2024-2025 學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修三專題7.1 隨機事件的條件概率（3類必考點）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題7.1 隨機事件的條件概率 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc19309" 【考點1：條件概率】 PAGEREF _Toc19309 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21031" 【考點2：乘法公式與事件的獨立性】 PAGEREF _Toc21031 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc3732" 【考點3：全概率公式】 PAGEREF _Toc3732 \h 12 【考點1：條件概率】【知識點：條件概率】 [方法技巧] 解決條件概率問題的步驟第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率．若為條件概率，則進行第二步．第二步，計算概率，這里有兩種思路： [提醒]　要注意P(B|A)與P(A|B)的不同：前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率． 1．（2024高二下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知，，則（????） A．0.75 B．0.5 C．0.45 D．0.25 【答案】A 【分析】根據(jù)條件概率公式，結(jié)合已知，即可得出答案. 【詳解】根據(jù)條件概率公式可得， . 故選：A. 2．（2024·全國·模擬預(yù)測）某高三班級有校級優(yōu)秀畢業(yè)生8人，其中男生6人、女生2人，從這8人中隨機選取2人作為班級代表發(fā)言．若選取的第一位是女生，則第二位是男生的概率為（????） A． B． C． D．【答案】D 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的計算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解. 【詳解】記事件為“選取的2人中第一位是女生”，事件為“選取的2人中，1男1女”，則，所以. 故選：D. 3．（2024·四川·模擬預(yù)測）在杭州亞運會射擊項目多向飛碟比賽中，已知某選手第一發(fā)命中的概率為，第一發(fā)和第二發(fā)均命中的概率為．則在他第一發(fā)命中的前提下，第二發(fā)未命中的概率為（????） A． B． C． D．【答案】C 【分析】利用條件概率求解. 【詳解】解：設(shè)該選手“第一發(fā)命中”為事件，“第二發(fā)命中”為事件，則，所以．故選：C． 4．（2024·全國·模擬預(yù)測）某農(nóng)戶購買了甲、乙兩種香菇菌種，并在溫度為和的條件下進行培育．已知選到的香菇全部來自甲菌種的概率為，選到的香菇全部來自甲菌種且在溫度為的條件下培育出來的概率為．從培育的香菇中隨機抽取一部分進行營養(yǎng)價值檢測，若被選到的香菇全部來自甲菌種，則其是在溫度為的條件下培育出來的概率為（????） A． B． C． D．【答案】B 【分析】根據(jù)題干中已知的概率，結(jié)合條件概率公式即可求解. 【詳解】設(shè)事件表示“選到的香菇全部來自甲菌種”，事件表示“選到的香菇是在溫度為的條件下培育出來的”，則，故所求概率為．故選：B． 5．（2024·全國·模擬預(yù)測）同時投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“甲骰子正面向上的點數(shù)為奇數(shù)”為事件，“乙骰子正面向上的點數(shù)為偶數(shù)”為事件，“甲、乙兩骰子至少出現(xiàn)一個正面向上的點數(shù)為偶數(shù)”為事件，則下列判斷錯誤的是（????） A．互為獨立事件 B．為互斥事件 C． D．【答案】B 【分析】計算，看，是否相等，即可判定A選項：觀察事件A，B是否可以同時發(fā)生，可判定B選項；用條件概率的公式可計算其概率，即可判定C選項；用對立事件可算出事件C的概率，則D選項可判定. 【詳解】，，，從而互為獨立事件，A正確；可以同時發(fā)生，B錯誤；，C正確；，D正確. 故選:B. 6．（多選）（23-24高二下·福建莆田·階段練習(xí)）已知，，若隨機事件A，B相互獨立，則（????） A． B． C． D．【答案】BC 【分析】根據(jù)條件概率公式和獨立事件乘法公式即可判斷ABC，再根據(jù)即可判斷D. 【詳解】對B，，所以，B正確；對A，，所以，A錯誤；對C，，所以，C正確；對D，，D錯誤. 故選：BC. 7．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）已知，，，則，．【答案】 / / 【分析】根據(jù)條件概率的公式，結(jié)合已知即可求出；由，結(jié)合已知推得，進而即可根據(jù)概率的性質(zhì)，得出. 【詳解】根據(jù)條件概率的公式可得，，所以，. 又，所以. 又，所以，. 故答案為：；. 8．（2024·云南昆明·一模）如圖，一個質(zhì)點從原點O出發(fā)，每隔一秒隨機、等可能地向左或向右移動一個單位，共移動六次．質(zhì)點位于4的位置的概率為；在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次3的位置的概率為．【答案】 /0.09375 /0.125 【分析】計算質(zhì)點移動6次可能的結(jié)果，質(zhì)點位于4的位置的可能結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率公式即可求解；根據(jù)條件概率的概率公式計算. 【詳解】由題意可得：質(zhì)點移動6次可能的結(jié)果有種，質(zhì)點位于4的位置則指點向右移動5次向左移動1次，從質(zhì)點移動6次中選1次向左移動，其它5次向右移動共有種，所以質(zhì)點位于4的位置的概率為；在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次3的位置，可知從1開始的5步中，第1、2步必須向右，第3步向左或向右均可，若第3步向左則第4步向右，若第3步向右則第4步向左，第5步向左向右均可，則走法有種，總的質(zhì)點移動5次可能的結(jié)果有種，則在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次3的位置的概率為. 故答案為：；. 【考點2：乘法公式與事件的獨立性】【知識點：乘法公式與事件的獨立性】相互獨立事件概率的求法與相互獨立事件A，B有關(guān)的概率的計算公式如下表： [方法技巧] 求相互獨立事件概率的步驟第一步，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件，并把題中涉及的事件分為若干個彼此互斥的事件的和；第二步，求出這些彼此互斥的事件的概率；第三步，根據(jù)互斥事件的概率計算公式求出結(jié)果．此外，也可以從對立事件入手計算概率． 1．（2024·云南貴州·二模）甲、乙兩人進行網(wǎng)球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨立. 設(shè)乙在第一局獲勝的概率為、第二局獲勝的概率為，第三局獲勝的概率為，則甲恰好連勝兩局的概率為（????） A． B． C． D．【答案】B 【分析】根據(jù)獨立事件的概率乘法公式即可分類求解. 【詳解】設(shè)甲第局勝，，2，3，且，則甲恰好連勝兩局的概率，故選：B． 2．（2024·全國·模擬預(yù)測）同時投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“甲骰子正面向上的點數(shù)為奇數(shù)”為事件，“乙骰子正面向上的點數(shù)為偶數(shù)”為事件，“甲、乙兩骰子至少出現(xiàn)一個正面向上的點數(shù)為偶數(shù)”為事件，則下列判斷錯誤的是（????） A．互為獨立事件 B．為互斥事件 C． D．【答案】B 【分析】計算，看，是否相等，即可判定A選項：觀察事件A，B是否可以同時發(fā)生，可判定B選項；用條件概率的公式可計算其概率，即可判定C選項；用對立事件可算出事件C的概率，則D選項可判定. 【詳解】，，，從而互為獨立事件，A正確；可以同時發(fā)生，B錯誤；，C正確；，D正確. 故選:B. 3．（多選）（2024高三下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則下列說法正確的有（????） A．與不互斥 B．與相互獨立 C．與互斥 D．與相互獨立【答案】ABD 【分析】利用互斥事件與獨立事件的定義與概率公式，對選項一一驗證即可. 【詳解】對于AB，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次出現(xiàn)2點，第二次的點數(shù)小于5點可以同時發(fā)生，與不互斥，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即與相互獨立，故AB正確；對于C，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，若第一次的點數(shù)為2，第二次的點數(shù)3點，則兩次點數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故C錯誤；對于D，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，其總的基本事件為件，事件 “第一次出現(xiàn)2點”的基本事件有，故，事件“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)” 的基本事件有，故，事件“第一次出現(xiàn)2點，且兩次點數(shù)之和為奇數(shù)” 的基本事件有，故，所以，則與相互獨立，故D正確. 故選：ABD. 4．（多選）（2024·山東煙臺·一模）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點數(shù)分別為，設(shè)事件“為整數(shù)”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（????） A． B． C．事件與事件相互獨立 D．【答案】BCD 【分析】列舉所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互獨立事件的定義及條件概率的概率公式計算可得. 【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為，，則基本事件總數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36種情況，滿足事件的有，，，，，，，，，，，共種，其概率，故A錯誤；滿足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，故；滿足事件的有，，共個，所以，故B正確；滿足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，故，滿足事件的有，，，，，，，，，共個，所以，所以事件與事件相互獨立，故C正確；滿足事件的有，，，，，，，共種，所以，則，故D正確. 故選：BCD 5．（多選）（2024高二下·福建莆田·階段練習(xí)）已知，，若隨機事件A，B相互獨立，則（????） A． B． C． D．【答案】BC 【分析】根據(jù)條件概率公式和獨立事件乘法公式即可判斷ABC，再根據(jù)即可判斷D. 【詳解】對B，，所以，B正確；對A，，所以，A錯誤；對C，，所以，C正確；對D，，D錯誤. 故選：BC. 6．（多選）（2024·河北·模擬預(yù)測）質(zhì)地均勻的正四面體模型四個表面分別標(biāo)有四個數(shù)字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是7的倍數(shù)”為事件，則下列選項不正確的是（????） A．事件、、兩兩互斥 B．事件與事件對立 C． D．事件、、兩兩獨立【答案】ABC 【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的概念判斷即可. 【詳解】依題意拋擲一次可能出現(xiàn)的結(jié)果有、、、，事件包含的基本事件有、，則；事件包含的基本事件有、，則；事件包含的基本事件有、，則；顯然事件與事件，事件與事件，事件與事件均可以同時發(fā)生，故事件與事件，事件與事件，事件與事件均不互斥，故A錯誤；事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，當(dāng)出現(xiàn)時事件與事件均發(fā)生，故事件與事件不互斥，顯然不對立，故B錯誤；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C錯誤；因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨立；因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨立；因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨立；即事件、、兩兩獨立，故D正確. 故選：ABC 7．（多選）（2024高二下·江西·開學(xué)考試）某中藥材盒中共有包裝相同的10袋藥材，其中甲級藥材有4袋，乙級藥材有6袋，從中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲級藥材”，用B表示事件“第二次取到乙級藥材”，則（????） A． B． C． D．事件A，B相互獨立【答案】ABC 【分析】對于A，由古典概型概率計算公式驗算即可；對于B，由條件概率公式即可驗算；對于C，由全概率公式即可驗算；對于D，由獨立乘法公式即可驗算. 【詳解】對A，，故A正確；對B，，故B正確；對C，，故C正確；對D，因為，，所以事件A，B不相互獨立，故D錯誤．故選：ABC． 8．（2024高一下·全國·期末）某高校的入學(xué)面試中有4道題目，第1題2分，第2題3分，第3題4分，第4題4分，每道題目答對得滿分，答錯得0分，小明答對第1，2，3，4題的概率分別為，，，，且每道題目是否答對相互獨立. (1)求小明4道題目至少答錯1道題的概率； (2)若該高校規(guī)定學(xué)生的面試分?jǐn)?shù)不低于8分則面試成功，求小明面試成功的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）小明4道題目至少答錯1道題的對立事件為小明4道題全部答對，根據(jù)對立事件概率和為1計算即可；（2）分答對2題，應(yīng)是第3題和第4題，答對三題或全部答對則面試成功，依次計算概率后，再相加即可. 【詳解】（1）小明同學(xué)4道題目至少答錯1道題的對立事件為小明4道題全部答對，所以小明同學(xué)4道題目至少答錯1道題的概率為. （2）由題意得，要使得面試分?jǐn)?shù)不低于8分，若只答對2題，則應(yīng)是第3題和第4題；若只答對三題或全部答對，面試得分均不低于8分. 設(shè)事件A，B，C，D分別為小明答對第1，2，3，4題，則小明面試成功的概率 . 【考點3：全概率公式】【知識點：全概率公式】若樣本空間中的事件滿足：（1）任意兩個事件均互斥，即，．（2）．（3）．則對任意事件，都有，則稱該公式為全概率公式．上述公式可借助圖形來理解： 1．（2024高二下·湖南衡陽·階段練習(xí)）甲與10名同學(xué)參加了一場一對一乒乓球友誼賽，這10名同學(xué)中有6名同學(xué)球技一般，有4名同學(xué)球技高超.甲打贏球技一般的同學(xué)的概率為0.9，打贏球技高超的同學(xué)的概率為0.1.甲從這10名同學(xué)中隨機選取一名作為對手，則他打贏這場比賽的概率為（????） A．0.54 B．0.58 C．0.60 D．0.64 【答案】B 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全概率公式，即可求解. 【詳解】根據(jù)題意，用分別表示甲隨機選取的選手時球技一般的同學(xué)，球技高超的同學(xué)，用表示甲打贏這場比賽，可得，所以由全概率公式，可得. 故選：B. 2．（2024高二下·山東青島·階段練習(xí)）盒中有除顏色外完全相同的2個紅球和3個黑球，隨機地從中取出1個，觀察其顏色后放回，并加上同色球2個，再從盒中取出1個球，則取出的是黑球的概率為（????） A． B． C． D．【答案】A 【分析】根據(jù)題意運用全概率公式進行求解即可. 【詳解】設(shè)事件A表示第一次抽取的是黑球，則，，事件表示第二次抽取的是黑球，可知，所以故選：A. 3．（2024·陜西寶雞·二模）某位同學(xué)家中常備三種感冒藥，分別為金花清感顆粒3盒、蓮花清瘟膠囊2盒、清開靈顆粒5盒．若這三類藥物能治愈感冒的概率分別為，他感冒時，隨機從這幾盒藥物里選擇一盒服用（用藥請遵醫(yī)囑），則感冒被治愈的概率為（????） A． B． C． D．【答案】C 【分析】根據(jù)全概率公式計算可得；【詳解】記服用金花清感顆粒為事件，服用蓮花清瘟膠囊為事件，服用清開靈顆粒為事件，感冒被治愈為事件，依題意可得，，，，，，所以 . 故選：C 4．（2024·全國·二模）某單位選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊.選哪支隊是隨機的，其中選“初心”隊獲勝的概率為0.8，選“使命”隊獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊參加比賽的概率為（????） A． B． C． D．【答案】D 【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率公式、全概率公式列式計算得解. 【詳解】依題意，記選“初心”隊為事件，選“使命”隊為事件，該單位獲勝為事件，則, 因此，所以選“使命”隊參加比賽的概率. 故選：D 5．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（????） A． B． C． D．【答案】C 【分析】利用條件概率，結(jié)合全概率公式與貝葉斯公式即可得解. 【詳解】依題意，設(shè)用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件B，被檢測者患病為事件A，未患病為事件，則，，，，故，則所求概率為. 故選：C. 6．（2024·湖南常德·三模）設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品，甲箱中產(chǎn)品的合格率為90%，乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一件，經(jīng)檢驗不合格，放回原箱后在該箱中再隨機取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為（????） A． B． C． D．【答案】A 【分析】設(shè)事件表示任選一件產(chǎn)品，來自于甲箱，事件表示任選一件產(chǎn)品，來自于乙箱，事件從兩箱產(chǎn)品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，進而可得，，進而可得放回原箱后再取該件產(chǎn)品合格的概率. 【詳解】設(shè)事件表示任選一件產(chǎn)品，來自于甲箱，事件表示任選一件產(chǎn)品，來自于乙箱，事件從兩箱產(chǎn)品中任取一件，恰好不合格，又，經(jīng)檢驗不合格，放回原箱后在該箱中再隨機取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為 . 故選：A. 7．（2024高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）有臺車床加工同一型號的零件，第臺車床加工的次品率為，第臺車床加工的次品率為，第臺車床加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起，已知第臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，現(xiàn)從中任意選取個零件，則取到的零件是次品的概率為 . 【答案】【分析】利用條件概率公式和全概率公式計算即可. 【詳解】記事件為“零件由第臺車床加工”，記事件為“零件為次品”，則由題意可知，，，，，，所以取到的零件是次品的概率，故答案為： 8．（2024高二下·山東青島·階段練習(xí)）已知隨機事件A，B，滿足，則．【答案】/0.1 【分析】由利用條件概率公式可得，由，利用概率的乘法公式求得，借助于全概率公式求得. 【詳解】因??即則得， ∵，又因,且與互斥，故,則．故答案為：. 定義設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)思路一縮減樣本空間法計算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個數(shù)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(n?AB?,n?B?)計算思路二直接利用公式計算條件概率，即先分別計算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)計算定義設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立性質(zhì)①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)； ②如果事件A與B相互獨立，那么A與eq \o(B,\s\up6(－))，eq \o(A,\s\up6(－))與B，eq \o(A,\s\up6(－))與eq \o(B,\s\up6(－))也都相互獨立事件A，B相互獨立概率計算公式A，B同時發(fā)生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同時不發(fā)生P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－))) ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一個不發(fā)生P＝1－P(AB) ＝1－P(A)P(B)A，B至少有一個發(fā)生P＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－))) ＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－))) ＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一個發(fā)生P＝P(Aeq \o(B,\s\up6(－))＋eq \o(A,\s\up6(－))B) ＝P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B) ＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)