【暑假銜接】人教A版新高二數(shù)學新課預習-1.1.1 空間向量及其線性運算（教師版+學生版）-學案下載-教習網(wǎng)

【劃重點】
1．理解空間向量的有關概念.
2．類比平面向量，會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.
3．理解向量共線、向量共面的定義.
4．掌握共線向量定理和共面向量定理，會證明空間三點共線、四點共面．
【知識梳理】
知識點一空間向量的概念
1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
注：空間中的任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．
2．長度或模：向量的大?。?br>3．表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq \(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
4．幾類特殊的空間向量
知識點二空間向量的線性運算
知識點三共線向量
1．空間兩個向量共線的充要條件
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.
2．直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量．
知識點四共面向量
1．共面向量
如圖，如果表示向量a的有向線段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要條件
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，
使p＝xa＋yb.
【例題詳解】
一、向量概念的應用
例1 (1)下列關于空間向量的說法中正確的是（）
A．方向相反的兩個向量是相反向量
B．空間中任意兩個單位向量必相等
C．若向量滿足，則
D．相等向量其方向必相同
(2)下列命題中，正確的是（）.
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
跟蹤訓練1 (1)下列關于空間向量的說法中錯誤的是（）
A．零向量與任意向量平行
B．任意兩個空間向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量
(2)給出下列命題：
①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；
②若空間向量滿足，則；
③在正方體中，必有；
④若空間向量滿足，，則；
⑤空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
二、空間向量的加減運算
例2 (1)空間向量（）
A．B．C．D．
(2)已知空間向量，化簡的結果為（）
A．B．C．D．
跟蹤訓練2 (1)（多選）已知平行六面體，則下列各式運算結果是的為（）
A．B．
C．D．
(2)在正方體中，________．
三、空間向量的線性運算
例3 (1)已知在空間四邊形中，，則（）
A．B．C．D．
(2)如圖，平行六面體中，AC與BD的交點為M，設，，，則下列向量中與相等的向量是（）
A．B．
C．D．
跟蹤訓練3 (1)在三棱錐中，是的中點，則________.
(2)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)化簡：－－＝________；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)用，，表示，則＝________.
四、向量共線的判定及應用
例4 (1)滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點共線的是( )
A．B．
C．D．
(2)如圖，已知空間四邊形，點，分別是，的中點，點，分別是，上的點，且，. 用向量法求證：四邊形是梯形.

跟蹤訓練4 (1)已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）
A．B．C．D．
(2)已知A，B，C三點共線，O為直線外空間任意一點，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，則m＋n＝________.
五、向量共面的判定
例5 (1)對于空間任意一點和不共線的三點、、，有如下關系：，則（）.
A．四點、、、必共面
B．四點、、、必共面
C．四點、、、必共面
D．五點、、、、必共面
(2)已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)E，F(xiàn)，G，H四點共面；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)BD∥平面EFGH.
跟蹤訓練5 (1)對于空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，有如下關系：，則（）
A．四點P、A、B、C不一定共面B．四點P、A、B、C必共面
C．四點O、P、B、C必共面D．無法判斷
(2)如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個點，且，，，，，. 求證：
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)；
( = 3 \* rman \* MERGEFORMAT iii).
【課堂鞏固】
1．已知，，，為空間中的任意四點，則（）
A．B．C．D．
2．下列命題為真命題的是（）
A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量
B．若，則?的長度相等且方向相同
C．若向量?滿足，且與同向，則
D．若兩個非零向量與滿足，則.
3．對于空間中的三個向量，，，它們一定是（）
A．共面向量B．共線向量C．不共面向量D．無法判斷
4．若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（）
A．P∈ABB．P?AB
C．點P可能在直線AB上D．以上都不對
5．在下列條件中，能使與，，一定共面的是（）
A．B．
C．D．
6．（多選）在正方體中，下列各式中運算結果為的是（）
A．B．
C．D．
7．（多選）如圖所示，在長方體中，，則在以八個頂點中的兩個分別為始點和終點的向量中（）
A．單位向量有8個
B．與相等的向量有3個
C．與的相反向量有4個
D．向量共面
8．空間中任意四個點，，，，則________．
9．如圖，在長方體中，設，，，則______．
10．已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．
【課時作業(yè)】
1．正方體中，化簡（）
A．B．C．D．
2．如圖，在平行六面體中，E是的中點，則（）
A．B．
C．D．
3．對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內(nèi)的是（）
A．B．
C．D．
4．有下列命題：
①若與平行，則與所在的直線平行；
②若與所在的直線是異面直線，則與一定不共面；
③若、、兩兩共面，則、、一定也共面；
④若與是平面上互不平行的向量，點，點，則與、一定不共面．
其中正確命題的個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
5．在長方體中，，，點分別在棱上，，，則（）
A． B． C． D．
6．若向量與不共線且，，，則（）
A．，，共線B．與共線
C．與共線D．，，共面
7．給出下列命題：
①若A，B，C，D是空間任意四點，則有；
②是，共線的充要條件；
③若，共線，則；
④對空間任意一點O與不共線的三點A，B，C，若幣（其中x，y，），則P，A，B，C四點共面.
其中不正確命題的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
8．已知，是空間兩個不共線的向量，，那么必有（）
A．，共線B．，共線
C．，，共面D．，，不共面
9．（多選）如圖，在三棱柱中，P為空間一點，且滿足，，則（）
A．當時，點P在棱上
B．當時，點P在棱上
C．當時，點P在線段上
D．當時，點P在線段上
10．（多選）空間四點及空間任意一點，由下列條件一定可以得出四點共面的有（）
A．B．
C．D．
11．如圖，已知空間四邊形，連接分別是的中點，則________．
12．光丘樓亦稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，其墩臺為磚石砌成的正四棱臺，直觀圖如圖所示，其上下底面邊長之比約為，則______．
13．已知長方體，若為與的交點，則___________.
14．設，是兩個不共線的空間向量，若，，，且A，C，D三點共線，則實數(shù)k的值為______.
15．如圖所示，在三棱柱中，是的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量.
(1)；
(2)；
(3).
16．如圖，已知，分別為四面體的面與面的重心，為上一點，且.求證：，，三點共線.
名稱
定義及表示
零向量
長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量
模為1的向量稱為單位向量
相反向量
與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a
共線向量(平行向量)
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量
空間向量的線性運算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
減法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
數(shù)乘
當λ>0時，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
當λ

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