一、選擇題
1．已知，，三點共線，則m的值為( )
A.B.5C.D.3
二、選擇題
2．數(shù)據(jù)，，…，的方差，則下列數(shù)字特征一定為0的是( )
A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.極差
三、選擇題
3．已知中，，，，則( )
A.B.C.D.
四、選擇題
4．已知圓錐的底面半徑為2，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的側面積為( )
A.B.C.D.
五、選擇題
5．如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是( )
A.B.C.D.
六、選擇題
6．已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列說法正確的是( )
A.若m上有兩點到平面距離相等，則
B.若，，，則m與n是異面直線
C.若，，，則m與n沒有公共點
D.若，，則m與一定相交
七、選擇題
7．崇麗閣之名取自晉代左思《蜀都賦》中的名句“既麗且崇，實號成都”.如圖，在測量府河西岸的崇麗閣高時，測量者選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，并測得，，米，在點C處測得塔頂A的仰角為，則塔高( )
A.米B.米C.米D.米
八、選擇題
8．如圖，四棱錐的底面為矩形，且平面，若，則下列結論錯誤的是( )
A.直線與平面所成角的正弦值為
B.平面平面
C.
D.二面角的余弦值為
九、多項選擇題
9．已知復數(shù)，，，則( )
A.若，，的虛部依次為a，b，c，則
B.若，，的實部依次為m，n，p，則
C.
D.
一十、多項選擇題
10．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的值可能為( )
A.B.C.D.
一十一、多項選擇題
11．如圖，點P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，F(xiàn)是線段的中點，則( )
A.存在點P使得
B.若點P滿足，則動點P的軌跡長度為
C.若點P滿足平面時，動點P的軌跡是正六邊形
D.當點P在側面上運動，且滿足時，二面角的最大值為60°
一十二、填空題
12．已知點，點，O為原點，則的最小值為_________.
一十三、填空題
13．如圖，圓錐的底面圓半徑為1，側面積為，一只螞蟻要從B點沿圓錐側面爬到上的D點，且，則此螞蟻爬行的最短路徑長為_______.
一十四、填空題
14．設，為平面內(nèi)的任意兩個向量，定義一種向量運算“”：對于同一平面內(nèi)的向量，，，，給出下列結論：
①；②；
③；④若是單位向量，則.
以上所有正確結論的序號是_________.
一十五、解答題
15．已知平面向量，.
（1）求的值；
（2）若向量與夾角為，求實數(shù)的值.
一十六、解答題
16．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求角C；
（2）若，，D為的中點，求的長；
（3）若，求的取值范圍.
一十七、解答題
17．已知某工廠一區(qū)生產(chǎn)車間與二區(qū)生產(chǎn)車間均生產(chǎn)某種型號的零件，這兩個生產(chǎn)車間生產(chǎn)的該種型號的零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示（每組區(qū)間均為左開右閉）.
尺寸大于M的零件用于大型機器中，尺寸小于或等于M的零件用于小型機器中.
（1）若，試分別估計該工廠一區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的500個該種型號的零件和二區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數(shù).
（2）若，現(xiàn)有足夠多的來自一區(qū)生產(chǎn)車間與二區(qū)生產(chǎn)車間的零件，分別用于大型機器?小型機器各5000臺的生產(chǎn)，每臺機器僅使用一個該種型號的零件.
方案一：直接將一區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的零件用于大型機器中，其中用了尺寸小于或等于M的零件的大型機器每臺會使得工廠損失200元；直接將二區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的零件用于小型機器中，其中用了尺寸大于M的零件的小型機器每臺會使得工廠損失100元.
方案二：重新測量一區(qū)生產(chǎn)車間與二區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的零件尺寸，并正確匹配型號，重新測量的總費用為35萬元.
請寫出采用方案一，工廠損失費用的估計值（單位：萬元）的表達式，并從工廠損失的角度考慮，選擇合理的方案.
一十八、解答題
18．如圖、某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西方向且與該港口相距的A處，并以的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設該小艇沿直線方向以的航行速度勻速行駛，經(jīng)過與輪船相遇.（假設水面平靜）
（1）要使相遇時小艇的航行距離最短，小艇的航行速度應為多少？
（2）假設小艇的速度最快只能達到，要使小艇最快與輪船相遇，應向哪個方向航行？
一十九、解答題
19．如圖，在正方體中，M，N，P分別是棱，，的中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案
1．答案：D
解析：，，
，，三點共線，故，
即，解得.
故選：D.
2．答案：D
解析：，
所以方差，
所以數(shù)據(jù)，
所以極差一定為0.
故選：D.
3．答案：B
解析：在中，，，，由余弦定理得：
，
由正弦定理得.
故選：B.
4．答案：A
解析：因為底面半徑，所以底面周長，
又圓錐母線長，所以圓錐側面積.
故選：A.
5．答案：A
解析：直觀圖正方形的邊長為，，
原圖形為平行四邊形，如圖：
其中，高，
，
原圖形的周長.
故選：A.
6．答案：C
解析：對于A，m上有兩點到平面距離相等，平面可以過這兩點的中點，此時m與相交，A錯誤；
對于BC，，則，沒有公共點，由，，得m與n沒有公共點，
m與n是平行直線或者是異面直線，C正確，B錯誤；
對于D，，，則或m與n是相交直線，當時，，D錯誤.
故選：C.
7．答案：A
解析：如圖
在中，，，，
則，
由正弦定理得，
所以.
在中，，
所以米.
故選：A.
8．答案：C
解析：不妨設，
對于A：連接，因為平面，所以為直線與平面所成的角，
因為平面，所以，
又，，則，
所以，即直線與平面所成角的正弦值為，故A正確；
對于B：因為平面，平面，所以平面平面，故B正確；
對于C：因為平面，平面，所以，
若，又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
則矩形為正方形，所以，與矛盾，故與不垂直，故C錯誤；
對于D：過點C作交于點E，連接，因為，，平面，
所以平面，又平面，所以，
則為二面角的平面角，又，即，
解得，所以，
所以，即二面角的余弦值為，故D正確.
故選：C.
9．答案：BCD
解析：，，，
則，，的虛部分別為，，1，因為，故A不正確；
因為，，的實部分別為1，3，9，，故B正確；
因為，所以，故C正確；
，故D正確，
故選：BCD.
10．答案：BD
解析：因為，
由正弦定理得，即.
又因為是銳角三角形，即，可知.
由，解得，
則
，
且，可知，則，
所以的取值范圍為.
結合選項可知：AC錯誤，BD正確；
故選：BD.
11．答案：AC
解析：對A：如圖：
當P點位于邊上時，因為平面，所以，故A正確；
對B：如圖：
當時，P點軌跡為矩形，其中M，N分別為，中點，所以動點P軌跡的周長為：，故B錯誤；
對C：如圖：
當平面時，P點軌跡是正六邊形，其中I，J，K，L，M均為棱的中點，故C正確；
對D：如圖：
當點P在側面上運動，且滿足時，P點軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓弧，則即為二面角的平面角，所以當P與的中點重合時，二面角取得最大值，此時，因為，所以.故D錯誤.
故選：AC.
12．答案：2
解析：依題意，，，
因此，當且僅當時取等號，
所以的最小值為2.
故答案為：2.
13．答案：
解析：設，利用扇形的面積公式得，解得，
所以側面展開圖的扇形的半徑為3，弧長為，所以圓心角為，
沿母線裁開，將圓錐的側面展開，如圖所示，
因為，所以，連接，則為最短距離，
由余弦定理得，
所以，即此螞蟻爬行的最短路徑長為.
故答案為：.
14．答案：①④
解析：對于①，當與不共線時，；
當與共線時，，①正確.
對于②，當與共線時，，，
所以與不一定相等，②錯誤.
對于③，當，，共線時，，，
所以與不一定相等，③錯誤.
對于④，當與不共線時，記，則；
當與共線時，，④正確.
故答案為：①④.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因為，，
所以，
故.
（2）因為，且，
所以，
于是有，
即，
則，其中，解得或.
16．答案：（1）
（2）1
（3）
解析：（1）因為，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）因為D為的中點，所以，
則，
所以，
所以，
解得，所以的長為1.
（3）由正弦定理知，
所以，，
所以
，
因為，所以，所以，
則，
所以的取值范圍為.
17．答案：（1）420；200
（2），選擇方案二
解析：（1）一區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的零件尺寸大于60的頻率為，
則該工廠一區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數(shù)為；
二區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的零件尺寸大于60的頻率為，
則該工廠二區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數(shù)為.
（2）一區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的零件尺寸小于或等于M的頻率為
.
二區(qū)生產(chǎn)車間生產(chǎn)的零件尺寸大于M的頻率為
.
故.
因為，所以.
又因為采用方案二重新測量的總費用為35萬元，
所以從工廠損失的角度考慮，應選擇方案二.
18．答案：（1）
（2）航行方向為北偏東
解析：（1）如圖設小艇的速度為v，時間為t相遇，相遇點為C，
則由余弦定理得：，
即,
當時，取得最小值，此時速度，
此時小艇的航行方向為正北方向，航行速度為.
（2）要用時最小，則首先速度最高，即為，
則由（1）可得：，
即，解得，此時相遇點為B，
此時，在中，，則，
故可設計航行方案如下:
航行方向為北偏東，航行速度為，小艇能以最短時間與輪船相遇.
19．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）連接與交于點E，連接，
由題可知四邊形是矩形，所以E是的中點，
因為M是的中點，所以，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）因為在正方體中，平面平面，
所以直線與平面所成角等價于直線與平面所成角，
因為平面，所以為直線與平面所成角，
設正方體的棱長為2，則，，
所以，
，故，
所以直線與平面所成角的正弦值為.

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