一、選擇題
1．已知向量,,若,則( )
A.B.0C.1D.2
二、選擇題
2．已知復數(shù)z滿足,則z在復平面內對應的點位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
三、選擇題
3．已知等比數(shù)列的公比不為1,若,且,,成等差數(shù)列,則( )
A.B.C.D.
四、選擇題
4．在的展開式中,的系數(shù)為( )
A.30B.20C.10D.
五、選擇題
5．在中,的平分線與對邊AB交于點D,若的面積為的2倍,且,,則( )
A.3B.4C.6D.8
六、選擇題
6．在高二選科前,高一某班班主任對該班同學的選科意向進行了調查統(tǒng)計,根據統(tǒng)計數(shù)據發(fā)現(xiàn):選物理的同學占全班同學的80%,同時選物理和化學的同學占全班同學的60%,且該班同學選物理和選化學相互獨立.現(xiàn)從該班級中隨機抽取一名同學,則該同學既不選物理也不選化學的概率為( )
B.0.1
七、選擇題
7．如圖,在直三棱柱中,點D,E分別在棱,上,,點F滿足,若平面,則的值為( )
A.B.C.D.
八、選擇題
8．在平面直角坐標系xOy中,已知雙曲線的左,右焦點分別為,,P為右支上的一點,滿足,以點O為圓心,b為半徑的圓與線段相交于A,B兩點,且,則C的離心率為( )
A.B.C.2D.
九、多項選擇題
9．若正實數(shù)a,b滿足,則( )
A.的最小值為B.的最大值為1
C.的最小值為D.的取值范圍為
一十、多項選擇題
10．已知拋物線的焦點為F,C上一點P到F和到y(tǒng)軸的距離分別為12和10,且點P位于第一象限,以線段PF為直徑的圓記為,則下列說法正確的是( )
A.
B.C的準線方程為
C.圓的標準方程為
D.若過點,且與直線OP(O為坐標原點）平行的直線l與圓相交于A,B兩點,則
一十一、多項選擇題
11．在四面體ABCD中,,都是邊長為6的正三角形,棱AC與平面BCD所成角的余弦值為,球O與該四面體各棱都相切,則( )
A.四面體ABCD為正四面體
B.四面體ABCD的外接球的體積為
C.球O的表面積為
D.球O被四面體ABCD的表面所截得的各截面圓的周長之和為
一十二、填空題
12．若定義在R上的奇函數(shù)滿足:當時,,則________.
一十三、填空題
13．如圖是某質點做簡諧運動的部分圖像,該質點的振幅為2,位移y與時間t滿足函數(shù),點,在該函數(shù)的圖象上,且位置如圖所示,則________.
一十四、填空題
14．若對任意的，不等式恒成立，則a的最大整數(shù)值為________.
一十五、解答題
15．已知函數(shù),.
（1）當時,求曲線在點處的切線方程;
（2）若函數(shù)(為的導函數(shù)),討論的單調性.
一十六、解答題
16．某大型公司進行了新員工的招聘,共有來自全國各地的10000人參加應聘.招聘分為初試與復試.初試為筆試,已知應聘者的初試成績.復試為闖關制:共有三關,前兩關中的每一關最多可闖兩次,只要有一次通過,就進入下一關,否則闖關失敗;第三關必須一次性通過,否則闖關失敗.若初試通過后,復試三關也都通過,則應聘成功.
（1）估計10000名應聘者中初試成績位于區(qū)間內的人數(shù);
（2）若小王已通過初試,在復試時每次通過第一關,第二關及第三關的概率分別為,,,且每次闖關是否通過不受前面闖關情況的影響,求小王應聘成功的概率P.
附:若隨機變量,則,.
一十七、解答題
17．如圖,已知線段,,為圓柱的三條母線,AB為底面圓O的一條直徑,D是母線的中點,且.
（1）求證:平面DOC;
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
一十八、解答題
18．已知橢圓的離心率為,斜率為k且在y軸上的截距為1的動直線l與C交于A,B兩點,當時,直線l過C的右頂點.
（1）求C的方程;
（2）設P為線段AB的中點,過P作直線交x軸于點Q,直線l交x軸于點M,,的面積分別記為,,若,求的取值范圍.
一十九、解答題
19．已知數(shù)列的各項均為正整數(shù),記集合的元素個數(shù)為.
（1）若為1,2,3,6,寫出集合M,并求的值;
（2）若為1,3,a,b,且,求和集合M;
（3）若是遞增數(shù)列,且項數(shù)為k,證明:“”的充要條件是“為等比數(shù)列”.
參考答案
1．答案：B
解析：,,,
由得:,
則,所以,
故選:B.
2．答案：A
解析：易知,所以,
則z在復平面內對應的點為,顯然位于第一象限.
故選:A
3．答案：C
解析：設的公比為q,
則依題意有,
解方程得或(舍去),所以.
故選:C
4．答案：C
解析：根據題意,二項式的展開式的通項,
其中項為,,
其中項為,,
所以的展開式中項的系數(shù)為.
故選:C.
5．答案：A
解析：由,則有,
即有,
又,
則有,
即,即有,即.
故選:A.
6．答案：D
解析：設事件“選物理”,“選化學”,
則有,,
由該班同學選物理和選化學相互獨立,
即,則,
故,,
則.
故選:D.
7．答案：C
解析：在上取一點G使得,連接CG,AG,
AG與BD交于一點F,即為所求(如圖所示).
證明如下:
根據已知,,
在直三棱柱中,,且,
四邊形為平行四邊形,,
平面ACG,平面ACG,平面ACG
即平面ACF.
又,
,即的值為.
故選:C.
8．答案：D
解析：因為,所以,所以是直角三角形,
過點O作于點C,又,
在中,由勾股定理得
易得,,所以OC是的中位線,所以
由雙曲線第一定義可知:,所以,
在中,由勾股定理得,,即,又因為雙曲線中,所以,
所以.
故選:D.
9．答案：BC
解析：正實數(shù)a,b滿足,,
對于A,,當且僅當時取等號,A錯誤;
對于B,,當且僅當時取等號,B正確;
對于C,,當且僅當時取等號,C正確;
對于D,,D錯誤.
故選:BC
10．答案：ACD
解析：選項A:因C上一點P到F和到y(tǒng)軸的距離分別為12和10,
由拋物線定義可知,,故A正確;
選項B:準線方程為,故B錯誤;
選項C:設,,由P到y(tǒng)軸的距離分別為10,所以,
則,即,又,所以圓心,
半徑,
所以圓的標準方程為,故C正確;
選項D:因為直線OP(O為坐標原點）平行的直線l,所以,
所以直線l的方程為,
又圓心到直線l的距離為,
所以,故D正確;
故選:ACD.
11．答案：ABD
解析：對A:取BD中點E,連接AE,CE,由,都是邊長為6的正三角形,
則,,且,
又AE,平面AEC,,
則平面AEC,又平面AEC,故,
故為棱AC與平面BCD所成角,
則,故四面體ABCD所有棱長相等,
故四面體ABCD為正四面體,故A正確;
對B:作于點,由四面體ABCD為正四面體,
故為底面中心,且四面體ABCD的外接球與球O共球心,
有,,
設四面體ABCD的外接球的半徑為R,
則有,即,
即,則,故B正確;
對C:作于點G,由正四面體對稱性可得OG即為球O半徑,
由,則,又,
設球O的半徑為r,則,
則,故C錯誤;
對D:由正四面體對稱性可得,
球O被四面體ABCD的表面所截得的各截面圓周長相等,
O到各面距離為,
又,則球O被四面體ABCD的表面所截得的各截面圓的半徑為:
,則其周長之和為,故D正確.
故選:ABD.
12．答案：
解析：在R上的奇函數(shù),當時,,
所以.
故答案為:
13．答案：
解析：由圖象可知:,（）,所以,
由,又,所以.
又,.
所以.
故答案為:
14．答案：2
解析：原不等式等價于在時恒成立，令，則上式化為，
構造函數(shù)，則，令，
所以在上單調遞增，而在,，故使得，故在上單調遞減，在上單調遞增，即，
所以，又，故a的最大整數(shù)值為2.
故答案為：2
15．答案：（1）;
（2）答案見解析.
解析：（1）當時,,求導得,
則,
所以曲線在點處的切線方程為,即.
（2）函數(shù),求導得,
則,其定義域為,求導得,
①若,則,函數(shù)在上單調遞減;
②若,則當時,,函數(shù)在上單調遞增,
當時,,函數(shù)在上單調遞減,
所以當時,在上單調遞減;
當時,在上單調遞增,在上單調遞減.
16．答案：（1）1359
（2）
解析：（1）因為,,
所以.
因為,所以,
則可估計10000名應聘者中,初試成績位于內的人數(shù)約為.
（2）設復試時小王通過第一關的概率為,通過第二關的概率為,通過第三關的概率為.
由題意可得,,,
因每次闖關是否通過不受前面闖關情況的影響,即復試通過第一關,通過第二關,通過第三關相互獨立,
故小王應聘成功的概率.
17．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）連接.
因為AB為底面圓O的直徑,
所以O為AB的中點,.
又因為,所以.
由圓柱的性質知平面ABC,而平面ABC,
所以,又,且平面,
所以平面,
因為平面,所以.
因為,D為母線的中點,
所以,
,
,
,
所以,則.
又平面DOC,且,
所以平面DOC.
（2）連接,易知平面ABC,,
以O為坐標原點,OB,OC,所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz,
則,,,,
所以,,.
設平面的法向量為,則,令,得.
設平面的法向量為,則,令,得.
設平面與平面的夾角為,則,
故平面與平面的夾角的余弦值為.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）設C的半焦距為,當時,
直線l的方程為,令,得,所以.
又C的離心率為,所以,所以.
因為,所以,
故C的方程為.
（2）如圖,
由題可知直線l的方程為,
設,,
聯(lián)立,消去y并整理,得,
則,
,,
所以,
則線段AB的中點P的坐標為.
對于直線,令,可得,
所以,
,
所以.
令,則,,
而,所以在上單調遞增,所以,
故的取值范圍為.
19．答案：（1）,
（2）為1,3,9,27,
（3）證明見解析
解析：（1）因為,,,,,,
所以集合,;
（2）因為為1,3,a,b,且,所以,,互不相等,
所以3,a,b都是集合M中的元素,
因為,所以,解得,
所以為,所以;
（3）充分性:若是遞增的等比數(shù)列,設的公比為,
當時,,
所以,且,故充分性成立;
必要性:若是遞增數(shù)列,且,則,
所以,,,…,,且互不相等,又因為,
所以,,,…,,,且,,,…,,互不相等,
所以,,…,,所以,,…,,
所以,所以為等比數(shù)列,故必要性成立,
綜上,“”的充要條件是“為等比數(shù)列”.

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