1．下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣2B．0C．3D．
2．下列四種化學(xué)儀器的示意圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知點(diǎn)（﹣3，2）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，則k的值為（ ）
A．﹣3B．3C．﹣6D．6
4．如圖，AB∥CD，∠1＝65°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°

第4題 第8題 第9題
5．若兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是（ ）
A．1：3B．1：4C．1：6D．1：9
6．烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（ ）
A．20B．22C．24D．26
7．已知m＝﹣，則實(shí)數(shù)m的范圍是（ ）
A．2＜m＜3B．3＜m＜4C．4＜m＜5D．5＜m＜6
8．如圖，在矩形ABCD中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若AD＝4，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．32﹣8πB．16﹣4πC．32﹣4πD．16﹣8π
9．如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，連接CF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．則的值為（ ）
A．B．C．D．
10．已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+?+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5．下列說法：
①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；②不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且僅有3個(gè)；
③滿足條件的整式M共有16個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上。
11．計(jì)算：（π﹣3）0+（）﹣1＝ ．
12．如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是40°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 ．
13．重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從A，B，C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B的概率為 ．
14．隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元．該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是 ．
15．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CD＝CA，過點(diǎn)D作DE∥CB，且DE＝DC，連接AE交BC于點(diǎn)F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，則BF＝ ．

16．若關(guān)于x的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程＝2﹣的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為 ．
17．如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點(diǎn)D，E均在⊙O上，DE與AB交于點(diǎn)F，連接CE，與⊙O交于點(diǎn)G，連接DG．若AB＝10，DE＝8，則AF＝ ，DG＝ .
18．我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成m2﹣n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2﹣n的過程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)?02＝252﹣23，25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602＝252﹣23的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是 ．把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A＝m2﹣n，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n＝k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為 ．
三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題8分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19．（8分）計(jì)算：（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；（2）（1+）÷．
20．（10分）為了解學(xué)生的安全知識(shí)掌握情況，某校舉辦了安全知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)從七、八年級(jí)的學(xué)生中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（百分制）進(jìn)行收集、整理、描述、分析．所有學(xué)生的成績(jī)均高于60分（成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面給出了部分信息：七年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椋?br>66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．
八年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贑組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．
七、八年級(jí)所抽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生的安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)較好？請(qǐng)說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七年級(jí)有400名學(xué)生、八年級(jí)有500名學(xué)生參加了此次安全知識(shí)競(jìng)賽，估計(jì)該校七、八年級(jí)參加此次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀（x＞90）的學(xué)生人數(shù)是多少？
21．（10分）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，智慧小組進(jìn)行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：
（1）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．用尺規(guī)過點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）已知：矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對(duì)角線AC的中點(diǎn)O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．∴① ，∠FCO＝∠EAO．
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴② ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③ ．
又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．
進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④ ．
22．（10分）為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對(duì)現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代．
（1）為鼓勵(lì)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺(tái)了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？
（2）經(jīng)測(cè)算，購(gòu)買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購(gòu)買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購(gòu)買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購(gòu)買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？
23．（10分）如圖1，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，AP＝x，過點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．點(diǎn)P，Q的距離為y1，△ABC的周長(zhǎng)與△APQ的周長(zhǎng)之比為y2．
（1）請(qǐng)直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出y1＞y2時(shí)x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點(diǎn)后一位，誤差不超過0.2）．
24．（10分）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港．
（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？緽，D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請(qǐng)通過計(jì)算說明．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，6），與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），連接AC，BC，tan∠CBA＝4．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是射線CA上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)M是線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥y軸，垂足為N，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，連接AM，NF．當(dāng)線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求AM+MN+NF的最小值；
（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)D，且與直線AC相交于另一點(diǎn)K．點(diǎn)Q為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠QDK＝∠ACB時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與端點(diǎn)重合）．點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AD，DE．在直線AD上取一點(diǎn)F，使∠EFD＝∠BAC，直線EF與直線AC交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，用等式表示線段CG與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若∠BAC＝90°，點(diǎn)D從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，連接AE，當(dāng)△AEG為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．
2024年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑。
1．下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣2B．0C．3D．
【分析】利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．3、兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而?。凑諒男〉酱蟮捻樞蚺帕姓页鼋Y(jié)論即可．
【解答】解：∵﹣2＜＜0＜3，
∴最小的數(shù)是：﹣2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小是本題的關(guān)鍵．
2．下列四種化學(xué)儀器的示意圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷即可．
【解答】解：A、示意圖不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、示意圖不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、示意圖是軸對(duì)稱圖形，符合題意；
D、示意圖不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．已知點(diǎn)（﹣3，2）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，則k的值為（ ）
A．﹣3B．3C．﹣6D．6
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可．
【解答】解：∵點(diǎn)（﹣3，2）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)之積是定值k是解答本題的關(guān)鍵．
4．如圖，AB∥CD，∠1＝65°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠3＝∠1＝65°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到∠2＝180°﹣∠3＝115°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝65°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝115°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠3＝∠1＝65°．
5．若兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是（ ）
A．1：3B．1：4C．1：6D．1：9
【分析】由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可得到答案．
【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，
∴這兩個(gè)相似三角形的面積比是12：32＝1：9．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方．
6．烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（ ）
A．20B．22C．24D．26
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出模型中氫原子的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：4＝1×2+2；
第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：6＝2×2+2；
第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：8＝3×2+2；
第4種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：10＝4×2+2；
…，
所以第n種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為（2n+2）個(gè)，
當(dāng)n＝10時(shí)，
2n+2＝22（個(gè)），
即第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為22個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)氫原子的個(gè)數(shù)依次增加2是解題的關(guān)鍵．
7．已知m＝﹣，則實(shí)數(shù)m的范圍是（ ）
A．2＜m＜3B．3＜m＜4C．4＜m＜5D．5＜m＜6
【分析】先化簡(jiǎn)m的值，再運(yùn)用算術(shù)平方根知識(shí)進(jìn)行估算、求解．
【解答】解：m＝﹣＝3﹣＝2＝，
∵＜，
∴3＜＜4，
即實(shí)數(shù)m的范圍是3＜m＜4，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了對(duì)無理數(shù)大小的估算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用算術(shù)平方根知識(shí)．
8．如圖，在矩形ABCD中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若AD＝4，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．32﹣8πB．16﹣4πC．32﹣4πD．16﹣8π
【分析】連接AC，在Rt△ADC 中利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的面積公式求出矩形ABCD的面積，兩個(gè)扇形為圓，根據(jù)扇形面積公式求出兩個(gè)扇形面積之和，根據(jù)S陰影＝S矩形ABCD﹣S兩個(gè)扇形計(jì)算陰影部分的面積即可．
【解答】解：連接AC．
∵兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，AD＝4，
∴AC＝2AD＝8，
∴在Rt△ADC 中，CD＝＝＝4，
∴S矩形ABCD＝AD?CD＝16，
∵兩個(gè)扇形均為圓，而且它們的半徑相等，
∴兩個(gè)扇形為圓，面積之和為S兩個(gè)扇形＝πAD2＝8π，
∴S陰影＝S矩形ABCD﹣S兩個(gè)扇形＝16﹣8π．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握勾股定理、矩形、扇形和圓的面積公式是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，連接CF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．則的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】過點(diǎn)F作FH⊥DC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明△ADE和△EHF全等，得到∠FCH＝45°，再根據(jù)等腰直角三角形三邊關(guān)系，求出比值．
【解答】解：過點(diǎn)F作FH⊥DC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∴∠H＝90°
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝DC，
∵AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠HEF，
在△ADE和△EHF中，
，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴AD＝EH，DE＝HF，
∴EH＝DC，
∴DE＝CH＝HF，
∴∠HCF＝45°，
∴∠G＝45°，
設(shè)CH＝HF＝DE＝x，正方形邊長(zhǎng)為y，
則CE＝y(tǒng)﹣x，CF＝，CG＝，
∴FG＝CG﹣CF＝，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．
10．已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+?+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5．下列說法：
①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；
②不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且僅有3個(gè)；
③滿足條件的整式M共有16個(gè)．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根據(jù)題意，對(duì)n進(jìn)行分類討論即可．
【解答】解：∵n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5，
∴0≤n≤4，
當(dāng)n＝4時(shí)，則4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，
∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，
滿足條件的整式有x4，
當(dāng)n＝3時(shí)，則3+a3+a2+a1+a0＝5，
∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），
滿足條件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，
當(dāng)n＝2時(shí)，則2+a2+a1+a0＝5，
∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），
滿足條件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；
當(dāng)n＝1時(shí)，則1+a1+a0＝5，
∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），
滿足條件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；
當(dāng)n＝0時(shí)，0+a0＝5，
滿足條件的整式有：5；
∴滿足條件的單項(xiàng)式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合題意；
不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)，故②符合題意；
滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1＝16個(gè)，故③符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的規(guī)律探究，單項(xiàng)式，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得0≤n≤4，再分類討論得到答案即可．
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上。
11．計(jì)算：（π﹣3）0+（）﹣1＝ 3 ．
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算可得．
【解答】解：原式＝1+2＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)）及a0＝1（a≠0）．
12．如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是40°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 9 ．
【分析】根據(jù)外角和為360°，得出多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：∵＝9，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9，
故答案為：9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的外角和定理，理解外角的個(gè)數(shù)與正多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
13．重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從A，B，C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B的概率為 ．
【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B：BB共1種，
∴甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
14．隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元．該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是 10% ．
【分析】設(shè)該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是x，利用該公司2023年繳稅金額＝該公司2021年繳稅金額×（1+該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是x，
根據(jù)題意得：40（1+x）2＝48.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合題意，舍去），
∴該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是10%．
故答案為：10%．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CD＝CA，過點(diǎn)D作DE∥CB，且DE＝DC，連接AE交BC于點(diǎn)F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，則BF＝ 3 ．
【分析】由平行線的等分線段定理推出AF＝EF，由三角形中位線定理推出DE＝2CF＝2，得到AC＝2CF＝2，由△CAF∽△CBA，推出AC：BC＝CF：AC，求出BC＝4，即可得到BF的長(zhǎng)．
【解答】解：∵CD＝CA，DE∥CB，
∴AF＝EF，
∴CF是△ADE的中位線，
∴DE＝2CF＝2，
∵DE＝DC，
∴AC＝2CF＝2，
∵∠CAB＝∠CFA，∠ACF＝∠ACB，
∴△CAF∽△CBA，
∴AC：BC＝CF：AC，
∴2：BC＝1：2，
∴BC＝4，
∴BF＝BC﹣FC＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線等分線段定理，關(guān)鍵是由三角形中位線定理得到AC＝2CF＝2，由△CAF∽△CBA，推出AC：BC＝CF：AC．
16．若關(guān)于x的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程＝2﹣的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為 16 ．
【分析】先通過解一元一次不等式組和分式方程確定所有滿足條件的整數(shù)a的值，再進(jìn)行計(jì)算求解．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜4，
解不等式②，得x≥，
∴該不等式組的解集為≤x＜4，
∵該不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，
∴≤2，
解得a≤8；
解分式方程＝2﹣得，
y＝，
由題意得，當(dāng)a＝8時(shí)，y＝＝3；
當(dāng)a＝6時(shí)，y＝＝2；
當(dāng)a＝4時(shí)，y＝＝1（不合題意，舍去）；
當(dāng)a＝2時(shí)，y＝＝0，
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為8、6和2，
∵8+6+2＝16，
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為16，
故答案為：16．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含有字母參數(shù)的一元一次不等式組和分式方程問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)進(jìn)行計(jì)算求解．
17．如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點(diǎn)D，E均在⊙O上，DE與AB交于點(diǎn)F，連接CE，與⊙O交于點(diǎn)G，連接DG．若AB＝10，DE＝8，則AF＝ 8 ，DG＝ .
【分析】連接OE、OD、OG，過O點(diǎn)作OH⊥DG于H點(diǎn)，CE交AF于P點(diǎn)，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥AC，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AC∥DE，所以AB⊥DE，則利用垂徑定理得到DF＝EF＝4，接著利用勾股定理計(jì)算出OF＝3，從而得到AF的長(zhǎng)；利用平行線分線段成比例得到＝＝，則可計(jì)算出PA＝，PC＝，再證明Rt△DOH∽R(shí)t△PCA，利用相似比求出DH，最后根據(jù)垂徑定理得到DG＝2DH＝．
【解答】解：連接OE、OD、OG，過O點(diǎn)作OH⊥DG于H點(diǎn)，CE交AF于P點(diǎn)，如圖，
∵以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，
∴AB⊥AC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AC∥DE，
∴AB⊥DE，
∴DF＝EF＝DE＝4，
∵AB＝10，
∴OA＝OE＝5，
在Rt△OEF中，OF＝＝＝3，
∴AF＝OA+OF＝5+3＝8；
∵DE∥AC，
∴＝＝，∠DEG＝∠PCA，
∴PA＝×8＝，
在Rt△ACP中，PC＝＝，
∵∠DOG＝2∠DEG，∠DOG＝2∠DOH，
∴∠DEG＝∠DOH，
∴∠DOH＝∠PCA，
∴Rt△DOH∽R(shí)t△PCA，
∴DH：AO＝OD：PC，即DH：＝5：，
∴DH＝，
∵OH⊥DG，
∴DG＝2DH＝．
故答案為：8，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理和平行四邊形的性質(zhì)．
18．我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成m2﹣n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2﹣n的過程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)?02＝252﹣23，25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602＝252﹣23的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是 82 ．把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A＝m2﹣n，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n＝k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為 4564 ．
【分析】設(shè)m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得m＝10，n＝18，即可求解；根據(jù)B除以19余數(shù)為1，且2m+n＝k2（k為整數(shù)），得出 為整數(shù)，30a+b+8是完全平方數(shù)，在1≤a≤9，0≤b≤8，逐個(gè)檢驗(yàn)計(jì)算，即可求解．
【解答】解：①設(shè)m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），
由題意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b），
∵1≤a≤9，
∴要使“方減數(shù)”最小，需a＝1，
∴m＝10+b，n＝18﹣b，
∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b，
當(dāng)b＝0時(shí)，m2﹣n 最小為82；
②設(shè)m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），
∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8，
∵B除以19余數(shù)為1，
∴1010a+99b+7能被19整除，
∴＝53a+5b+ 為整數(shù)，
又 2m+n＝k2 （k為整數(shù)），
∴2（10a+b）+10a+8﹣b＝30a+b+8是完全平方數(shù)，
∵1≤a≤9，0≤b≤8，
∴30a+b+8最小為49，最大為256，即7≤k≤16，
設(shè)3a+4b+7＝19t，t為正整數(shù)，則1≤t≤3，
（Ⅰ） 當(dāng)t＝1時(shí)，3a+4b＝12，則b＝3﹣a，30a+b+8＝30a+3﹣a+8是完全平方數(shù)，
又1≤a≤9，0≤b≤8，此時(shí)無整數(shù)解，
（Ⅱ）當(dāng)t＝2時(shí)，3a+4b＝31，則b＝，30a+b+8＝30a++8是完全平方數(shù)，
又1≤a≤9，0≤b≤8，此時(shí)無整數(shù)解，
（Ⅲ）當(dāng)t＝3時(shí)，3a+4b＝50，則， 是完全平方數(shù)，
若a＝6，b＝8，則3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142，
∴t＝3，k＝14，
此時(shí)m＝10a+8＝68，n＝10a+8﹣a＝60，
∴A＝682﹣60＝4564，
故答案為：82，4564．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含字母的式子表示相關(guān)的數(shù)．
三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題8分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19．（8分）計(jì)算：
（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；
（2）（1+）÷．
【分析】（1）先展開，再合并同類項(xiàng)即可；
（2）先通分算括號(hào)內(nèi)的，把除化為乘，再分解因式約分．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+x2+2xy+y2
＝2x2+y2；
（2）原式＝÷
＝?
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算和分式的符合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握整式和分式相關(guān)運(yùn)算的法則．
20．（10分）為了解學(xué)生的安全知識(shí)掌握情況，某校舉辦了安全知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)從七、八年級(jí)的學(xué)生中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（百分制）進(jìn)行收集、整理、描述、分析．所有學(xué)生的成績(jī)均高于60分（成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面給出了部分信息：七年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椋?br>66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．
八年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贑組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．
七、八年級(jí)所抽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中a＝ 86 ，b＝ 87.5 ，m＝ 40 ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生的安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)較好？請(qǐng)說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七年級(jí)有400名學(xué)生、八年級(jí)有500名學(xué)生參加了此次安全知識(shí)競(jìng)賽，估計(jì)該校七、八年級(jí)參加此次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀（x＞90）的學(xué)生人數(shù)是多少？
【分析】（1）分別根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義可得a、b的值；用“1”分別減去其它部分占比可得m的值；
（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的意義解答即可；
（3）利用樣本估計(jì)總體思想求解可得．
【解答】解：（1）在七年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)中86出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)a＝86；
把八年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是87，88，故中位數(shù)b＝＝87.5，
m%＝1﹣10%﹣20%﹣＝40%，即m＝40．
故答案為：86，87.5，40；
（2）八年級(jí)學(xué)生安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)較好，理由如下：
因?yàn)閮蓚€(gè)年級(jí)成績(jī)的平均數(shù)相同，但八年級(jí)的中位數(shù)高于七年級(jí)，所以得到八年級(jí)學(xué)生安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)較好（答案不唯一）；
（3）400×+500×40%
＝120+200
＝320（人），
答：估計(jì)該校七、八年級(jí)參加此次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀（x＞90）的學(xué)生人數(shù)大約是320人．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)分布表、中位數(shù)、眾數(shù)以及用樣本估計(jì)總體，掌握相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的意義以及計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．
21．（10分）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，智慧小組進(jìn)行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：
（1）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．用尺規(guī)過點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）已知：矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對(duì)角線AC的中點(diǎn)O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ∠CFO＝∠AEO ，∠FCO＝∠EAO．
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴② OC＝OA ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ OF＝OE ．
又∵OA＝OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．
進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④ 四邊形AECF是菱形． ．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；
（2）根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形證明即可．
【解答】（1）解：圖形如圖所示：
（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴①∠CFO＝∠AEO，∠FCO＝∠EAO．
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴②OC＝OA．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③OF＝OE．
又∵OA＝OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．
猜想的結(jié)論：④四邊形AECF是菱形．
故答案為：∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
22．（10分）為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對(duì)現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代．
（1）為鼓勵(lì)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺(tái)了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？
（2）經(jīng)測(cè)算，購(gòu)買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購(gòu)買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購(gòu)買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購(gòu)買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？
【分析】（1）設(shè)該企業(yè)有x條甲類生產(chǎn)線，y條乙類生產(chǎn)線，根據(jù)“更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需投入m萬元，則購(gòu)買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備需投入（m+5）萬元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用200萬元購(gòu)買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購(gòu)買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，可列出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出m的值，再將其代入10（m+5）+20m﹣70中，即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該企業(yè)有x條甲類生產(chǎn)線，y條乙類生產(chǎn)線，
根據(jù)題意得；，
解得：．
答：該企業(yè)有10條甲類生產(chǎn)線，20條乙類生產(chǎn)線；
（2）設(shè)購(gòu)買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需投入m萬元，則購(gòu)買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備需投入（m+5）萬元，
根據(jù)題意得：＝，
解得：m＝45，
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝45是所列方程的解，且符合題意，
∴10（m+5）+20m﹣70＝10×（45+5）+20×45﹣70＝1330．
答：還需投入1330萬元資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．
23．（10分）如圖1，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，AP＝x，過點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．點(diǎn)P，Q的距離為y1，△ABC的周長(zhǎng)與△APQ的周長(zhǎng)之比為y2．
（1）請(qǐng)直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出y1＞y2時(shí)x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點(diǎn)后一位，誤差不超過0.2）．
【分析】（1）通過證明△APQ∽△ABC，可得，＝，即可解；
（2）根據(jù)解析式畫出圖象即可；
（3）根據(jù)題意列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，＝，
∴，y2＝，
∴y1＝x，
∵點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，
∴y1＝x（0≤x≤6），y2＝（0＜x≤6）；
（2）圖象如圖所示：
y1＝x的圖象性質(zhì)：在0≤x≤6，y隨x的增大而增大，
y2＝的圖象性質(zhì)：在0＜x≤6，y隨x的增大而減小；
（3）∵y1＞y2，
∴x＞，
∴x2＞，
∴x＜﹣（舍去），x＞，
∴2.6＜x≤6．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港．
（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？緽，D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請(qǐng)通過計(jì)算說明．
【分析】（1）過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，先在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE和BE的長(zhǎng)，再在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）根據(jù)題意可得：∠CDF＝30°，DF∥AG，從而可得∠GAD＝∠ADF＝60°，然后利用角的和差關(guān)系可得∠ADC＝90°，從而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出CD和AD的長(zhǎng)，再在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算比較即可解答．
【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，AB＝40海里，
∴AE＝AB?cs45°＝40×＝20（海里），
BE＝AB?sin45°＝40×＝20（海里），
在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，
∴CE＝BE?tan60°＝20×＝20（海里），
∴AC＝AE+CE＝20+20≈77.2（海里），
∴A，C兩港之間的距離約為77.2海里；
（2）甲貨輪先到達(dá)C港，
理由：如圖：
由題意得：∠CDF＝30°，DF∥AG，
∴∠GAD＝∠ADF＝60°，
∴∠ADC＝∠ADF+∠CDF＝90°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠GAD＝30°，
∴CD＝AC＝（10+10）海里，
AD＝CD＝（10+30）海里，
在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BE＝20海里，
∴BC＝＝＝40（海里），
∴甲貨輪航行的路程＝AB+BC＝40+40≈96.4（海里），
乙貨輪航行的路程＝AD+CD＝10+30+10+10＝20+40＝105.4（海里），
∵96.4海里＜105.4海里，
∴甲貨輪先到達(dá)C港．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，6），與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），連接AC，BC，tan∠CBA＝4．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是射線CA上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)M是線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥y軸，垂足為N，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，連接AM，NF．當(dāng)線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求AM+MN+NF的最小值；
（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)D，且與直線AC相交于另一點(diǎn)K．點(diǎn)Q為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠QDK＝∠ACB時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A′（﹣2，0），連接A′F交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NM⊥PE，連接AM，則此時(shí)AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F最小，即可求解；
（3）∠QDK＝∠ACB，則DQ∥BC，則直線DQ的表達(dá)式為：y＝﹣4（x+2）+2，即可求解；當(dāng)點(diǎn)Q（Q′）在AC上方時(shí)，同理可解．
【解答】解：（1）由拋物線的表達(dá)式知，OC＝4，
∵tan∠CBA＝4，則OB＝1，
即點(diǎn)B（1，0），
由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣4，0）、（1，0）、（0，4），則點(diǎn)F（，2），
由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y＝x+4，
設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+3x+4），則點(diǎn)D（x，x+4），
則PD＝﹣x2+3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，PD取得最大值，則點(diǎn)E（﹣2，0）、D（﹣2，2），則MN＝2，
將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A′（﹣2，0），連接A′F交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NM⊥PE，連接AM，
則四邊形MNA′A為平行四邊形，則AM＝A′N，
則此時(shí)AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F＝2+＝2+為最?。?br>（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，當(dāng)向左平移m個(gè)單位時(shí)，則向下平移了m個(gè)單位，
則新拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x+m）2+3（x+m）+4﹣m，
將點(diǎn)D（﹣2，2）的坐標(biāo)代入上式得：2＝﹣（﹣2+m）2+3（﹣2+m）+4﹣m，
解得：m＝2，
則新拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x+m）2+3（x+m）+4﹣m＝﹣x2﹣7x﹣8，
由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣4x+4，
當(dāng)點(diǎn)Q在AC下方時(shí)，
∵∠QDK＝∠ACB，則DQ∥BC，
則直線DQ的表達(dá)式為：y＝﹣4（x+2）+2，
聯(lián)立上式和新拋物線的表達(dá)式得：﹣4（x+2）+2＝﹣x2﹣7x﹣8，
解得：x＝﹣2（舍去）或﹣1，
即點(diǎn)Q（﹣1，﹣2）；
當(dāng)點(diǎn)Q（Q′）在AC上方時(shí)，
同理可得，點(diǎn)H′（﹣4，），
由點(diǎn)D、H′的坐標(biāo)得，直線DH′的表達(dá)式為：y＝﹣（x+2）+2，
聯(lián)立上式和新拋物線的表達(dá)式得：﹣（x+2）+2+2＝﹣x2﹣7x﹣8，
解得：x＝﹣2（舍去）或﹣，
即點(diǎn)Q（﹣，）；
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）或（﹣，）．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．
26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與端點(diǎn)重合）．點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AD，DE．在直線AD上取一點(diǎn)F，使∠EFD＝∠BAC，直線EF與直線AC交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，用等式表示線段CG與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若∠BAC＝90°，點(diǎn)D從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，連接AE，當(dāng)△AEG為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．
【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理及外角定理結(jié)合∠EFD＝∠BAC即可求解；
（2）在CG上截取CM＝BD，連接BM，BE，BM交AD于點(diǎn)H，連接BE，AE，再證明四邊形EBMG是平行四邊形，可得CG＝2BD，記AB 與DE的交點(diǎn)為點(diǎn)N，則由軸對(duì)稱可知：DE⊥AB，NE＝ND，再解Rt△BND即可；
（3）連接BE，記AB與DE的交點(diǎn)為點(diǎn)N，由軸對(duì)稱知∠EAB＝∠DAB，DE⊥AB，NE＝ND，∠EBA＝∠DBA＝45°，當(dāng)點(diǎn)G在邊AC上時(shí)，由于∠EAG＞90°，當(dāng)△AEG為等腰三角形時(shí)，只能是AE＝AG，由（1）得∠BAD＝α，∠AGE＝60°+α，Rt△AFG中，α+2α＝90°，解得α＝30°，然后AF＝x，解直角三角形，表示出AG＝2x，CG＝，即可求解；當(dāng)點(diǎn)G在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，只能是GE＝GA，設(shè)∠BAD＝∠BAE＝β，在Rt△AFE 中，90°﹣β+180°﹣2β＝90°，解得β＝60°，設(shè)GF＝x，解直角三角形求出CG＝，即可求解．
【解答】解：（1）如圖1.1，
∵∠EFD＝∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFD＝∠1+∠BAD＝∠1+α，
∴∠1＝60°﹣α，
∵∠AGE+∠1+∠BAC＝180°，
∴∠AGE＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，
∴∠AGE＝120°﹣（60°﹣α）＝60°+α；
（2）CG＝；理由如下：
在CG上截取CM＝BD，連接BM，BE，AE，BM交AD于點(diǎn)H，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△BCA為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB，
∴△ABD≌△BCM（SAS），
∴∠3＝∠4，
∵∠AHM＝∠3+∠5，
∴∠AHM＝∠4+∠5＝60°，
∵∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴∠AHM＝∠EFD，
∴EG∥BM，
∵點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，
∴AE＝AD，BE＝BD，∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠C＝180°，
∴EB∥AC，
∴四邊形EBMG是平行四邊形，
∴BE＝GM，
∴BE＝GM＝BD＝CM，
∴CG＝2BD，記AB與DE的交點(diǎn)為點(diǎn)N，則由軸對(duì)稱可知：DE⊥AB，NE＝ND，
在Rt△DNB中，DN＝BD?sin∠ABC＝BD，
∴DE＝2DN＝BD，
∴＝＝，
∴CG＝；
（3）連接BE，記AB與DE的交點(diǎn)為點(diǎn)N，如圖2，
∵AB＝AC，∠EFD＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由軸對(duì)稱知∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠DBA＝45°，DE⊥AB，NE＝ND，
當(dāng)點(diǎn)G在邊AC上時(shí)，由于∠EAG＞90°，
∴當(dāng)△AEG為等腰三角形時(shí)，只能是AE＝AG，由（1）得∠BAD＝α，∠AGE＝60°+α，
∴∠EAB＝α，
∴∠EAD＝2α，
∵AE＝AG，EG⊥AD，
∴∠FAG＝∠EAD＝2α，
在Rt△AFG中，α+2α＝90°，
解得α＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∵AE＝AD，
∴△AED為等邊三角形，
∴AE＝ED，
設(shè)AF＝x，
∵∠EAD＝60°，
∴AG＝AE＝ED＝＝2x，
∴DN＝x，
在Rt△DAN中，AN＝＝DN＝，
∵DE⊥AB，∠ABC＝45°，
∴BN＝＝DN＝x，
∴AC＝AB＝x+x，
∴CG＝AC﹣AG＝x+x﹣2x＝，
∴＝；
當(dāng)點(diǎn)G在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，只能是GE＝GA，如圖3：
設(shè)∠BAD＝∠BAE＝β，
∴∠DAC＝∠GAF＝90﹣β，
∴∠EAF＝180°﹣2β，
∴∠GAE＝∠EAF﹣∠GAF＝90°﹣β，
∵GE＝GA，
∴∠GAE＝∠GEA＝90°﹣β，
∵∠EFD＝∠BAC＝90°，
在Rt△AFE中，90°﹣β+180°﹣2β＝90°，
解得β＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°＝∠GAF，
設(shè)GF＝x，則AG＝GE＝2x，AF＝，
在Rt△EFA中，EF＝2x+x＝3x，
由勾股定理得AE＝，
在Rt△EAN中，AN＝AE?cs60°＝，EN＝DN＝BN＝AE?sin60°＝3x，
∴AB＝AC＝3x+，
∴CG＝AG+AC＝，
∴＝，
綜上所述，＝或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，外角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的分類討論，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/6/17 8:00:33；用戶：陳莉；郵箱：badywgy52@xyh.cm；學(xué)號(hào)：39221433年級(jí)
七年級(jí)
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平均數(shù)
85
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