一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知空間三條直線，若與垂直，與垂直，則（ ）
A．與異面B．與相交
C．與平行D．與平行、相交、異面均有可能
2．已知平面及空間中的任意一條直線，那么在平面內(nèi)一定存在直線使得（ ）
A．B．與相交C．與是異面直線D．
3．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則，，…，的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A．和B．和
C．和D．和
4．如圖，在三棱臺中，從中取3個點確定平面，若平面平面，且，則所取的這3個點可以是（ ）

A．B．C．D．
5．已知α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不同的直線，下列說法中錯誤的是（ ）
A．若m⊥α，m//n，n?β，則α⊥βB．若α//β，m⊥α，n⊥β，則m//n
C．若α//β，m?α，n?β，則m//nD．若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β
6．某中學(xué)組織三個年級的學(xué)生進(jìn)行黨史知識競賽. 經(jīng)統(tǒng)計，得到前名學(xué)生分布的扇形圖（如圖）和前名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯誤的是（ ）

A．成績前名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多人
B．成績前名的學(xué)生中，高一人數(shù)不超過人
C．成績前名的學(xué)生中，高三人數(shù)不超過人
D．成績第名到第名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多
7．已知在長方體中，，直線與平面所成角的正弦值為為線段的中點，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．四棱錐中，，其余各棱的長均為2，則點到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9．人均可支配收入和人均消費(fèi)支出是兩個非常重要的經(jīng)濟(jì)和民生指標(biāo),常被用于衡量一個地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和群眾生活水平．下圖為2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)支出統(tǒng)計圖，據(jù)此進(jìn)行分析，則（ ）
A．2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入逐年遞增
B．2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出逐年遞增
C．2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差比人均消費(fèi)支出的極差大
D．2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為20379元
10．如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，以下命題正確的是（ ）
A．有水的部分始終呈棱柱形
B．水面所在四邊形的面積為定值
C．棱始終與水面所在平面平行
D．當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時，是定值
11．如圖，矩形中，為的中點，為的中點，交于點，將沿直線翻折到，連接為的中點，則在翻折過程中，下列合題中正確的是（ ）
A．翻折過程中，始終有平面平面B．翻折過程中，的長是定值
C．若，則D．存在某個位置，使得
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．三棱錐的高為，若三個側(cè)面兩兩垂直，則為的 心.
13．已知一組數(shù)據(jù)的方差是2，并且，，則 .
14．有兩塊直角三角板：一塊三角板的兩條直角邊的長分別為，；另一塊三角板的兩條直角邊的長均為，已知這兩塊三角板有兩對頂點重合，且構(gòu)成的二面角，則不重合的兩個頂點間的距離等于 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．如圖所示，已知是棱長為3的正方體，點E在上，點F在上，G在上，且，H是的中點．
(1)求證：四點共面
(2)求證：平面平面．
16．如圖所示，在直三棱柱中，，D，E分別為棱AB，的中點.

(1)證明：CD∥平面；
(2)求BE與平面所成角的正弦值.
17．某校高二年級的1000名學(xué)生參加了一次考試，考試成績?nèi)拷橛?5分到95分之間，為統(tǒng)計學(xué)生的考試情況，從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的考試成績作為樣本，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求的值；
(2)估算這次考試成績的平均分；
(3)從這1000名學(xué)生中選10名學(xué)生，已知他們上次考試成績的平均分，標(biāo)準(zhǔn)差；記他們本次考試成績的平均分，標(biāo)準(zhǔn)差，他們的本次考試成績?nèi)绫硭?判斷他們的平均分是否顯著提高（如果，則認(rèn)為本次考試平均分較上次考試有顯著提高，否則不認(rèn)為顯著提高）.
18．如圖，在三棱錐V-ABC中，△VAB為等邊三角形，且，O，M，D分別為AB，AV，BC的中點，BM，VO交于點F.
(1)證明：AB⊥平面VOC；
(2)在線段BM上是否存在一點E，使平面VOC？若存在，請指出點E的位置；若不存在，請說明理由.
19．如圖，在直角梯形中，，，，沿對角線將折至的位置，記二面角的平面角為．
(1)當(dāng)時，求證：平面平面；
(2)若為的中點，當(dāng)時，求二面角的正切值．
1．D
【分析】由題意知，可知的關(guān)系不確定，可以是任意的空間直線的關(guān)系.
【詳解】因為，
所以與既可以相交，也可以異面，還可以平行，
故選：D
【點睛】本題主要考查了空間兩條直線間的位置關(guān)系，屬于容易題.
2．D
【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.
【詳解】對于A：當(dāng)直線與平面相交時，平面內(nèi)的任意一條直線與直線的關(guān)系只有兩種：異面、相交，
此時就不可能平行了，故A錯；
對于B：當(dāng)直線與平面平行時，平面內(nèi)的任意一條直線與直線的關(guān)系只有兩種：異面、平行，
此時就不可能相交了，故B錯；
對于C：當(dāng)直線在平面內(nèi)時，平面內(nèi)的任意一條直線與直線的關(guān)系只有兩種：平行、相交，
此時就不可能異面了，故C錯；
對于D：不管直線與平面的位置關(guān)系相交、平行，還是在平面內(nèi)，都可以在平面內(nèi)找到一條直線與直線垂直，
因為直線在異面與相交時都包括垂直的情況，故D正確.
故選：D
3．B
【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)直接求解.
【詳解】因為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
所以，，…，的平均數(shù)和方差分別為和
故選：B
4．C
【分析】由題意可得出平面，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知，當(dāng)平面時，有，從而可得出正確選項.
【詳解】由于幾何體是三棱臺，則，又平面，平面，所以，平面，
當(dāng)平面，平面平面時，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知，選項C符合要求.
故選：C.
5．C
【解析】則由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，可判定A正確的；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可判定B正確的；根據(jù)α//β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，可判定C錯誤的；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可判定D正確的.
【詳解】由題意，是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，
對于A中，若m⊥α，m//n，n?β，則由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，所以是正確的；
對于B中，若α//β，m⊥α，n⊥β，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得m//n，所以是正確的；
對于C中，若α//β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，所以是錯誤的；
對于D中，若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得m⊥β，
所以是正確的.
故選：C.
【點睛】解答此類問題常見的誤區(qū)：
1、對空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不透導(dǎo)致錯誤；
2、對面面平行判定定理的條件“面內(nèi)兩相交直線”認(rèn)識不清導(dǎo)致錯解；
3、對面面平行性質(zhì)定理理解不深導(dǎo)致錯解.
6．D
【分析】根據(jù)餅狀圖和條形圖提供的數(shù)據(jù)判斷．
【詳解】由餅狀圖，成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多，A正確；
由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為，B正確；
成績前50名的50人中，高一人數(shù)為，因此高三最多有32人，C正確；
第51到100名的50人中，高一人數(shù)為，故高二最多有23人，因此高二人數(shù)比高一少，D錯誤．
故選：D．
7．A
【分析】結(jié)合條件根據(jù)線面角的定義求得，連接，根據(jù)異面直線夾角的定義，利用余弦定理求解即可.
【詳解】連接，因為平面，所以為直線與平面所成角，
設(shè)，則，
所以，所以，
連接連接，由長方體的性質(zhì)知，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，則或其補(bǔ)角即為直線與直線所成角，
在中，，
所以由余弦定理得，
即直線與直線所成角的余弦值為.
故選：A

8．B
【分析】取中點，中點，連接，，，過作于，則可證就是點到平面的距離，根據(jù)題意計算可得解.
【詳解】如圖，取中點，中點，連接，，，
因為，，
所以，，且，，，
所以，所以，
所以，
因為，，，所以平面，
因為平面，所以平面平面，
過作于，則平面，
所以就是點到平面的距離，
所以，
所以點到平面的距離為，
故選：B．
9．AC
【分析】根據(jù)給定的折線圖，結(jié)合統(tǒng)計知識逐項分析判斷得解.
【詳解】對于A，由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，A正確；
對于B，由題中折線圖知，2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出先增后減再增，B錯誤；
對于C，2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為元，
人均消費(fèi)支出的極差為元，C正確；
對于D，2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為元，D錯誤.
故選：AC
10．ACD
【分析】根據(jù)棱柱的特征，結(jié)合圖形對四個選項逐一進(jìn)行分析判斷即可．
【詳解】對A，由棱柱的特征：有兩個平面時相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形，故A正確；
對B，因為水面EFGH所在四邊形的面積，從圖2，圖3可以發(fā)現(xiàn)，有條邊長不變，而另外一條長隨著傾斜度變化而變化，所以EFGH所在四邊形的面積是變化的，故B錯誤；
對C，因為棱A1D1始終與BC是平行的，BC與平面始終平行，故C正確；
對D，因為水的體積是不變的，高始終是BC也不變，則底面也不變，即BE?BF是定值，故D正確．
故選：ACD．
11．ABC
【分析】對于A，易知為的中點，則，，再利用面面平行的判定定理，即可判斷；對于B，利用等角定理得到以及（定值），（定值），在中由余弦定理可知的長是定值，即可判斷；對于C，由，利用直角三角形中線定理可得，即可判斷；對于D，由等角定理，根據(jù)，得到，即，即可判斷.
【詳解】因為E，F(xiàn)為中點，則，所以四邊形CEFD是平行四邊形，
所以是的中點，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理平面，
又，所以平面平面，故A正確；
因為（定值），（定值），（定值），
在中由余弦定理可知的長是定值，故B正確；
若，則，所以，所以，故C正確；
因為，所以，所以，
因為在同一平面內(nèi)，所以不可能垂直于，
因為，所以不可能垂直于，故D錯誤.
故選：ABC.
12．垂
【分析】先用反證法證明平面PBC，再由面面垂直和線面垂直的判定和性質(zhì)定理證明，同理可證，，即可判斷.
【詳解】如圖：
首先證明平面PBC.若不然，在平面PAB中，過作于，
因為平面平面PBC，平面平面PBC，平面，
所以平面PBC.（AM不同于AP）
在平面PAC中，過作于，
因為平面平面PBC，平面平面PBC，平面，
所以平面PBC.（AN不同于AP）
這樣，過點A有兩條不同直線AM，AN垂直于平面PBC，這是不可能的.
所以假設(shè)不成立，平面PBC得證.
同理，由三個側(cè)面兩兩垂直，得平面，平面PAB，
因為平面，平面ABC，所以．①
因為平面，平面PBC，所以．②
由①②及，，平面APH，所以平面APH．
又平面APH，所以.
同理可證，，所以為的垂心.
故答案為：垂
13．2
【分析】由題意結(jié)合方差的定義整理計算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】由題意結(jié)合方差的定義有：
①，
而， ②，
①-②有：， ③，
注意到，將其代入③式整理可得：，
又，故.
故答案為2．
【點睛】本題主要考查方差的計算公式，整體的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
14．或
【分析】根據(jù)題意，兩塊直角三角板有兩種放置方式，分情況求解即可.
【詳解】解：有兩塊直角三角板：一塊三角板的兩條直角邊的長分別為，，
另一塊三角板的兩條直角邊的長均為，
這兩塊三角板有兩對頂點重合，且構(gòu)成的二面角，有兩種放置方式：
第一種：
如圖一： 直角中，， ，，為直角三角形，不重合的兩個頂點間的距離；
第二種：
如圖二：直角中，，，，
不重合的兩個頂點間的距離．
綜上，不重合的兩個頂點間的距離等于2或．
故答案為：2或．
15．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）在上取一點N使得DN＝1，連接CN，EN，可證明四邊形、四邊形CNEB是平行四邊形，可得，CNBE，則，即可證明結(jié)論；
（2）利用數(shù)據(jù)可證明HGFB，，利用線面平行的判定定理可得到HG平面，平面，然后利用面面平行的判定定理即可得證
【詳解】（1）在上取一點N使得DN＝1，
連接CN，EN，則AE＝DN＝1，
因為，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以ENAD，且EN＝AD，
又BCAD，且AD＝BC，所以ENBC，EN＝BC，
所以四邊形CNEB是平行四邊形，所以CNBE，
所以，
所以四點共面；
（2）因為H是的中點，所以，
因為，所以，
因為，且，
所以，
所以，
所以HGFB，
因為HG平面，F(xiàn)B 平面，所以HG平面，
因為
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
因為平面， 平面，所以平面，
又平面
所以平面平面
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位線的性質(zhì)證得四邊形DGEC是平行四邊形，進(jìn)而得，所以可證明CD∥平面；
（2）利用線線垂直證明面，根據(jù)線面角的概念得即為所求的線面角，然后在直角三角形中求解即可.
【詳解】（1）連接，取中點為點，連接，
因為G，D分別為，AB的中點，所以且，
又E為的中點，所以且，
所以且，則四邊形DGEC為平行四邊形，
所以，又平面，平面，則平面.
（2）連接BG，BE，

因為，D為AB中點，則，
又直三棱柱，面，則，
又，又面，面，所以面，
由（1）知，，所以面，則與平面所成角為，
因為，所以，，
所以，則與平面所成角的正弦值為.
17．(1)
(2)
(3)平均分顯著提高
【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)計算可得；
（2）根據(jù)小矩形的中點值及平均值公式計算公式即可求解；
（3）應(yīng)用均值公式及標(biāo)準(zhǔn)差公式，及運(yùn)算即可判斷.
【詳解】（1）由題知：，所以
（2）平均數(shù)約為
（3），
，則，
所以，可以判斷平均分顯著提高
18．(1)證明見解析
(2)存在，點E是線段BM上靠近B的三等分點
【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明；
（2）由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行，從而可得點位置．
【詳解】（1）證明：
∵，O是AB的中點，
∴，
又∵△VAB是等邊三角形，O是AB的中點，
∴，
又∵，OC，平面VOC，
∴AB⊥平面VOC；
（2）假設(shè)線段BM上存在一點E使平面VOC，連接CF，
∵平面BMC，平面平面，
∴，
∵D是BC的中點，
∴E是BF的中點，
又∵F是等邊三角形VAB的重心，
∴，，
∴點E是線段BM上靠近B的三等分點．
19．(1)證明見解析
(2)
【分析】(1) 當(dāng)時，可證得平面，從而證得平面平面；
(2) 取的中點，連接，證得為二面角的平面角，過作于點，過作與點，證得為二面角的平面角，解三角形得結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，平面平面．
在直角梯形中，，所以，所以，
因為平面平面，平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面．
（2）取的中點，連接，因為，所以．
因為為的中點，連接，則為的中位線，所以．
因為，所以，
所以為二面角的平面角，即．
因為，所以平面．
因為平面，所以平面平面．
因為平面平面，所以過作，交于點，則平面．
平面，，過作與點，連結(jié)，．
所以．所以為二面角的平面角．
在中，，，．
在中，．
在中，，
所以，故二面角的正切值為．這10名同學(xué)的本次考試成績
70
72
72
72
74
71
72
72
72
73

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