【暑假銜接】人教A版新高二數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)重難點(diǎn)-第05講：空間立體幾何高頻考點(diǎn)突破（教師版+學(xué)生版）講義-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)一：空間幾何體結(jié)構(gòu)
（1）多面體
（3）圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球
考點(diǎn)二：空間幾何體的直觀圖
1、用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
2、斜二測(cè)畫法的步驟：①平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；②平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x，z軸的線長(zhǎng)度不變
3、原圖與直觀圖的關(guān)系：S直=S原；S原=S直
考點(diǎn)三：簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積
1、空間幾何體的表面積
（1）棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和
（2）圓柱的表面積（3）圓錐的表面積
（4）圓臺(tái)的表面積（5）球的表面積
2、空間幾何體的體積
（1）柱體的體積（2）錐體的體積
（3）臺(tái)體的體積（4）球體的體積
3、球的組合體
（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).
（2）球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)（a）.
（3）球與正四面體的組合體：棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為.
考點(diǎn)四：空間直線、平面的平行
1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理
2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理
考點(diǎn)五．直線與平面垂直
(1)定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.直線和平面所成的角
(1)定義
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角．
(2)范圍：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3．平面與平面垂直
(1)二面角的有關(guān)概念
①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定義
兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．
(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
【題型梳理】
題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)
1．（2023春·福建南平·高一?？计谀┫铝忻}中正確的是（）
A．正方形的直觀圖是正方形
B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)
【答案】B
【解析】選項(xiàng)，正方形的直觀圖是平行四邊形；選項(xiàng)，由斜二測(cè)畫法規(guī)則知平行性不變知②正確；選項(xiàng)，要注意棱柱的每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行；選項(xiàng)，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)．
【詳解】解：選項(xiàng)，正方形的直觀圖是平行四邊形，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，由斜二測(cè)畫法規(guī)則知平行性不變，即平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，故②正確；
選項(xiàng)，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱，要注意棱柱的每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)，故錯(cuò)誤．
故選：．
2．（2023春·四川宜賓·高一宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┫铝忻}中，正確的是 ( )
A．經(jīng)過正方體任意兩條面對(duì)角線，有且只有一個(gè)平面
B．經(jīng)過正方體任意兩條體對(duì)角線，有且只有一個(gè)平面
C．經(jīng)過正方體任意兩條棱，有且只有一個(gè)平面
D．經(jīng)過正方體任意一條體對(duì)角線與任意一條面對(duì)角線，有且只有一個(gè)平面
【答案】B
【詳解】因?yàn)檎襟w的四條體對(duì)角線相交于同一點(diǎn)(正方體的中心)，因此經(jīng)過正方體任意兩條體對(duì)角線，有且只有一個(gè)平面，故選B．
點(diǎn)睛：確定平面方法: 過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．
3．（2023春·黑龍江大慶·高一鐵人中學(xué)?？计谥校┙o出下列說法：
①有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
④一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊
其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)和平面的的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于①中，根據(jù)棱臺(tái)的定義，延長(zhǎng)棱臺(tái)的所有側(cè)棱交于一點(diǎn)，所以有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，所以①不正確；
對(duì)于②中，根據(jù)棱錐的定義，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐，所以②不正確；
對(duì)于③中，根據(jù)棱柱的定義，有兩個(gè)面平行，且該多面體的頂點(diǎn)都在這兩個(gè)平面上，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱，所以③不正確；
對(duì)于④中，一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成8塊，所以④不正確.
故選：A.
題型二：直觀圖
4．（2023春·四川成都·高一成都外國(guó)語學(xué)校?？计谀┤鐖D，一個(gè)水平放置的平面圖形OABC的斜二測(cè)直觀圖是平行四邊形，且，，，則平面圖形OABC的面積為（）

A．16B．8C．4D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法得到平面圖形，即可得解；
【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知該平面圖形是矩形，如下圖所示，

其中長(zhǎng)，寬.
故平面圖形的面積為.
故選：A
5．（2023春·云南昆明·高一昆明一中?？计谥校┮阎且黄矫鎴D形的直觀圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（）

A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】由給定的直觀圖畫出原平面圖形，再求出面積作答.
【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，所給的直觀圖對(duì)應(yīng)的原平面圖形，如圖，

其中，，
所以這個(gè)平面圖形的面積為.
故選：D
6．（2023春·廣東茂名·高一統(tǒng)考期中）如圖，水平放置的的斜二測(cè)直觀圖為，已知，則的周長(zhǎng)為（）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，作出原平面圖形，由斜二測(cè)畫法分析原圖的數(shù)量關(guān)系，計(jì)算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，作出原圖，

由斜二測(cè)畫法，在原圖中，，，
所以，故的周長(zhǎng)為.
故選：C．
題型三：空間幾何體的表面積和體積
7．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┩勇萜鹪从谖覈?guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓柱與圓錐的表面積公式求解.
【詳解】由題意可得圓錐體的母線長(zhǎng)為，
所以圓錐體的側(cè)面積為，
圓柱體的側(cè)面積為，
圓柱的底面面積為，
所以此陀螺的表面積為，
故選：C.
8．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┤忮F的所有頂點(diǎn)都在球的球面上.棱錐的各棱長(zhǎng)為：，，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由各棱長(zhǎng)結(jié)合勾股定理知為直三棱錐，有面，進(jìn)而求出的外接圓半徑，由外接球半徑與、的幾何關(guān)系即可求出，最后求外接球表面積即可.
【詳解】由題意知：，，，
∴兩兩垂直，即為直三棱錐，
∴若的外接圓半徑為，則，又面，
∴外接球心到的距離為，故外接球半徑，
∴外接球表面積.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由棱長(zhǎng)推出為直三棱錐，有面，根據(jù)其外接球半徑與外接圓半徑、的幾何關(guān)系求出，進(jìn)而求球的表面積.
9．（2023春·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？计谀靶疗丈⊿impsn）公式”給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）的面積的4倍、下底面的面積之和乘以高h(yuǎn)的六分之一，即.我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體稱為擬柱體.在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面.中國(guó)古代名詞“芻童”（原來是草堆的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某“芻童”尺寸如圖所示，且體積為，則它的高為（）

A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】求出上下底面積和中截面面積，代入公式即可求出高.
【詳解】上底面，下底面，
所以中截面是過高的中點(diǎn)，且平行于底面的截面，其中分別是對(duì)應(yīng)棱上的中點(diǎn)，如圖所示，
根據(jù)中位線定理得，，
所以，
，解得，
故選：D.

題型四：內(nèi)接球和外接球表面積和體積
10．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，則，求得，，從而求得，根據(jù)球的表面積公式即可求解.
【詳解】
因?yàn)樗拿骟w四個(gè)面都為直角三角形，平面，
所以，，
設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，
則
所以，
因?yàn)樗拿骟w的表面積為，
又因?yàn)樗拿骟w的體積，
所以，
所以內(nèi)切球表面積.
故選：C.
11．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)，，，恰好構(gòu)成三棱錐，若，，且，，，，則該鞠的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由條件求，證明，結(jié)合，利用線面垂直判定定理證明平面，由此確定三棱錐的外接球的球心及半徑，利用球的表面積公式求解.
【詳解】在中，，，，
所以，
在中，，，，
所以，所以，
在中，，，，
所以，
在中，，，，
所以，所以，
所以，都是以為斜邊的直角三角形，
取的中點(diǎn)，則，
所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，半徑為，
所以三棱錐的外接球的表面積，
即該鞠的表面積為.
故選：C.

12．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎忮F中，，，三點(diǎn)在以為球心的球面上，若，，且三棱錐的體積為，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，可求得的面積，進(jìn)而通過的體積得到三棱錐的高，即球心到平面的距離.通過外接圓的半徑公式，求得截面圓的半徑，得到球的半徑，即得解.
【詳解】由題意，
.
又的外接圓的半徑
因此球的半徑
球的表面積：.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了球和三棱錐以及球的截面圓的綜合問題，考查了學(xué)生的綜合分析，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.
題型五：點(diǎn)線面的位置關(guān)系
13．（2023春·江蘇連云港·高一?？计谀┫铝斜硎鲋姓_的是（）
A．若直線平面，直線，則
B．若直線平面，直線，且，則
C．若平面內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面的距離相等，則
D．若平面滿足，，，則
【答案】D
【分析】根據(jù)空間線面關(guān)系的定義及幾何特征，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．
【詳解】若直線平面，直線，則可能，可能，可能與只相交不垂直，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若直線平面，直線，且，則可能，可能與只相交不垂直，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若平面內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面的距離相等，則可能，可能與相交，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若平面滿足，，，則，由面面垂直的性質(zhì)可知，D選項(xiàng)正確.
故選：D
14．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，，與相交，則
【答案】C
【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系判斷可得.
【詳解】對(duì)于A：若，，由面面垂直的判定定理可知，故A正確；
對(duì)于B：若，則平面內(nèi)存在直線，使得，又，，所以，所以，故B正確；
對(duì)于C：若，，則或與相交，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，，，，與相交，根據(jù)面面平行的判定定理可知，故D正確；
故選：C
15．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎本€、，平面、，給出下列命題：
①若，，且，則
②若，，則
③若，，且，則
④若，，且，則
其中正確的命題是（）
A．①②B．①③C．①④D．③④
【答案】C
【分析】根據(jù)線線、線面和面面位置關(guān)系的有關(guān)知識(shí)對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行分析，由此確定正確答案.
【詳解】①，根據(jù)線面垂直的知識(shí)可知，當(dāng)，，且時(shí)，，所以①正確.
②，若，，則可能是異面直線，所以②錯(cuò)誤.
③，若，，且，此時(shí)無法判斷是否與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，
所以③錯(cuò)誤.
④，若，，所以，由于，所以，所以④正確.
所以①④正確.
故選：C
題型六：線面的平行和性質(zhì)
16．（2023春·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面是的中點(diǎn).

(1)證明：面
(2)證明：平面平面；
(3)求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證即可；
（2）由得，由平面得，所以平面，從而得證；
（3），所以平面，根據(jù)求解．
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，
∵,,
∴,
∴為平行四邊形，則，
∵面，面，∴面.

（2）因?yàn)?，所以?br>由平面平面，所以，
又由，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，即平面平面.
（3）由（1）可得，且平面，平面，所以平面，
所以，
因?yàn)槠矫妫傻茫?br>又由，
所以，
所以，即三棱錐的體積為.
17．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┤鐖D：在正方體中，為的中點(diǎn).
(1)求三棱錐的體積；
(2)求證：平面；
(3)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)線面平行的判定進(jìn)行證明；
（3）根據(jù)面面平行的的判定進(jìn)行證明.
【詳解】（1）顯然平面，于是.
（2）
設(shè)，連接，
在正方體中，四邊形是正方形，是中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，，
平面平面
平面；
（3）為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
，
四邊形為平行四邊形，，
又平面平面平面，
由（2）知平面平面平面，
平面平面.
18．（2023春·四川宜賓·高一?？计谀┤鐖D，四棱錐中，底面，底面為菱形，點(diǎn)F為側(cè)棱上一點(diǎn)．
(1)若，求證：平面；
(2)若，求證：平面平面．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1），的交點(diǎn)為O，連接，由菱形及中位線性質(zhì)有，再由線面平行的判定可證結(jié)論；
（2）由題意及線面垂直的性質(zhì)有、，再由線面垂直的判定和性質(zhì)得，最后根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定證結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，的交點(diǎn)為O，連接，
因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且O為中點(diǎn)，，
所以，又平面，平面，
故平面．
（2）因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，、平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，故平面平面.
題型七：線面的垂直和性質(zhì)
19．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析；
(2)點(diǎn)到平面的距離為1.
【分析】（1）先證明平面，可得，再證明，可得平面，根據(jù)面面垂直判定定理證明結(jié)論；
（2）由（1）中的證明過程可，計(jì)算數(shù)據(jù)代入即可.
【詳解】（1）因?yàn)闉橹比庵云矫?
又平面，所以.
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，，所以.
因?yàn)槠矫妫矫?，?br>所以平面.
又平面，所以.
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以.
又，所以，同理，所以.
因?yàn)槠矫妫矫?，?br>所以平面，平面，
所以平面平面；

（2）因?yàn)?，，?br>所以，，
所以.
由（1）知平面，
所以，
即三棱錐的體積為.
因?yàn)椋?br>所以，又，
取的中點(diǎn)為，則，所以，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
所以.

20．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；
(2)求直線和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于O，連接，證明可得線面垂直，再由面面垂直的判定定理得證；
（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再由線面角公式求解即可.
【詳解】（1）連接交于O，連接，如圖，

因?yàn)闉榈冗吶切?，所以為等邊三角形，四邊形是菱形?br>所以，又，，是的中點(diǎn)，
所以且，
所以，，
在中，，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）設(shè)到平面的距離為，
因?yàn)橹?，，?br>所以，
又，，
所以由，可得，
即，
設(shè)直線和平面所成角為，
則,
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以求直線和平面所成角的正弦值為．
21．（2023春·福建南平·高一?？计谀┤鐖D所示，已知在三棱錐中，，M為的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，且為正三角形．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）若，求三棱錐的體積．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）
【解析】(1)先證，可證平面.
(2)先證平面，得，結(jié)合可證得平面.
(3)等積轉(zhuǎn)換，由，可求得體積.
【詳解】證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以是的中位線，.
又平面，平面，
所以平面.
（2）證明：因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，所以.
又，所以.
又因?yàn)椋?，所以平?
因?yàn)槠矫?，所?
又因?yàn)?，?br>所以平面.
(3)因?yàn)槠矫?，?br>所以平面，即是三棱錐的高.
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，為正三角形，
所以.
由平面，可得，
在直角三角形中，由，可得.
于是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：三棱錐的體積直接求不便時(shí)，常采用等積轉(zhuǎn)換的方法，選擇易求的底面積和高來求體積.
題型八：距離和線面角平面角問題
22．（2023春·江蘇南通·高一?？计谀┤鐖D，是圓的直徑，是圓上異于、一點(diǎn)，直線平面，，.

(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）計(jì)算出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離；
（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出二面角二面角的平面角為，計(jì)算出的長(zhǎng)，即可求得的正切值，即可得解.
【詳解】（1）解：因?yàn)槭菆A的直徑，是圓上異于、一點(diǎn)，則，
因?yàn)椋?，則，
所以，，
因?yàn)槠矫?，則.
因?yàn)椤⑵矫?，所以，，?br>所以，，
，
由余弦定理可得，
所以，，
所以，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，即，
所以，，
因此，點(diǎn)到平面的距離為.
（2）解：過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，

因?yàn)槭菆A的直徑，是圓上異于、一點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，?br>因?yàn)椋⑵矫?，所以，平面?br>因?yàn)槠矫妫?，?br>因?yàn)椋?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，?br>所以，二面角的平面角為，
因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>因?yàn)?，由等面積法可得，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，?br>所以，，
因此，二面角的正切值為.
23．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）已知邊長(zhǎng)為6的菱形，，把沿著翻折至的位置，構(gòu)成三棱錐，且，，.

(1)證明：；
(2)求二面角的大小；
(3)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系證明線面垂直從而得到線線垂直即可；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系，平方后得到，得到，根據(jù)余弦定理求解其平面角即可；
（3）根據(jù)平行關(guān)系將所求角轉(zhuǎn)化為與平面所成角，再根據(jù)垂直關(guān)系找到具體的角進(jìn)而求解其正弦值.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榱庑?，?br>所以為等邊三角形，
所以，
又因?yàn)槊?，?br>所以面，
因?yàn)槊妫?br>所以

（2）因?yàn)?，?br>所以，
平方得，，
即，解得，
在中，由余弦定理得，，
所以，
由（1）可知，是二面角的平面角，
在等邊中，，同理，
在中，由余弦定理，，
因?yàn)?，所以?br>即二面角的大小為.
（3）取中點(diǎn)，連接，則是靠近G的三等分點(diǎn)，
則，
所以與平面所成角即為所成角，
在平面中，作，
因?yàn)槊妫妫?br>所以，
又因?yàn)槊妫?br>所以面，
所以是與平面所成角，
在中，，，所以
，
在中，由，得，，
所以，
所以與平面所成角的正弦值為.

24．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于點(diǎn)O．
(1)求證：MN∥平面PCD；
(2)二面角B－PC－D的平面角為θ，若．
①求PA與底面ABCD所成角的大??；
②求點(diǎn)N到平面CDP的距離．
【答案】(1)證明見解析；
(2)① ②.
【分析】（1）取PD得中點(diǎn)E，連接ME，CE，證明，然后證明平面PCD；
（2）①作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出，，再由條件可證明所求線面角為，利用直角三角形求大小即可；
②由平面PAC轉(zhuǎn)化為求O到平面距離，作出垂線段，利用等積法求解即可.
【詳解】（1）取PD得中點(diǎn)E，連接ME，CE，如圖，
為PA的中點(diǎn)，，
為的中點(diǎn)且四邊形ABCD為菱形，.
，四邊形MNCE為平行四邊形，
,
又MN平面PCD, CE平面PCD,
MN∥平面PCD.
（2）①連接PO，過作于，連接，
由PB＝PD，是的中點(diǎn)，，
由菱形知，又，平面，
平面，平面平面，且交線為，
直線在平面上的射影為，即PA與底面ABCD所成角為.
平面，，且在平面上的射影為，
，又PA⊥PC，，是的中點(diǎn)，是PC的中點(diǎn)，
，
由知，, ，
為二面角B－PC－D的平面角，
,
即，解得，,
，
，，
即PA與底面ABCD所成角的大小為.
②連接，過作于，
由，平面，平面，平面
點(diǎn)N到平面CDP的距離即點(diǎn)到平面CDP的距離，
，
平面，平面平面,且是交線，
，平面，
在中，，，，
由等積法可得，即，
即點(diǎn)N到平面CDP的距離為.
【專題突破】
一、單選題
25．（2023春·江蘇無錫·高一輔仁高中?？计谀┧睦馀_(tái)中，其上、下底面均為正方形，若，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則該棱臺(tái)的體積為（）
A．224B．448C．D．147
【答案】B
【分析】連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，過作，即可得到是四棱臺(tái)其中一條側(cè)棱與底面所成的角，利用銳角三角函數(shù)求出棱臺(tái)的高，再根據(jù)棱臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.
【詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，過作，如圖，
.
因?yàn)樗睦馀_(tái)上、下底面均為正方形，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均相等，
所以底面，又，所以底面，
所以是四棱臺(tái)其中一條側(cè)棱與底面所成的角，則，
因?yàn)?，所以，?br>易知四邊形是等腰梯形，則，
所以在中，，則，
即四棱臺(tái)的高為，
則該四棱臺(tái)的體積.
故選：B．
26．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┮阎獔A錐PO，其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長(zhǎng)為6m，頂角為的等腰三角形，該圓錐的側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用圓錐側(cè)面積公式計(jì)算即可.
【詳解】如圖所示，

設(shè)圓錐的半徑為r，母線為l，
由題意知，，
在中，，
所以，
所以圓錐側(cè)面積為.
故選：B.
27．（2023春·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學(xué)?？计谀┰凇毒耪滤阈g(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱為“芻童”．已知棱臺(tái)是一個(gè)側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中，，則該“芻童”外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)芻童的幾何性可知外接球的球心在四棱臺(tái)上下底面中心連線上，設(shè)球心為O，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑即可求其表面積．
【詳解】
如圖，連接AC、BD、、，設(shè)AC∩BD＝M，∩＝N，連接MN．
∵棱臺(tái)側(cè)棱相等，∴易知其外接球球心在線段MN所在直線上，設(shè)外接球球心為O，
如圖當(dāng)球心在線段MN延長(zhǎng)線上時(shí)，
易得，MC＝2，，，
MN＝1，
由得，，即
，
故OC＝，
∴外接球表面積為．
如圖當(dāng)球心在線段MN上時(shí)，
由得，，即
舍去，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用芻童的幾何性確定外接球的球心是解題的關(guān)鍵.
28．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)均為的直三棱柱中，是的中點(diǎn)，過、、三點(diǎn)的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點(diǎn)所在部分的體積為（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)平面交于點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出點(diǎn)為的中點(diǎn)，用三棱柱的體積減去三棱臺(tái)的體積即可得解.
【詳解】設(shè)平面交于點(diǎn)，連接、，

在三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
又因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，?br>所以，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，為的中點(diǎn)，且，
因?yàn)橹比庵拿織l棱長(zhǎng)都為，
則，
易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，
，
因此，頂點(diǎn)所在部分的體積為.
故選：B.
29．（2023春·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎侨龡l不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】以正方體為例，舉例即可說明A、B、C錯(cuò)誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及平行線的傳遞性，即可得出D項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A項(xiàng)，如圖正方體中，
平面平面，平面，
但是，平面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，如圖正方體中，
平面，平面，，，
但是，平面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，如圖正方體中，
平面平面，平面平面，
但是，平面平面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，?br>根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，.
又，所以，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
30．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┮阎莾蓷l不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)空間中線面、面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】由是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，
若，則與可能相交、平行或，A錯(cuò)；
若，則或，B錯(cuò)；
若，則或相交，C錯(cuò)；
若，則確定一個(gè)平面，設(shè)為，
又，所以，
則由面面平行的判定定理得，D正確.
故選：D
31．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，平面四邊形ABCD中，，為正三角形，以AC為折痕將折起，使D點(diǎn)達(dá)到P點(diǎn)位置，且二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值，且最大值為時(shí)，三棱錐外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過點(diǎn)作平面，垂足為，作，垂足為，連接，則為二面角的補(bǔ)角，為的中點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)二面角的余弦值可求得，再根據(jù)三棱錐的體積取得最大值結(jié)合基本不等式求出，再利用勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，根據(jù)球的體積公式即可得解.
【詳解】過點(diǎn)作平面，垂足為，作，垂足為，連接，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>則為二面角的補(bǔ)角，故，
因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，
設(shè)，則，
在中，，則，，
由，
得當(dāng)取得最大值時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以，解得，
則，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，則平面，
設(shè)，
由得，解得，
則三棱錐外接球的半徑，
所以三棱錐外接球的體積為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：
①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；
②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；
③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；
④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.
32．（2023春·福建南平·高一期末）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先取正方形的中心，連接，由知為異面直線與所成的角，再在中求的正弦即可.
【詳解】連，相交于點(diǎn)，連、，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，
不妨設(shè)正方形中，，則，由平面，可得，
則，，
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，．
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
求空間角的常用方法：
（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；
（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.
33．（2023春·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）如圖是正方體的平面展開圖．關(guān)于這個(gè)正方體，有以下判斷：
①與所成的角為②∥平面
③ ④平面∥平面
其中正確判斷的序號(hào)是（）．
A．① ③B．② ③C．① ② ④D．② ③ ④
【答案】C
【詳解】
把正方體的平面展開圖還原成正方體，得：①與所成的角為正確； ② 不包含于平面平面平面，故②正確； ③ 與是異面直線，故③不正確； ④ 平面，所以平面平面，故 ④ 正確，正確判斷的序號(hào)是① ② ④，故選C.
二、多選題
34．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)校考期末）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
【答案】AC
【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.
【詳解】依題意，，，所以，
A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，
則，所以是二面角的平面角，
則，所以，
故，則，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.

35．（2023春·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的是（）

A．該圓臺(tái)軸截面面積為
B．該圓臺(tái)的體積為
C．該圓臺(tái)的表面積為
D．沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為
【答案】ABD
【分析】求出圓臺(tái)的高，由梯形的面積公式可判斷選項(xiàng)A；由臺(tái)體的體積公式可判斷選項(xiàng)B；由臺(tái)體的表面積公式可判斷選項(xiàng)C；將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，側(cè)面展開，取的中點(diǎn)為，連接，可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于，由，且，
可得，高，
則圓臺(tái)軸截面的面積為，故A正確；
對(duì)于B，圓臺(tái)的體積為，故B正確；
對(duì)于C，圓臺(tái)的側(cè)面積為，又，，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，側(cè)面展開圖的圓心角．
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，可得，
則，又點(diǎn)到的距離，
所以沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為，故正確．

故選：ABD．
36．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，下列判斷中正確的是（）

A．平面平面
B．
C．
D．異面直線與所成角的取值范圍是
【答案】ABC
【分析】證明平面，結(jié)合面面垂直判定定理證明平面平面，判斷A；
證明平面，結(jié)合線面垂直的定義證明，判斷B；
由平面平面，結(jié)合錐體體積公式證明，由此判斷C；
根據(jù)異面直線夾角的定義判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br>，平面，
所以平面，平面，
所以，
因?yàn)?，?br>，平面，
所以平面，平面，
所以，
，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，A正確；
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，，平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面，平面，
所以，B正確；
因?yàn)槠矫嫫矫?，點(diǎn)在直線上，
所以點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離
所以，C正確；
因?yàn)椋?br>所以異面直線與所成角為或中的銳角或直角，
又為等邊三角形，所以當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，
故異面直線與所成角可能為，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
37．（2023春·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），平面．下列說法正確的有（）
A．異面直線AM與可能垂直
B．直線BC與平面可能垂直
C．AB與平面所成角的正弦值的范圍為
D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長(zhǎng)為
【答案】AD
【分析】在題設(shè)條件下，對(duì)于A選項(xiàng)：矩形BCC1B1中，判斷在CC1上是否存在點(diǎn)M使即可；對(duì)于B選項(xiàng)：判斷直線AM與BC是否平行即可；對(duì)于C選項(xiàng)：與平面所成角轉(zhuǎn)化為與平面的垂線所成角解決；對(duì)于選項(xiàng)D：作出并證明平面截正四棱柱所得截面多邊形，再求出周長(zhǎng)即可.
【詳解】在正四棱柱中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AA1=2，如圖：

選項(xiàng)A：當(dāng)MC=時(shí)，
在矩形BCC1B1中，，所以，
又因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，
又因?yàn)椋?、平面?br>所以B1C⊥平面ABM，所以，故選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：因?yàn)锳M與BC是異面直線，所以AM與BC不可能平行，
故與不可能垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：因?yàn)槠矫?，AB是平面的斜線，則AB與平面所成角，
所以，
又因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)M在棱CC1移動(dòng)時(shí)，，
所以，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：當(dāng)M為CC1中點(diǎn)時(shí)，連接AB1，AD1，AC，MB1，MD1，BD1，如圖所示，

則有，，
所以，所以AM⊥MB1，同理AM⊥MD1，
又因?yàn)?，、面?br>所以AM⊥平面MB1D1，
所以平面截正四棱柱所得截面多邊形為正△，
所以其周長(zhǎng)，故選項(xiàng)D正確.
故選：AD.
三、填空題
38．（2023春·河南周口·高一校聯(lián)考期末）已知圓錐的母線長(zhǎng)為1，底面半徑為r，若圓錐的側(cè)面展開圖的面積為扇形所在圓的面積的，則＝____________．
【答案】3
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的面積為扇形所在圓的面積的，得到扇形的圓心角為，則可列出等式求解.
【詳解】解：由題意可知扇形的圓心角為，
則，
所以．
故答案為：3
39．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎忮F中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為 ______．
【答案】/
【分析】分別取的中點(diǎn)，得到為異面直線與所成的角，得出，設(shè)，由余弦定理求得的值，再找出三棱錐的外接球的球心，利用勾股定理求得外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求解.
【詳解】如圖，

分別取、、、的中點(diǎn)、、、，
連接、、、、，可得，，
則為異面直線與所成角，∴，
由面，而，故面，面，則，
設(shè)，可得，，，，則，
在中，由余弦定理，可得，
，解得，
設(shè)底面三角形的中心為，三棱錐的外接球的球心為，
連接，則平面，
由底面三角形是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得，
∴為三棱錐外接球的球心，∴，則，，
又，可得，
則三棱錐的外接球的半徑．
∴三棱錐的外接球的表面積為．
故答案為：．
40．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊(yùn).在中國(guó)歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達(dá)意.一幅扇面書法作品如圖所示，經(jīng)測(cè)量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個(gè)同心圓上的?。ㄩL(zhǎng)度單位為cm），側(cè)邊兩條線段的延長(zhǎng)線交于同心圓的圓心，且圓心角為.若某空間幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為______.

【答案】
【分析】計(jì)算出側(cè)面展開圖分別為30和12，圓心角為的扇形的兩個(gè)圓錐的高，相減即可得解.
【詳解】一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為，圓心角為的扇形，設(shè)該圓錐的底面半徑為，高為，
所以，可得，因此，該圓錐的高為，
側(cè)面展開圖是半徑為，圓心角為的扇形，設(shè)該圓錐的底面半徑為，高為，
所以，可得，因此，該圓錐的高為，
因此，若某幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為.
故答案為：.
41．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┤鐖D，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)A到平面距離是______．

【答案】/
【分析】利用等體積法求得到平面的距離.
【詳解】，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
設(shè)到平面的距離為，根據(jù)，
則，
解得.
故答案為：.
42．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┮阎鐖D（1）為梯形，，，點(diǎn)E在CD上，，，，現(xiàn)將沿AE折成如圖（2）位置，使得二面角的大小為，則直線AB與平面APE所成角的正弦值是__________.

【答案】/
【分析】根據(jù)題意分析可得二面角的平面角為，平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)可證平面，再利用線面夾角的定義分析運(yùn)算.
【詳解】在圖（1）中，，
在圖（2）中，，則二面角的平面角為，
且，平面，
可得平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>在中，作邊的高線，垂足為，連接，可得，
因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面?br>可得平面，則直線AB與平面APE所成角為，
所以，
即直線AB與平面APE所成角的正弦值是.
故答案為：.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解平面圖形折疊問題的關(guān)鍵和方法
1.關(guān)鍵：分清翻折前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系改變，哪些不變，抓住翻折前后不變的量，充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口．
2.方法：把平面圖形翻折后，經(jīng)過恰當(dāng)連線就能得到三棱錐，四棱錐等幾何體，從而把問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何中解決．
四、解答題
43．（2023春·江蘇連云港·高一?？计谀┤鐖D，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的棱形，，平面交平面CDEF于EF，平面平面ABCD，中BC邊上的高，，．

(1)求證：
(2)求幾何體ABCDEF的體積
(3)求直線與平面所成角的大小
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理分析證明；
（2）將多面體分割成兩個(gè)錐體，結(jié)合錐體的體積公式運(yùn)算求解；
（3）利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而結(jié)合線面夾角的定義分析運(yùn)算.
【詳解】（1）因?yàn)锳BCD是菱形，則AB//CD，
平面，平面，可得AB //平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面?br>所以AB //EF.
（2）連接
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，，平面，
所以平面ABCD，
由（1）可知：//，平面，平面，
所以//平面，
則四棱錐的高為，
所以四棱錐的體積，
取的中點(diǎn)，連接，
由題意可知為等邊三角形，則，
平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面，
又因?yàn)?/，且，則三棱錐的高為，
可得三棱錐的體積，
所以幾何體ABCDEF的體積.
（3）連接，
在中，由余弦定理，
即，
由（2）可知：平面ABCD，平面ABCD，則，
所以，
在中，由余弦定理，
即為鈍角，則，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)?，則，
解得，
設(shè)直線與平面所成角為，
可得，則，
所以直線與平面所成角為.

44．（2023春·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，四面體ABCD中，等邊三角形，，且.

(1)記AC中點(diǎn)為M，若面面ABD，求證：面ADC；
(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）推導(dǎo)出面,,由此能證明面；
（2）過作的垂線,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連結(jié)DE,由,得面,從而是二面角的平面角,進(jìn)而,過作交于F點(diǎn),連結(jié),作交于點(diǎn),連結(jié),由此能求出直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）為等邊三角形，中點(diǎn)為，，
又面面，面面，面,
由，得面,
面，,
又，平面，面.

（2）在中，過作的垂線,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連結(jié),
，，面，
面，是二面角的平面角，,
過作交于點(diǎn),連結(jié),作交于點(diǎn),連結(jié),
由面，面，得,
又，面，面,
面，面面，面面，
面，所以面，即面，
所以直線與平面所成角即為，
由題意:，,
則
，面，面，，
，
，
直線與平面所成角的正弦值為.

45．（2023春·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面是菱形．

(1)若點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）連接交于M，連接，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，證明平面，從而作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.
【詳解】（1）連接交于M，連接，

因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以M為的中點(diǎn)，
又點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，故為的中位線，
故，而平面，平面，
故平面；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br>平面，所以平面，而平面，
故，
底面是菱形，故，作交于N，
則，且N為的中點(diǎn)，
連接，因?yàn)槠矫妫?br>故平面，則即為二面角的平面角，
設(shè)，則,
，則，則，
由于為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，故，
而平面，平面，故，
所以，
即二面角的正切值為2.
46．（2023春·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，在銳角中，，點(diǎn)在上，.

(1)求證：平面；
(2)若與平面所成的角為，求二面角的正切值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明；
（2）先作出與交線垂直的平面，從而作出二面角的平面角，然后解三角形即可求解.
【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，

，，，
又平面，平面，
平面.
（2）解：在平面內(nèi)作，為垂足，連接，
平面，
平面，
又平面，，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
所以就是與平面所成的角，即，
因?yàn)?，所以，?br>平面，平面，平面平面，
在平面內(nèi)過作于，交于點(diǎn)，在平面內(nèi)過作于，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面?br>所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?br>所以即為二面角的平面角，
求得，，
因?yàn)椋?br>所以∽，所以，
所以，
，
在平面內(nèi)過作于，則，，
則，，，
，
所以二面角的正切值是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題涉及利用幾何方法求二面角的平面角大小，對(duì)于此類問題可在兩半平面內(nèi)過交線上一點(diǎn)作交線的垂線；也可找到與交線垂直的平面，則垂面與半平面交線所形成的角即為所求平面角.
47．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點(diǎn)．在翻折過程中，
(1)求證：平面；
(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，通過證平面平面，可得面.
（2）利用二面角的平面角的定義先找出二面角的平面角即為，再利用面面垂直的性質(zhì)定理找到平面的垂線，從而作出與面所成的角，計(jì)算可得答案.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，
為線段的中點(diǎn)，，
平面，平面，平面，
又，，四邊形為平行四邊形，則
平面，平面，可得平面，
又，，平面，
可得平面平面，平面，
則面.
（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，
由，，為邊的中點(diǎn)，
得，所以為等邊三角形，從而，，
又，為的中點(diǎn)所以，又是等邊三角形，
所以，所以為二面角的平面角，所以，
過點(diǎn)作，過作交于，連接，
是等邊三角形，所以可求得，，所以，，
，，，，
所以，，又，，面，
所以面，又，所以面，
平面，所以面面，
由，在中易求得，又，
所以，，
面面，面，
所以面，所以為與平面所成的角，
在中可求得，所以，
與面所成角的正弦值為
48．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面是菱形．
(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)若，，且平面平面，求直線與平面所成角的正切值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】(1) 連接AC交BD于點(diǎn)M，連接EM，由條件證明，再由線面平行判定定理證明平面；(2) 取AD的中點(diǎn)O，由面面垂直性質(zhì)定理證明⊥平面ABCD，根據(jù)直線與平面夾角的定義確定直線與平面的夾角，再求其正切值.
【詳解】（1）連接AC交BD于點(diǎn)M，連接EM，
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，故點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，
又因?yàn)辄c(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，故∥
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，平面；
（2）取AD的中點(diǎn)O，連接PO，BO，
因?yàn)椋襉為AD的中點(diǎn)，
故⊥AD，
又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，
平面PAD平面ABCD=AD，平面
故⊥平面ABCD
則直線PB與平面ABCD所成角為
在中，，
在中，
在中，，
故直線PB與平面ABCD所成角的正切值為
49．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)校考期末）如圖，三棱錐的底面是等腰直角三角形，其中，，平面平面，點(diǎn)，，，分別是，，，的中點(diǎn).
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)與平面所成的角為時(shí)，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，再通過線面垂直證明面面垂直；（2）首先找到直線PF與平面ABC所成角，計(jì)算得到PE的長(zhǎng)，方法一是由向量法求角，再根據(jù)角是鈍角，進(jìn)而求得角的余弦值；方法二是根據(jù)幾何法找角，再邊長(zhǎng)求角的余弦值.
【詳解】（1）證明：由題意可得，，
點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
故，故，
平面平面，交線為，
故平面
又在平面內(nèi)，
故平面平面；
（2）連結(jié)，由，點(diǎn)是的中點(diǎn)，可知，
再由平面平面，可知平面，
連結(jié)，可知就是直線與平面所成的角，
于是，
法一：分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則得
取，則，即平面的一個(gè)法向量為，
又平面的一個(gè)法向量為，
于是
注意到二面角是鈍角，所以二面角的余弦值為.
法二：
取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，得點(diǎn)在平面內(nèi).
又因?yàn)槠矫嫫矫?，在平面?nèi)的射影就是，
由，得，
故二面角的平面角為，
是等腰三角形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
故.
于是
所以
所以二面角的余弦值為.
多面體
定義
圖形及表示
相關(guān)概念
特殊情形
棱柱
有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱
記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′
底面(底)：兩個(gè)互相平行的面
側(cè)面：其余各面
側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊
頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)
直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱
棱錐
有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
記作：棱錐S－ABCD
底面(底)：多邊形面
側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面
側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊
頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)
正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐
棱臺(tái)
用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái)
記作：棱臺(tái)ABCD－A′B′C′D′
上底面：原棱錐的截面
下底面：原棱錐的底面
側(cè)面：其余各面
側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊
頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)體
結(jié)構(gòu)特征
圖形
表示
圓柱
以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線
圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱 O′O
圓錐
以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐
圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作圓錐 SO
圓臺(tái)
用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)
圓臺(tái)也用表示它的軸
的字母表示，如圖中的圓臺(tái)記作圓臺(tái) O′O
球
半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑
球常用表示球心的字母來表示，左圖可表示為球 O
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l?β))?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α

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