一、選擇題
1．已知全集，，則( )
A.B.CD.
2．復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則( )
A.5B.C.3D.
3．已知向量，，且則( )
A.B.C.D.
4．設(shè)，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．已知橢圓的離心率是，則橢圓C的焦距為( )
A.或B.或C.D.
6．函數(shù)的大致圖象為( )
A.B.
C.D.
7．在棱長為2的正方體中，分別取棱，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G為EF上一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)G到平面的距離為( )
A.B.C.1D.
8．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．某高中為了調(diào)查本校學(xué)生一個(gè)月內(nèi)在學(xué)習(xí)用品方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為n且支出在元的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.估計(jì)眾數(shù)為45B.支出在頻率為0.25
C.估計(jì)平均數(shù)為43D.估計(jì)分位數(shù)是
10．已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之差的絕對值為，且是的最小正零點(diǎn)，則( )
A.B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.
11．為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某校積極籌建數(shù)學(xué)興趣小組，小組成員仿照教材中等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，提出“等積數(shù)列”的概念：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之積為同一個(gè)常數(shù)（不為0）.已知數(shù)列是一個(gè)“等積數(shù)列”，，，其前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是( )
A.B.
C.的一個(gè)通項(xiàng)公式為D.
三、填空題
12．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是10，則____________.
13．已知雙曲線，其一條漸近線被圓截得的弦長為，則____________.
14．已知四邊形是邊長為3的菱形，把沿折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P，則三棱錐體積最大時(shí)，其外接球半徑為_______．
四、解答題
15．已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若，，求的周長.
16．如圖，在四棱錐中，底面，四邊形為正方形，M，N分別為，的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
17．某興趣小組為了研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，請一所中學(xué)校醫(yī)務(wù)室人員統(tǒng)計(jì)近期晝夜溫差情況和到該校醫(yī)務(wù)室就診的患感冒學(xué)生人數(shù)，如下是2021年10月、11月中的5組數(shù)據(jù)：
（1）通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合就診人數(shù)y與晝夜溫差x之間的關(guān)系，請用以上5組數(shù)據(jù)求就診人數(shù)關(guān)于晝夜溫差的線性回歸方程（結(jié)果精確到0.01）；
（2）一位住校學(xué)生小明所患感冒為季節(jié)性流感，傳染給同寢室每個(gè)同學(xué)的概率為0.6．若該寢室的另3位同學(xué)均未患感冒，在與小明近距離接觸后有X位同學(xué)被傳染季節(jié)性流感，求的分布列和期望．
參考數(shù)據(jù)：，．
參考公式：，．
18．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線方程為，其頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.
（1）求拋物線的方程；
（2）若點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且直線、的斜率之和為0，試證明：對于任意非零實(shí)數(shù)k，直線l必過定點(diǎn).
19．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：解析：因?yàn)椋裕?br>故選D.
2．答案：B
解析：復(fù)數(shù)，
故選：B.
3．答案：A
解析：向量，，且，
可得，
期.
故選：A.
4．答案：B
解析：由可得或，
由可得，
所以或不能推出，可以推出或，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
5．答案：A
解析：若，則，解得，則，所以焦距是；
若，則，解得，則，所以焦距是.
故選：A
6．答案：B
解析：由題設(shè)定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，排除D；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)x趨向，趨向，排除A、C；故選：B
7．答案：D
解析：如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，因?yàn)樵撜襟w的棱長為2，所以
平面，點(diǎn)G到平面的距離即為點(diǎn)E或F到平面的距離.
為等邊三角形，
，
設(shè)F到平面的距離為d，
，
，解得
.
故選：D.
8．答案：D
解析：由題意得，，
令，
則，
由得，即在上單
調(diào)遞減，
又，則，即，
.
故選：D.
9．答案：BC
解析：因?yàn)樽罡叩木匦螢榈谌齻€(gè)矩形，其所在區(qū)間的中點(diǎn)為45，所以估計(jì)眾數(shù)為45，故A正確；
因?yàn)榍叭齻€(gè)矩形的面積和為，且所有矩形面積之和為1，所以第四個(gè)矩形的面積為，因此支出在的頻率為0.30，且第80百分位數(shù)位于第四組，又，所以估計(jì)第80百分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤，D正確；
易知平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤.
10．答案：ACD
解析：令函數(shù)，得，
則函數(shù)兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之差的絕對值為的周期，即，解得，
又是的零點(diǎn)，則
即，于是，，解得，，
又，則，
，經(jīng)驗(yàn)證是的最小正零點(diǎn)，
因此，
對于A，，A正確；
對于B，，B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，
因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；
對于D，，D正確.
故選：ACD
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：展開式的通項(xiàng)為：，令，
所以
解得
答案：
13．答案：
解析：如圖所示，雙曲線的兩條漸近線關(guān)于x軸對稱，取與圓相交于點(diǎn)A，B，，圓心到直線的距離，
結(jié)合垂徑定理可得，
14．答案：或
解析：取中點(diǎn)G，連接，，如圖，
當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面平面，此時(shí)，
設(shè)，則，
所以，設(shè)，
則，由，可得
，因?yàn)闀r(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在
上遞增，在上遞減，
所以時(shí)三棱錐的體積最大，此時(shí)，，
所以，
設(shè)E，F(xiàn)分別為與的外接圓圓
心，圓的半徑為r，過點(diǎn)E作平面的垂線，
過點(diǎn)F作平面的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)O就是三棱錐的外接球球心，
由正弦定理可知，即，
可求得，故四邊形是正方形，
，
所以外接球半徑
所以三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球半徑.
故答案為：.
15．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）
根據(jù)正弦定理得：.
，，
，則
，
，即
，
（2），
由正弦定理得：
根據(jù)余弦定理得
，
16．答案：（1）證明見解析；
（2）.
解析：（1）取中點(diǎn)為E，連接，
E，N分別為，的中點(diǎn)，
，.
又四邊形為正方形，，
又M為的中點(diǎn)，，，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面.
（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，
，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，則
17．答案：（1）；
（2）分布列見解析；期望為1.8
解析：（1）由表格中數(shù)據(jù)可得，，，
，
就診人數(shù)y關(guān)于晝夜溫差x的線性回歸方程為
(2)X的可能取值為0，1，2，3
，，，，
X的分布列為
期望
18．答案：（1）；
（2）證明見解析.
解析：(1)，且拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，
則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得，
因此，該拋物線的方程為；
(2)設(shè)點(diǎn)、，
將直線l的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去y并整理得，由韋達(dá)定理得，.
直線的斜率為，同理直線的斜率為，
由題意得：，
上式對任意的非零實(shí)數(shù)k都成立，則，解得，
所以，直線l的方程為，該直線過定點(diǎn).
19．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，則的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，該切線交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，所以該切線與坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)成的三角形面積為.
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，令，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上遞增，因此，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以關(guān)于x的不等式在上恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
日期
10月8日
10月18日
10月28日
11月8日
11月18日
晝夜溫差x（℃）
8
11
6
15
5
就診人數(shù)y
13
17
12
19
9
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216

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