
所以，即在上恒成立.
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以，在處取得極大值，也是最大值，.
因此，.
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
4．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求a的取值范圍．
【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
(2).
【解析】
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，然后分為和兩種情況去討論即得；
（2）分為和兩種情況討論，在時(shí)，求解函數(shù)的極小值，進(jìn)而即得.
(1)
由題意知：．
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，函數(shù)單調(diào)遞增．
綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)
當(dāng)時(shí)，，即不合題意；
當(dāng)時(shí)，由（1）可知，
則，即．
綜上，a的取值范圍為．
5．已知．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論及時(shí)的正負(fù)，即可得到單調(diào)性；
（2）將代入到不等式得到，再對(duì)求導(dǎo)判斷單調(diào)性得到最大值，并讓其小于0，即可得到m的取值范圍．
(1)
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為
，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)
不等式，即．
令，
則．
當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，
而，可知不恒成立．
當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
故只需即可．
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，又，
所以．故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
6．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有極值點(diǎn)，且關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(2)3
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知，即可得到的解析式，參變分離可得在上恒成立．構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解.
(1)
解：因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)
解：由（1）可知，若有極值點(diǎn)，
則，且，所以，所以，
因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，
所以在上恒成立．
設(shè)，則，
設(shè)，，所以在上單調(diào)遞減，
，
．
所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，
所以，其中滿足，
所以，設(shè)的最小值為，則，
由得，．
當(dāng)時(shí)，，所以，即．
所以整數(shù)的最小值為3．
7．已知函數(shù)，（其中）．
(1)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)的圖象與軸正半軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)或
【解析】
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明結(jié)論成立；
（2）分類討論，時(shí)，由（1）得存在使，即，是極小值點(diǎn)，由，需引入新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，得出的范圍，及時(shí)同樣由單調(diào)性證明求解．
(1)
證明：∵，∴，
∴在上為增函數(shù)，又，
∴，，
所以，函數(shù)的圖象與軸正半軸只有一個(gè)交點(diǎn)．
(2)
解：當(dāng)時(shí)，，
由（1）可知，存在使，即，
∴當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，
∴，
由，知，設(shè)，則，
∴在上為減函數(shù)，又，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴存在，使不等式成立，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，所以不存在，使不等式成立，
當(dāng)時(shí)，取，即，所以，
所以存在，使不等式成立，
綜上所述，的取值范圍是或．

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