1.已知f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，若Δx→0limf(3?Δx)?f(3+Δx)Δx=4，則f′(3)=( )
A. 0B. ?2C. 1D. ?12
2.已知一組數(shù)據(jù)2，5，10，17，26，…，按此規(guī)律可以得到第100個數(shù)為( )
A. 9802B. 9991C. 10001D. 10202
3.若橢圓C：x2m+y22=1的離心率為 63，則橢圓C的長軸長為( )
A. 6B. 2 63或2 6C. 2 6D. 2 2或2 6
4.某校A、B、C、D、E五名學生分別上臺演講，若A須在B前面出場，且都不能在第3號位置，則不同的出場次序有( )種．
A. 18B. 36C. 60D. 72
5.已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=1.若數(shù)列{an+an+1}是公比為2的等比數(shù)列，則a2024=( )
A. 22023+13B. 22024+13C. 21012?1D. 21011?1
6.已知點P是雙曲線x216?y220=1右支上的一點，點A、B分別是圓(x+6)2+y2=4和圓(x?6)2+y2=1上的點.則|PA|?|PB|的最小值為( )
A. 3B. 5C. 7D. 9
7.由樣本數(shù)據(jù)點(xi,yi)，i=1，2，3，?，n的散點圖可知，變量y與x線性相關，求得的回歸直線方程為y =2x+1，且x?=2.若去除兩個數(shù)據(jù)點(1.4,3.2)和(2.6,6.8)，則剩余樣本數(shù)據(jù)點縱坐標的平均值為( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.已知函數(shù)f(x)=ax3?3x2+1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是( )
A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (?∞,?2)D. (?∞,?1)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知向量a=(2,?1,2)，b=(2,2,1)，c=(4,1,3)，則( )
A. |a|=|b|B. a在b上的投影向量為(89,89,49)
C. a⊥bD. 向量a,b,c共面
10.已知函數(shù)f(x)=xex+ax(a∈R).則下列說法正確的是( )
A. 當a=0時，f(x)min=?1e
B. 當a=1時，直線y=2x與函數(shù)f(x)的圖象相切
C. 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增，則a≥0
D. 若在區(qū)間[0,1]上f(x)≤x2恒成立，則a0)的準線方程為x=?1，過拋物線C的焦點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，則下列說法正確的是( )
A. |AB|的最小值為4
B. 設Q(3,2)，則△QAF周長的最小值為4
C. 以AF為直徑的圓與y軸相切
D. 若BF=2FA，則直線l的斜率為2 2或?2 2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+???+a9(x+2)9，則a1+a2+???+a9=______．
13.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D為棱AB的中點，BC1與B1C交于點E，若AB=AA1，則CD與A1E所成角的余弦值為 ．
14.在等比數(shù)列{an}中，a3，a7是函數(shù)f(x)=13x3?4x2+4x?1的極值點，則a5= ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，n∈N?，且a2，a5，a14構成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn=2nan+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
16.(本小題15分)
如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA=AB=BC=12AD=2．
(1)求PB與CD所成的角；
(2)求直線PD與面PAC所成的角的余弦值．
17.(本小題15分)
已知平面內點M(x,y)與兩個定點A(4,0)，B(1,0)的距離之比等于2．
(1)求點M的軌跡方程；
(2)記(1)中的軌跡為C，過點M(1,12)的直線l被C所截得的線段的長為2 3，求直線l的方程．
18.(本小題17分)
時下流行的直播帶貨與主播的學歷層次有某些相關性，某調查小組就兩者的關系進行調查，從網(wǎng)紅的直播中得到容量為200的樣本，將所得直播帶貨和主播的學歷層次的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如表：
(1)依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否認為直播帶貨的評級與主播的學歷層次有關聯(lián)？
(2)統(tǒng)計學中常用R(B|A)=P(B|A)P(B?|A)表示在事件A條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，稱為似然比，當R(B|A)≥1.35時，我們認為事件A條件下B發(fā)生有優(yōu)勢.現(xiàn)從這200人中任選1人，A表示“選到的主播帶貨良好”.B表示“選到的主播學歷層次為?？萍耙韵隆保埨脴颖緮?shù)據(jù)，估計R(B|A)的值，并判斷事件A條件下B發(fā)生是否有優(yōu)勢：
(3)現(xiàn)從主播學歷層次為本科及以上的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，從抽取的5人中再抽取3人參加主播培訓，求這3人中，主播帶貨優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布和數(shù)學期望．
附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
19.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=alnx?x．
(1)討論f(x)的單調性；
(2)證明：當a>0時，f(x)≤(ae)a?1．
參考答案
1.B
2.C
3.D
4.B
5.A
6.B
7.C
8.C
9.ABD
10.AB
11.ACD
12.2
13. 34
14.2
15.解：(1)由an+1=an+2，得an+1?an=2，所以數(shù)列{an}是以2為公差的等差數(shù)列，
又a2，a5，a14構成等差數(shù)列，得a52=a2a14，即(a1+8)2=(a1+2)(a1+26)，
整理解得a1=1，所以an=1+2(n?1)=2n?1．
(2)bn=2n?an+1=2n?(2n+1)，所以Sn=3×21+5×22+…+(2n+1)×2n，
2Sn=3×22+5×23++(2n+1)×2n+1，兩式相減得?Sn=3×2+2(22+23+…+2n)?(2n+1)?2n+1，
即?Sn=6+2×22(1?2n?1)1?2?(2n+1)?2n+1=6+2n+2?8?(2n+1)?2n+1=2n+1(1?2n)?2，
所以Sn=(2n?1)?2n+1+2．
16.解：(1)因為PA⊥面ABCD，AB⊥AD，所以PA，AB，AD兩兩垂直，
故建立如圖所示的空間直角坐標系：

A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,4,0)，C(2,2,0)，
則PB=(2,0,?2)，CD=(?2,2,0)，
∴|csPB,CD|=|PB?CD|PB||CD||=12，
所以PB與CD所成的角為60°．
(2)由(1)知AP=(0,0,2),AC=(2,2,0)，
設平面PAC的法向量為m=(x,y,z)，
所以m?AP=z=0m?AC=y+x=0，
令y=?1，則m=(1,?1,0)，
設直線PD與面PAC所成的角的為θ，
又PD=(0,4,?2)，
∴sinθ=|csm,PD|=|m?PD|m||PD||= 105，
直線PD與面PAC所成的角的余弦值為 155．
17.解：(1)因為點M(x,y)與兩個定點A(4,0)，B(1,0)的距離之比等于2，
所以 y2+(x?4)2 y2+(x?1)2=2，
整理得點M的軌跡方程為x2+y2=4．
(2)當直線l的斜率不存在時，此時直線l的方程為x=1，滿足弦長為2 3；
當直線l的斜率存在時，不妨設斜率為k，
則直線l的方程為y?12=k(x?1)，
即kx?y?k+12=0，
則圓心(0,0)到直線l的距離d=|?k+12| k2+(?1)2．
因為直線l被C所截得的線段的長為2 3，
所以d2+( 3)2=22，
所以d=|?k+12| k2+(?1)2=1，解得k=?34，
所以直線l的方程為3x+4y?5=0．
綜上，滿足條件的直線l的方程為x=1或3x+4y?5=0．
18.解：(1)零假設為H0：直播帶貨的評級與主播的學歷無關，
χ2=200×(60×70?40×30)2100×100×90×110≈18.182>10.828=x0.001，
所以根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，
可推斷H0不成立，認為直播帶貨的評級與主播的學歷層次有關聯(lián)；
(2)因為R(B|A)=P(B|A)P(B?|A)=P(AB)P(A)P(AB?)P(A)=P(AB)P(AB?)=n(AB)n(AB?)=7040=74=1.75，
因為1.75>1.35，
所以認為事件A條件下B發(fā)生有優(yōu)勢；
(3)按照分層抽樣，直播帶貨優(yōu)秀的有5×60100=3人，直播帶貨良好的有5×40100=2人，
隨機變量X的可能取值為1，2，3，
則P(X=1)=C31?C22C53=310，
P(X=2)=C32?C21C53=610=35，
P(X=3)=C33C53=110，
所以X的分布列為：
所以數(shù)學期望E(X)=1×310+2×35+3×110=95．
19.解：(1)由題函數(shù)定義域為(0,+∞)，f′(x)=ax?1=a?xx，
故當a≤0時，f′(x)0時，f′(x)在(0,+∞)上單調遞減，令f′(x)=0?x=a，
則x∈(0,a)時，f′(x)>0；x∈(a,+∞)時，f′(x)0時，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調遞增，在(a,+∞)上單調遞減．
證明：(2)由(1)當a>0時，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調遞增，在(a,+∞)上單調遞減，
故f(x)≤f(a)=alna?a在(0,+∞)上恒成立，
故證f(x)≤(ae)a?1(a>0)?證alna?a≤(ae)a?1(a>0)，
即?ln(ae)a≤(ae)a?1(a>0)?ln(ae)a?(ae)a+1≤0，
令g(x)=lnx?x+1(x>0)，則g′(x)=1x?1=1?xx(x>0)，
故當x∈(0,1)時，g′(x)>0；x∈(1,+∞)時，g′(x)0時，f(x)≤(ae)a?1． 直播帶貨評級
合計
優(yōu)秀
良
主播的學歷層次
本科及以上
60
40
100
?？萍耙韵?br>30
70
100
合計
90
110
200
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
P
310
35
110

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