1．（3分）定義新運算@，有a@b＝2ab+3b，那么5@6的計算結(jié)果是（ ）
A．80B．78C．60D．70
2．（3分）一個長方體三個面的面積分別為6、12、18，這個長方體的體積是（ ）
A．36B．42C．54D．72
3．（3分）某次知識競賽共5道題，全班52人，答對一題得1分．已知全班共得181分．已知每人至少得1分，且得1分的有7人，得2分和得3分的人一樣多，得5分的人有6人，則得4分的有（ ）人．
A．25B．30C．31D．35
4．（3分）一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是270米，慢車的車長是360米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是12秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是（ ）秒。
A．9B．10C．11D．12
5．（3分）某次小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的滿分為100分，小明和小光在競賽中取得了優(yōu)異成績，成績都不低于95分。當(dāng)小記者采訪他們時，小明說：“我的名次、年齡和分?jǐn)?shù)的乘積等于1261”，小光說：“我的名次、年齡和分?jǐn)?shù)的乘積等于3135”。那么小明和小光兩人的平均分是（ ）分。
A．94B．98C．97D．96
6．（3分）如圖所示，兩個正方形重疊擺放后，這兩個陰影部分的周長和是80厘米，它們的面積相差80平方厘米，那么這兩個正方形面積和是（ ）平方厘米。
A．160B．208C．200D．216
7．（3分）在如圖的乘法算式中，兩個乘數(shù)的和是（ ）
A．244B．246C．254D．256
二、填空題（每小題3分，共15分）
8．（3分）如圖，一只螞蟻想從圓柱形水桶外側(cè)的A點爬到內(nèi)側(cè)的B點尋找食物。已知A點到桶口的距離AC＝20厘米，B點到桶口的距離BD＝16厘米，圓弧CD長15厘米。螞蟻爬行的最短路程是 厘米。
9．（3分）如圖中小三角形的邊長都相等，那么小螞蟻從A點沿三角形的邊爬到B點的最短路線有 條。
10．（3分）有一類四位數(shù)，除以5余2，除以7余5，除以11余10。這類四位數(shù)中最小的一個是 。
11．（3分）魔法學(xué)院有初級、中級和高級三個班，三個班的人數(shù)依次增多相同的數(shù)量。若全體學(xué)員人數(shù)不超過300人，其中30%的女學(xué)員與25%的男學(xué)員在初級班，45%的女學(xué)員與20%的男學(xué)員在中級班，那么男學(xué)員有 人。
12．（3分）如圖，正方形ABCD的面積是60，E是CD中點，連接BD、AE交于點N。M是AN中點，連接BM并延長交AD于點F，則陰影部分的面積是 。
三、解答題
13．（9分）計算：
14．（6分）加工一批零件，原計劃每天加工140個，正好按期完成任務(wù)。由于改進了生產(chǎn)技術(shù)，實際每天加工160個，這樣，不僅提前3天完成加工任務(wù)，而且還多加工了40個。那么他們實際加工零件多少個？
15．（7分）如圖，AE＝DE，BC＝3BD，三角形ABC的面積是30平方分米，求陰影部分的面積。
16．（8分）對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b＝[a，b]﹣（a，b）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14＝70﹣2＝68。
（1）求12☆21的值；
（2）已知6☆x＝27，求x的值。
17．（8分）甲、乙兩人騎車分別從橋頭和橋尾同時出發(fā)相向而行。與此同時，一列火車車頭正好到達橋頭，準(zhǔn)備上橋，60秒后，火車車尾恰好超過甲，且火車車頭恰好與乙相遇；又過了60秒，火車車尾恰好離開橋尾，此時甲、乙恰好相遇。
（1）橋長是車長的幾倍？
（2）從火車車尾上橋到火車車頭到達橋尾共用多少時間？
18．（8分）某日停電，房間里同時點燃了兩支同樣長的蠟燭，這兩支蠟燭的質(zhì)量不同，一支可以維持3小時。另一支可以維持5小時，當(dāng)送電時吹滅蠟燭，發(fā)現(xiàn)其中一支剩下的長度是另一支剩下長度的3倍。問：這次停電多少小時？
19．（8分）如圖1，已知直線m∥n，點A、B在直線n上，點C、P在直線m上；
（1）寫出圖1中面積相等的各對三角形： ；
（2）如圖1，A、B、C為三個頂點，點P在直線m上移動到任一位置時，總有 與△ABC的面積相等；
（3）如圖2，一個五邊形ABCDE，你能否過點E作一條直線交BC（或延長線）于點M，使四邊形ABME的面積等于五邊形ABCDE的面積。
20．（10分）閱讀材料。
材料一：
一個大于1的正整數(shù)，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1……，被3除余1，被2除余1，那么稱這個正整數(shù)為“明N禮數(shù)（N取最大）”。
例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73為“明四禮數(shù)”。
材料二：
設(shè)N，（N﹣1），（N﹣2），……，3，2的最小公倍數(shù)為k，那么“明N禮數(shù)”可以表示為kn+1（n為正整數(shù)）。
例如：6，5，4，3，2的最小公倍數(shù)為60，那么“明六禮數(shù)”可以表示為60n+1（n為正整數(shù)）。
解答下列問題：
（1）若31是“明N禮數(shù)”，直接寫出N的值；
（2）求出最小的“明四禮數(shù)”；
（3）一個“明四禮數(shù)”與“明五禮數(shù)”的和為170，求出這兩個數(shù)。
2024年河南省鄭州實驗中學(xué)小升初數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共21分）
1．（3分）定義新運算@，有a@b＝2ab+3b，那么5@6的計算結(jié)果是（ ）
A．80B．78C．60D．70
【解答】解：5@6
＝2×5×6+3×6
＝60+18
＝78
故選：B。
2．（3分）一個長方體三個面的面積分別為6、12、18，這個長方體的體積是（ ）
A．36B．42C．54D．72
【解答】解：6×12×18＝1296
因為36×36＝1296，所以長方體的體積是36。
故選：A。
3．（3分）某次知識競賽共5道題，全班52人，答對一題得1分．已知全班共得181分．已知每人至少得1分，且得1分的有7人，得2分和得3分的人一樣多，得5分的人有6人，則得4分的有（ ）人．
A．25B．30C．31D．35
【解答】解：設(shè)得2分、3分的人數(shù)均為x人，則得4分的人數(shù)為（52﹣7﹣6﹣2x）人，即得4分的人數(shù)為（39﹣2x）人，根據(jù)題意可得方程：
1×7+2x+3x+4×（39﹣2x）+5×6＝181，
7+5x+156﹣8x+30＝181，
193﹣3x＝181，
3x＝12，
x＝4；
所以得4分的人數(shù)為：39﹣2×4＝39﹣8＝31（人）；
答：得4分的有31人．
故選：C。
4．（3分）一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是270米，慢車的車長是360米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是12秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是（ ）秒。
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：270÷（360÷12）
＝270÷30
＝9（秒）
答：坐在慢車上看見快車駛過的時間是9秒。
故選：A。
5．（3分）某次小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的滿分為100分，小明和小光在競賽中取得了優(yōu)異成績，成績都不低于95分。當(dāng)小記者采訪他們時，小明說：“我的名次、年齡和分?jǐn)?shù)的乘積等于1261”，小光說：“我的名次、年齡和分?jǐn)?shù)的乘積等于3135”。那么小明和小光兩人的平均分是（ ）分。
A．94B．98C．97D．96
【解答】解：1261＝13×97＝1×13×97
所以小明的名次、年齡和分?jǐn)?shù)為1、13、97；
3135＝3×5×11×19＝3×11×95
所以小光的名次、年齡和分?jǐn)?shù)為3、11、95；
（97+95）÷2
＝192÷2
＝96（分）
答：小明和小光兩人的平均分是96分。
故選：D。
6．（3分）如圖所示，兩個正方形重疊擺放后，這兩個陰影部分的周長和是80厘米，它們的面積相差80平方厘米，那么這兩個正方形面積和是（ ）平方厘米。
A．160B．208C．200D．216
【解答】解：設(shè)大正方形的邊長為a厘米，小正方形的邊長為b厘米，根據(jù)題意可得：
4a+4b＝80
a+b＝80÷4＝20……①
a2﹣b2＝80
（a+b）（a﹣b）＝80
所以a﹣b＝80÷20＝4……②
①+②可得：
2a＝24，則a＝24÷2＝12，則b＝20﹣12＝8。
12×12+8×8
＝144+64
＝208（平方厘米）
答：這兩個正方形面積和是208平方厘米。
故選：B。
7．（3分）在如圖的乘法算式中，兩個乘數(shù)的和是（ ）
A．244B．246C．254D．256
【解答】解：根據(jù)題意分析可得，乘法算式是：203×41，兩個乘數(shù)的和是203+41＝244。
故選：A。
二、填空題（每小題3分，共15分）
8．（3分）如圖，一只螞蟻想從圓柱形水桶外側(cè)的A點爬到內(nèi)側(cè)的B點尋找食物。已知A點到桶口的距離AC＝20厘米，B點到桶口的距離BD＝16厘米，圓弧CD長15厘米。螞蟻爬行的最短路程是 39 厘米。
【解答】解：過B作BE⊥AC于E點，如圖：，則BE＝CD＝15厘米，EC＝BD＝16厘米，EA＝16+20＝36（厘米）
在直角三角形ABE中AB×AB＝AE×AE+BE×BE，39×39＝36×36+15×15，所以AB＝39。
答：螞蟻爬行是最短路程是39厘米。
故答案為：39。
9．（3分）如圖中小三角形的邊長都相等，那么小螞蟻從A點沿三角形的邊爬到B點的最短路線有 5 條。
【解答】解：標(biāo)數(shù)如下所示：
答：小螞蟻從A點沿三角形的邊爬到B點的最短路線有5條。
故答案為：5。
10．（3分）有一類四位數(shù)，除以5余2，除以7余5，除以11余10。這類四位數(shù)中最小的一個是 1132 。
【解答】解：由分析可知：7×11＝77，
77﹣23＝54，54除以5余4，不符合要求；
54+77＝131，131除以5余1，不符合要求；
54+77×2＝208，208除以5余3，不符合要求；
54+77×3＝285，285除以5沒有余數(shù)，不符合要求；
54+77×4＝362，362除以5余2，符合要求；
5、7、11的最小公倍數(shù)是385，
362+385＝747，747不是四位數(shù)，不符合要求；
362+385×2＝1132，1132是最小四位數(shù)，
故答案為：1132。
11．（3分）魔法學(xué)院有初級、中級和高級三個班，三個班的人數(shù)依次增多相同的數(shù)量。若全體學(xué)員人數(shù)不超過300人，其中30%的女學(xué)員與25%的男學(xué)員在初級班，45%的女學(xué)員與20%的男學(xué)員在中級班，那么男學(xué)員有 140 人。
【解答】解：設(shè)女學(xué)員為x人，男學(xué)員為y人。
則總?cè)藬?shù)＝（45%x+20%y）×3＝135%x+60%y
又知總?cè)藬?shù)＝100%x+100%y
可得，35%x＝40%y
x：y＝8：7
300×
＝300×
＝140（人）
答：男學(xué)員有140人。
故答案為：140。
12．（3分）如圖，正方形ABCD的面積是60，E是CD中點，連接BD、AE交于點N。M是AN中點，連接BM并延長交AD于點F，則陰影部分的面積是 8 。
【解答】解：延長AE，BC交于G點，如圖表示：
因為E是CD的中點，所以＝＝＝1，＝＝＝
所以＝＝＝，EN＝AE
因為M是AN的中點，所以AM＝MN＝AE
所以＝＝，則＝
所以三角形ADN的面積為××60＝10
三角形AFM的面積＝××10＝2
所以陰影的面積＝10﹣2＝8
故答案為：8。
三、解答題
13．（9分）計算：
【解答】解：
＝+9++19++29++39+
＝×5+9+19+29+39
＝4+9+19+29+39
＝1+9+1+19+1+29+1+39
＝10+20+30+40
＝100
＝[2﹣（﹣）÷]×
＝[2﹣×]×
＝[2﹣]×
＝×
＝12
＝×（﹣）+×（﹣）+……+×（﹣）
＝×（﹣+﹣+……+﹣）
＝×（﹣）
＝×
＝
14．（6分）加工一批零件，原計劃每天加工140個，正好按期完成任務(wù)。由于改進了生產(chǎn)技術(shù)，實際每天加工160個，這樣，不僅提前3天完成加工任務(wù)，而且還多加工了40個。那么他們實際加工零件多少個？
【解答】解：設(shè)他們實際加工零件x個。
﹣3＝
＝
160x＝140x+72800
20x＝72800
x＝3640
答：他們實際加工零件3640個。
15．（7分）如圖，AE＝DE，BC＝3BD，三角形ABC的面積是30平方分米，求陰影部分的面積。
【解答】解：
連接DF，因為E是中點，則三角形AEF的面積＝三角形DEF的面積，且三角形AEC的面積＝三角形DEC的面積
則陰影部分的面積＝三角形DFC的面積＝三角形AFC的面積，又因為BC＝3BD，
所以三角形DFC的面積＝三角形AFC的面積＝三角形BDF的面積的2倍，
所以三角形ABC的面積＝三角形BDF的面積的5倍，
則三角形BDF的面積是：30÷5＝6（平方分米）
所以陰影部分的面積是6×2＝12（平方分米）
答：陰影部分的面積是12平方分米。
16．（8分）對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b＝[a，b]﹣（a，b）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14＝70﹣2＝68。
（1）求12☆21的值；
（2）已知6☆x＝27，求x的值。
【解答】解：（1）12＝2×2×3
21＝3×7
所以12和21的最小公倍數(shù)是2×2×3×7＝84，最大公約是3。
則12☆21＝84﹣3＝81
（2）因為6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1＝28，不大于：27+6＝33，而28和33之間，只有30是6的倍數(shù)，可見6和x的最小公倍數(shù)是30，
因此，它們的最大公約數(shù)是30﹣27＝3，由“兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積＝這兩個數(shù)的積”得到：
30×3＝6×x
6x＝90
x＝15
答：x的值是15。
17．（8分）甲、乙兩人騎車分別從橋頭和橋尾同時出發(fā)相向而行。與此同時，一列火車車頭正好到達橋頭，準(zhǔn)備上橋，60秒后，火車車尾恰好超過甲，且火車車頭恰好與乙相遇；又過了60秒，火車車尾恰好離開橋尾，此時甲、乙恰好相遇。
（1）橋長是車長的幾倍？
（2）從火車車尾上橋到火車車頭到達橋尾共用多少時間？
【解答】解：（1）60+60＝120（秒）
所以60秒時兩人相距相當(dāng)于半個橋長。因此橋長恰好是車長的2倍。
答：橋長是車長的2倍。
（2）由分析可知：120÷3＝40（秒）
答：從火車車尾上橋到火車車頭到達橋尾共用40秒。
18．（8分）某日停電，房間里同時點燃了兩支同樣長的蠟燭，這兩支蠟燭的質(zhì)量不同，一支可以維持3小時。另一支可以維持5小時，當(dāng)送電時吹滅蠟燭，發(fā)現(xiàn)其中一支剩下的長度是另一支剩下長度的3倍。問：這次停電多少小時？
【解答】解：設(shè)這次停電x小時。
3×（1﹣x）＝1﹣x
3﹣x＝1﹣0.2x
0.8x＝2
x＝2.5
答：這次停電2.5小時。
19．（8分）如圖1，已知直線m∥n，點A、B在直線n上，點C、P在直線m上；
（1）寫出圖1中面積相等的各對三角形： △ACB和△APB，△ACO和△OPB，△ACP和△CPB ；
（2）如圖1，A、B、C為三個頂點，點P在直線m上移動到任一位置時，總有 △APB 與△ABC的面積相等；
（3）如圖2，一個五邊形ABCDE，你能否過點E作一條直線交BC（或延長線）于點M，使四邊形ABME的面積等于五邊形ABCDE的面積。
【解答】解：由分析可知：（1）寫出圖1中面積相等的各對三角形：△ACB和△APB，△ACO和△OPB，△ACP和△CPB
（2）如圖1，A、B、C為三個頂點，點P在直線m上移動到任一位置時，總有△APB與△ABC的面積相等；
（3）
故答案為：△ACB和△APB，△ACO和△OPB，△ACP和△CPB；△APB。
20．（10分）閱讀材料。
材料一：
一個大于1的正整數(shù)，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1……，被3除余1，被2除余1，那么稱這個正整數(shù)為“明N禮數(shù)（N取最大）”。
例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73為“明四禮數(shù)”。
材料二：
設(shè)N，（N﹣1），（N﹣2），……，3，2的最小公倍數(shù)為k，那么“明N禮數(shù)”可以表示為kn+1（n為正整數(shù)）。
例如：6，5，4，3，2的最小公倍數(shù)為60，那么“明六禮數(shù)”可以表示為60n+1（n為正整數(shù)）。
解答下列問題：
（1）若31是“明N禮數(shù)”，直接寫出N的值；
（2）求出最小的“明四禮數(shù)”；
（3）一個“明四禮數(shù)”與“明五禮數(shù)”的和為170，求出這兩個數(shù)。
【解答】解：（1）31÷5＝6……1
31÷4＝7……3
31÷3＝10……1
31÷2＝15……1
即31（被5除余1，被4除余3），被3除余1，被2除余1，那么31為“明三禮數(shù)”。
答：N＝3。
（2）4、3、2的最小公倍數(shù)是12，設(shè)“明四禮數(shù)”是12m+1，當(dāng)m＝1時，最小的“明四禮數(shù)”為13。
13÷5＝2……3
13÷4＝3……1
13÷3＝4……1
13÷2＝6……1
滿足“明四禮數(shù)”的要求。
答：最小的“明四禮數(shù)”為13。
（3）4、3、2的最小公倍數(shù)是12，5、4、3、2的最小公倍數(shù)是60。
設(shè)“明四禮數(shù)”是12m+1，“明五禮數(shù)”是60n+1
因為“明四禮數(shù)”與“明五禮數(shù)”的和為170
所以12m+1+60n+1＝170
又m和n是正整數(shù)
所以m＝4，n＝2或m＝9，n＝1
所以這個“明四禮數(shù)”是49，“明五禮數(shù)”是121或“明四禮數(shù)”是109，“明五禮數(shù)”是61。
答：“明四禮數(shù)”是49，“明五禮數(shù)”是121或“明四禮數(shù)”是109，“明五禮數(shù)”是61。

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