一、單選題
1．下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是( )
A．-2B．0C．3D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ -2＜＜0＜3，則最小的數(shù)是-2
故答案為：A
【分析】本題考查有理數(shù)的大小，負(fù)數(shù)小于0，0小于正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比大小，絕對值大的反而小，可得答案。
2．下列四種化學(xué)儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】【解答】
A：選項(xiàng)圖形不是軸對稱圖形，不合題意；
B：選項(xiàng)圖形不是軸對稱圖形，不合題意；
C：選項(xiàng)圖形是軸對稱圖形，符合題意；
D：選項(xiàng)圖形不是軸對稱圖形，不合題意；
故答案為：C
【分析】本題考查軸對稱圖形的定義：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形。據(jù)此可做判斷。
3．已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為( )
A．-3B．3C．-6D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上
∴ k=xy=-3×2=-6
∴ k的值為-6
故答案為：C
【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)k=xy，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出k值即可。
4．如圖，，，則的度數(shù)是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】
解：如圖，∠1對頂角是∠3
∵ AB∥CD
∴ ∠2+∠3=180°
∵ ∠1=∠3=65°
∴ ∠2=115°
故答案為：B
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，理解平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，切勿忽略對頂角相等這個(gè)隱含條件。由 AB∥CD得 ∠2+∠3=180°，結(jié)合∠1=∠3=65°得 ∠2=115°.
5．若兩個(gè)相似三角形的相似比是，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】
解：∵ 兩個(gè)相似三角形的相似比是，
∴ 這兩個(gè)相似三角形的面積比是1：9
故答案為：D
【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，面積之比等于相似比的平方，熟悉性質(zhì)是關(guān)鍵。
6．烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是( )
A．20B．22C．24D．26
【答案】B
【解析】【解答】
解： 第1種如圖①有4個(gè)氫原子，4=2×1+2
第2種如圖②有6個(gè)氫原子，6=2×2+2
第3種如圖③有8個(gè)氫原子，8=2×3+2
第4種如圖④有10個(gè)氫原子，10=2×4+2
以此類推，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是2×10+2=22
故答案為：B
【分析】本題考查圖形規(guī)律，認(rèn)真觀察每個(gè)圖形的增加數(shù)量，找出變化規(guī)律，可得答案。由第1個(gè)圖，第2個(gè)圖，第3個(gè)圖，第4個(gè)圖的數(shù)量4，6，8，10，可得規(guī)律，第n個(gè)圖的氫原子數(shù)量=2n+2.
7．已知，則實(shí)數(shù)m的范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】
解：
∵
∴
故答案為：B
【分析】本題考查無理數(shù)的估算與二次根式的計(jì)算，掌握取值范圍的方法是關(guān)鍵，先化簡得m=，再估算m的范圍。
8．如圖，在矩形中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).若，則圖中陰影部分的面積為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】
解：如圖，連接AC
由題知：AC=2AD=8
∵ 矩形ABCD
∴ AD=BC=4，∠A=∠D=∠ADC=90°
∴ AB=
∴ S矩形ABCD=AB×BC=16，2S扇形==
∴ 圖中陰影面積= S矩形ABCD-2S扇形=
故答案為：D
【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，矩形性質(zhì)，勾股定理等知識，根據(jù)題意得AC，結(jié)合矩形性質(zhì)，勾股定理得AB，計(jì)算矩形面積，扇形面積，可得陰影面積。
9．如圖，在正方形的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到FE，連接CF并延長與AB的延長線交于點(diǎn)G.則的值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：過點(diǎn)F作延長線的垂線，垂足為點(diǎn)H，則，
由旋轉(zhuǎn)得，
四邊形是正方形，
，，，設(shè)，
，
，
，
，
，，設(shè)，
則，
，
，而，
，
，
，
，
同理可求，
，
，
故答案為：A.
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，數(shù)量掌握常見幾何圖形的性質(zhì)與判定方法，正確添加輔助線，構(gòu)造“一線三等角”得全等三角形是關(guān)鍵。過點(diǎn)F作延長線的垂線，垂足為點(diǎn)H，則，結(jié)合正方形的性質(zhì)，證，得AD=EH=1，設(shè)，得CE=1-x，HF=CH=x，得∠HCF=45°，則CF=x，同理可求，得，則可知.
10．已知整式，其中n，…，為自然數(shù)，為正整數(shù)，且.下列說法：
①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；
②不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且僅有3個(gè)；
③滿足條件的整式M共有16個(gè).
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：n，，…，為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，
，
當(dāng)時(shí)，則，
，，
滿足條件的整式有，
當(dāng)時(shí)，則，
，，，，
滿足條件的整式有：，，，，
當(dāng)時(shí)，則，
，，，，，，
滿足條件的整式有：，，，，，；
當(dāng)時(shí)，則，
，，，，
滿足條件的整式有：，，，；
當(dāng)時(shí)，，
滿足條件的整式有：5；
滿足條件的單項(xiàng)式有：，，，，，故①符合題意；
不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)；故②符合題意；
滿足條件的整式M共有個(gè).故③符合題意；
故答案為：D.
【分析】本題考查探究整式的規(guī)律問題，應(yīng)用分類討論的思想解決問題，由n，…，為自然數(shù)，為正整數(shù)，且.得出，再分情況n=4，n=3，n=2，n=1，n=0分別討論，則可得出結(jié)論。
二、填空題
11．計(jì)算： ＝ ．
【答案】3
【解析】【解答】 =1+2=3
故答案為：3
【分析】根據(jù)0指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪定義求解.
12．如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 .
【答案】9
【解析】【解答】
解： ∵ 一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是
∴ 此多邊形為正多邊形，
則這個(gè)多邊形的邊數(shù)==9
故答案為：9
【分析】本題考查正多邊形外角和定理，掌握正多邊形邊數(shù)n與外角和360°，外角度數(shù)的關(guān)系即可。z正多邊形的邊數(shù)n=.
13．重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源.甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從A、B、C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B的概率為 .
【答案】
【解析】【解答】
解：甲，乙兩人選擇景點(diǎn)游覽的所有結(jié)果如下：
甲，乙兩人選擇景點(diǎn)游覽的等可能的所有結(jié)果共有9種，其中甲乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B的情況有1種，則乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B的概率是.
故答案為：
【分析】本題考查畫樹狀圖或列表法求概率，熟練掌握畫樹狀圖或列表法求概率是解題關(guān)鍵，
14．隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增.該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是 .
【答案】
【解析】【解答】
解：設(shè)該公司這兩年繳稅的年平均增長率是 x，根據(jù)題意得：
40（1+x）2=48.4
解得：x1=0.1=10％，x2=-2.1（不合題意，舍去）
則該公司這兩年繳稅的年平均增長率是10％
故答案為：10％
【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)---平均增長率，理解基礎(chǔ)量a，增長率x，增長時(shí)間n，終止量b的數(shù)量關(guān)系（a（1+x）n=b）是解題關(guān)鍵。設(shè)平均增長率為x，根據(jù)題意，列出方程求解，注意根的取舍。
15．如圖，在中，延長AC至點(diǎn)D，使，過點(diǎn)D作，且，連接AE交BC于點(diǎn)F.若，，則BF_ .
【答案】3
【解析】【解答】
解：∵ CD=CA，DE∥CB
∴ CF為 的中位線，∠CFA=∠E，∠ACB=∠D，
∴ DE=2CF=2=DC=CA
∴ AD=4
∵ ∠CAB=∠CFA
∴ ∠CAB=∠E，
∴（ASA）
∴ BC=AD=4
∴ BF=BC-CF=4-1=3
故答案為：3
【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握這些知識是解題關(guān)鍵。CD=CA，DE∥CB得CF為 的中位線，∠CFA=∠E，∠ACB=∠D，
得 DE=2CF=2=DC=CA，則 AD=4，證 ，得BC=AD=4，則 BF=3.
16．若關(guān)于x的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為 .
【答案】16
【解析】【解答】
解：
由①得：x＜4；
由②得：x≥；
∵ 此不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解
∴≤2
解得：a≤8
解分式方程
a-1=2（y-1）+3
2y=a-2
解得y=
∵ 關(guān)于y的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)
∴≥0，且≠1，a-2是整數(shù)
∴ a≥2，且a≠4，a是偶數(shù)
綜上，2≤a≤8，且a≠4，a是偶數(shù)
∴ 所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為 2+6+8=16
故答案為：16
【分析】本題考查不等式組的特殊解，分式方程的特殊解，正確求解不等式組，分式方程，結(jié)合要求得出a的范圍是解題關(guān)鍵。先解不等式組，得a≤8；再解分式方程，得a≥2且a≠4，a是偶數(shù)，則符合條件的a的范圍是2≤a≤8，且a≠4，a是偶數(shù)，得整數(shù)a的確定值為2，6，8，求和即可。
17．如圖，以為直徑的與AC相切于點(diǎn)A，以AC為邊作平行四邊形，點(diǎn)D、E均在上，與交于點(diǎn)F，連接CE，與交于點(diǎn)，連接.若，，則 . .
【答案】8；???????
【解析】【解答】解：連接并延長，交于點(diǎn)H，連接，設(shè)、交于點(diǎn)M，如圖所示：
以為直徑的與相切于點(diǎn)A，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
即，
解得：，
，
為直徑，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：.
故答案為：8；.
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理、勾股定理等知識，熟練掌握圓垂徑定理，切線性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵。連接并延長，交于點(diǎn)H，連接，設(shè)、交于點(diǎn)M，由平行四邊形ACDE得，，結(jié)合切線證，由垂徑定理得，
勾股定理得，得AF=8；由得，得，
得，勾股定理得，再證，得，得.
18．我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成的過程，稱為“方減分解”.例如：因?yàn)椋?5與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成的過程就是“方減分解”.按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是 .把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為 .
【答案】82；4564
【解析】【解答】答案：82；4564
解析：設(shè)，則（，），
由題意得：，
∵，“方減數(shù)”最小，
∴，
則，，
，
則當(dāng)時(shí)，最小，為82，
故答案為：82；
設(shè)，則（，），
∴，
∵B除以19余數(shù)為1，
能被19整除，
為整數(shù)，
又（k為整數(shù)），
∴是完全平方數(shù)，
，，
最小為49，最大為256，
即，
設(shè)，t為正整數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，則，則是完全平方數(shù)，又，，無整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，，則，則是完全平方數(shù)，又，，無整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，，則，則是完全平方數(shù)，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，，，，，
∴，，
，
故答案為：82，4564.
【分析】本題考查新定義運(yùn)算，正確理解“方減數(shù)”的定義，設(shè)，則（，），根據(jù)方減數(shù)的定義得：，方減數(shù)最小，則m=10，n=18，計(jì)算得最小方減數(shù)為82；由“B除以19余數(shù)為1”得為整數(shù)，由“（k為整數(shù)）”得是完全平方數(shù)，結(jié)合a，b的范圍逐一計(jì)算，設(shè)，t為正整數(shù)，得，再分，，三種情況逐一計(jì)算，可得答案。
三、解答題
19．計(jì)算：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
.
【解析】【分析】本題考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式和分式的化簡，掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵。（1）用單項(xiàng)式單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式分別計(jì)算，合并同類項(xiàng)即可；
（2）先將括號里的分式進(jìn)行通分，再結(jié)合除法法則計(jì)算分式除法，注意因式分解進(jìn)行約分，化成最簡即可。
20．為了解學(xué)生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽.現(xiàn)從七、八年級的學(xué)生中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行收集、整理、描述、分析.所有學(xué)生的成績均高于60分（成績得分用x表示，共分成四組：A.；B.；C.；D.），下面給出了部分信息：
七年級20名學(xué)生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年級20名學(xué)生的競賽成績在C組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89.
七、八年級所抽學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中a= ， ，m= ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個(gè)年級學(xué)生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七年級有400名學(xué)生，八年級有500名學(xué)生參加了此次安全知識競賽，估計(jì)該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是多少？
【答案】（1）86；87.5；40
（2）解：八年級學(xué)生競賽成績較好，理由：
七、八年級的平均分均為85分，八年級的中位數(shù)高于七年級的中位數(shù)，整體上看八年級學(xué)生競賽成績較好；
（3）解：（人），
答：該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是320人.
【解析】【解答】解：（1）根據(jù)七年級學(xué)生競賽成績可知：86出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為86，
八年級競賽成績中A組：（人），
B組：（人），
C組：6人，所占百分比為，
D組：（人）所占百分比為，則，
八年級的中位數(shù)為第10、11個(gè)同學(xué)競賽成績的平均數(shù)，
即C組第4、5個(gè)同學(xué)競賽成績的平均數(shù)，
故答案為：86，87.5，40；
【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，由樣本估算整體情況等知識，準(zhǔn)確計(jì)算，熟練掌握此類知識是關(guān)鍵。（1）根據(jù)題目所給信息，結(jié)合中位數(shù)，眾數(shù)的定義可得a，b值，計(jì)算出八年級D組百分比，可得m值；（2）根據(jù)平均分，中位數(shù)分析可得結(jié)果；（3）計(jì)算出樣本中知識競賽成績優(yōu)秀的百分比，可得結(jié)果。
21．在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，智慧小組進(jìn)行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點(diǎn)作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論.根據(jù)他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：
（1）如圖，在矩形中，點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn).用尺規(guī)過點(diǎn)O作的垂線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE（不寫作法，保留作圖痕跡）.
（2）已知：矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，E，F(xiàn)經(jīng)過對角線的中點(diǎn)O，且.求證：四邊形是菱形.
證明：四邊形是矩形，
.
，.
點(diǎn)O是的中點(diǎn)，
.
.

又，
四邊形是平行四邊形.
，
四邊形是菱形.
進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：_ .
【答案】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）；；；四邊形是菱形.
【解析】【解答】
解：∵ 四邊形ABCD為平行四邊形
∴ AB∥CD
∴ ，
∵ 點(diǎn)O是的中點(diǎn)，
OA=OC
.
∴OF=OE
，
四邊形是平行四邊形.
，
四邊形是菱形.
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及垂線的尺規(guī)作圖，熟練掌握特殊圖形的 判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。
（1）運(yùn)用垂線的尺規(guī)做題方法即可；
（2）由矩形的性質(zhì)或平行四邊形的性質(zhì)得 ， 及OA=OC可證，得OF=OE.得四邊形AECF為平行四邊形，再由EF⊥AC，可證四邊形AECF為菱形。
22．為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代.
（1）為鼓勵企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策.根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼.這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼.該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？
（2）經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？
【答案】（1）解：設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有條，則乙類生產(chǎn)線各有條，則
，
解得：，
則；
答：該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；
（2）解：設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為m萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，則，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意；
則，
則還需要更新設(shè)備費(fèi)用為（萬元）；
【解析】【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出方程求解即可。
（1）設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有條，則乙類生產(chǎn)線各有條， 利用該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼 ，列出方程求解；
（2）設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為m萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，利用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同來列出分式方程，求解時(shí)注意檢驗(yàn)。
23．如圖1，在中，，，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，，過點(diǎn)P作交AC于點(diǎn)Q點(diǎn)P，Q的距離為，的周長與的周長之比為.
（1）請直接寫出，分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)，的圖象，并分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出時(shí)x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點(diǎn)后一位，誤差不超過0.2）.
【答案】（1）解：∵，
，
，
，，
∴，；
（2）解：如圖所示，即為所求；
由函數(shù)圖象可知，隨x增大而增大，隨x增大而減?。?br>（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)x的取值范圍.
【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)與不等式的綜合，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵。
（1）由PQ∥BC得，則，可得函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合函數(shù)解析式，利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的性質(zhì)即可；
（3）根據(jù)圖像，計(jì)算y1=y2時(shí)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，以交點(diǎn)橫坐標(biāo)為分界，寫出y1＞y2時(shí)x的取值范圍。
24．如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東方向航行一定距離到達(dá)C港.乙貨輪沿A港的北偏東方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東方向航行一定距離到達(dá)C港.
（參考數(shù)據(jù)：，，）
（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠B、D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請通過計(jì)算說明.
【答案】（1）解：如圖，過B作于點(diǎn)E，
，
由題意可知：，，
，
，
，
（海里），
A，C兩港之間的距離海里；
（2）解：由（）得：，，，
，
，
由題意得：，，
，
，（海里），
甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），
，且甲、乙速度相同，
甲貨輪先到達(dá)C港.
【解析】【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，理解方位角，構(gòu)造直角三角形，找出所給線段與角度，所求線段之間的關(guān)系來解直角三角形是本題關(guān)鍵。
（1）過B作于點(diǎn)E，由題意知，得，，可得AC長；
（2）利用三角函數(shù)，求出BE，BC，CD，AD，則甲的行駛路程是AB+BC（海里），乙行駛路程為AD+CD，比較可得結(jié)論。
25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于AB兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），連接AC，BC，.
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是射線CA上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)D.點(diǎn)M是線段DE上一動點(diǎn)，軸，垂足為N，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，連接AM，NF.當(dāng)線段PD長度取得最大值時(shí)，求的最小值；
（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時(shí)的點(diǎn)D，且與直線AC相交于另一點(diǎn)K.點(diǎn)Q為新拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】（1）解：令，則，
，
，
，
，
，
，
將和代入得，
解得，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：令，則，
解得或，
，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)（），則，
，
，
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
，，，
，，
連接，
四邊形是平行四邊形，
，
，
當(dāng)E、N、F共線時(shí)，取最小值，即取最小值，
點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，
，
，
的最小值為；
（3）解：符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或.
【解析】【解答】解：（3）由（2）得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，代入，得，
，
新拋物線由向左平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到，
，
過點(diǎn)D作交拋物線于點(diǎn)，
，
同理求得直線的解析式為，
，
直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，
，
作關(guān)于直線的對稱線得交拋物線于點(diǎn)，
，
設(shè)交x軸于點(diǎn)G，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，
過點(diǎn)D作軸，作軸于點(diǎn)H，作于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
，，
，
，
軸，
，
，
，，
，
，，
，
同理直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
，
綜上，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或.
【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，線段最值與函數(shù)，平行四邊形判定與性質(zhì)，最短線段及直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)，幾何圖形的判定證明與應(yīng)用是解題關(guān)鍵。
（1）利用函數(shù)得出C坐標(biāo)，結(jié)合 得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線，求出a，b，可得拋物線表達(dá)式；
（2）令y=0，得A點(diǎn)坐標(biāo)，得AC直線解析式，設(shè)（），則，求出PD最大，得點(diǎn)P（-2，6），證四邊形AMNE為平行四邊形，得AM=EN，可知E、N、F三點(diǎn)共線，取最小值，即取最小值，求解即可；
（3）求出點(diǎn)D（-2，2），求出平移后解析式，當(dāng)DQ1∥BC，得Q1坐標(biāo)，當(dāng)DQ1與DQ2關(guān)于AC對稱時(shí)，得Q2坐標(biāo)
26．在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與端點(diǎn)重合）.點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AD，DE.在直線AD上取一點(diǎn)F，使，直線與直線AC交于點(diǎn)G.
（1）如圖1，若，，，求的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，若，，用等式表示線段CG與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若，點(diǎn)D從點(diǎn)B移動到點(diǎn)C的過程中，連接AE，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)的值.
【答案】（1）解：如圖，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
在上截取，連接，，，交于點(diǎn)H，
，，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，
，，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，
則由軸對稱可知：，，
中，，
，
，
；
（3）解：或
【解析】【解答】解：（3）連接，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，
，，
，
由軸對稱知，，，，
當(dāng)點(diǎn)G在邊上時(shí)，由于，
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只能是，
同（1）方法得，，
，
，
，，
，
中，，解得，
，而，
為等邊三角形，
，
設(shè)，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
；
當(dāng)點(diǎn)G在延長線上時(shí)，只能是，如圖：
設(shè)，
，，
，
，
，
在中，，
解得，
，
設(shè)，則，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
，
，
，
綜上所述：或.
【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，外角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的分類討論等知識，綜合運(yùn)用各知識點(diǎn)，結(jié)合性質(zhì)判定正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵之處。
（1）結(jié)合三角形內(nèi)角和，外角和及，可得；
（2）在上截取，連接BM，BE，AE，BM交AD于點(diǎn)H，證為等邊三角形，再證四邊形EBMG是平行四邊形，得，
記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，由軸對稱可知，，得，，
由得；
（3）連接，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，由軸對稱得，，，，
分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G在邊上時(shí)，，則為等腰三角形時(shí)，只有，同（1）知，，得，得，設(shè)，得AG=2x，，得；②當(dāng)點(diǎn)G在延長線上時(shí)，只能是，設(shè)，得，得，設(shè)，則，，得，綜上所述：或.年級
七年級
八年級
平均數(shù)
85
85
中位數(shù)
86
眾數(shù)
a
79

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