題型一：增長率問題
題型二：工作效率問題
題型三：利潤問題
題型四：行程問題
題型五：幾何圖形問題
技巧方法
一、增長率問題公式：
其中a為初始值即變化前值，b為變化后值，x為增長率或者降低率．
二、工作效率問題：
工作總量=工作效率工作時間；
假設工作總量是1，則工作效率是．
三、利潤：
單件利潤=售價-成本； 總利潤=單件利潤銷售件數．
四、行程問題：
行程問題中三個變量：路程、速度和時間，關系如下：
路程=速度時間
可以通過等式的相關計算推導出速度、和時間的相關計算公式．
五、幾何圖形：
1、關于線段長度類問題，主要列無理方程求解；
2、與面積相關的問題；
3、圖形中的動點問題．
能力拓展
題型一：增長率問題
一、解答題
1．（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┮环N筆記本電腦，原來的售價是元，經過連續(xù)兩年的降價，今年每臺售價為元，每年降價的百分率相同．
(1)年降價的百分率是多少？
(2)小明是去年購買這種筆記本的，那么與今年的售價相比，他多付了多少元？
2．（2022秋·上海奉賢·八年級校聯考期中）今年超市以每件25元的進價購進一批商品，當商品售價為40元時，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎上，五月份的銷售量達到400件．
(1)求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率．
(2)經市場預測，六月份的銷售量將與五月份持平，現商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，經調查發(fā)現，該商品每降價1元，月銷量增加5件，當商品降價多少元時，商場六月份可獲利4250元？
3．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┤ツ昴成痰辍笆稽S金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的．
(1)求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；
(2)去年，該商店月份的營業(yè)額為375萬元，，月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與月份的營業(yè)額相等．求該商店去年，月份營業(yè)額的月增長率．
4．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）某產品5月份時每件200元，在6、7月進行了兩次提價，且每次提價的百分率相同，此時售價為288元，后因產品銷售問題，8月選擇降價，降價的百分率與之前每次提價的百分率相同，求8月份該產品的售價？
5．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）為了讓我們的小朋友們有更好的學習環(huán)境，我校2020年投資110萬元改造硬件設施，計劃以后每年以相同的增長率進行投資，到2022年投資額將達到185.9萬元．
（1）求我校改造硬件設施投資額的年平均增長率；
（2）從2020年到2022年，這三年我校將總共投資多少萬元？
6．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）經預算，某工廠從2022年1月份起，每月生產收入是22萬元，但在生產過程中會引起環(huán)境污染，若再按現狀生產，將會受到環(huán)境部門的處罰，每月罰款2萬元；如果投資85萬元治理污染，治污系統(tǒng)可在2022年1月份啟用，這樣，該廠不但不受處罰，還可降低生產成本，使1月至3月份的生產收入以相同的百分率逐月增長．經預算，投資治污后，1月份生產收入為25萬元，3月份的生產收入可達36萬元．3月份以后，每月的生產收入穩(wěn)定在3月份的水平．
（1）求出投資治污后，2月和3月每月生產收入增長的百分率；
（2）如果利潤看作是生產累計收入減去治理污染的投資和環(huán)境部門的罰款，試問：治理污染多少個月后，所投資金開始見成效？即治污多少個月后所獲利潤不小于不治污情況下所獲利潤）
7．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）隨著國內新能源汽車的普及，為了適應社會的需求，全國各地都在加快公共充電樁的建設，某省年公共充電樁的數量為萬個，年公共充電樁的數量為萬個．
（1）求年至年該省公共充電樁數量的年平均增長率；
（2）按照這樣的增長速度，預計年該省將新增多少萬個公共充電樁？
8．（2022春·上海·八年級專題練習）山清水秀的東至縣三條嶺已成為游客最喜歡的旅游地之一，其中“蔡嶺”在2019年“五一”小長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2021年“五一”小長假期間，接待游客2.88萬人次，在蔡嶺，一家特色小面店希望在“五一”小長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗10元，借鑒以往經驗，若每碗賣15元，平均每天將銷售120碗，若價格每提高0.5元，則平均每天少銷售4碗，每天店面所需其他各種費用為168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；
（2）為了更好地維護東至縣形象，物價局規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天凈利潤600元？（凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費用）
9．（2022春·上海·八年級專題練習）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．
（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；
（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．
10．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校┠持行某鞘杏幸粯潜P，開發(fā)商準備以每平方米7000元價格出售，由于國家出臺了有關調控房地產的政策，開發(fā)商經過兩次下調銷售價格后，決定以每平方米5670元的價格銷售．
（1）求平均每次下調的百分率；
（2）房產銷售經理向開發(fā)商建議：先公布下調5%，再下調15%，這樣更有吸引力，請問房產銷售經理的方案對購房者是否更優(yōu)惠？為什么？
11.某工廠今年頭三個月生產甲、乙兩種產品，已知甲種產品1月份生產16件，以后每月比上月增長相同的百分率；乙種產品每月比上月增產10件．又知2月份的甲、乙兩種產品的產量之比為2:3，且3月份的兩種產品的產量之和為65件，求甲種產品每月的增長率和乙種產品1月份的產量．
題型二：工作效率問題
一、解答題
1．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學?？计谀┰诮衲暝绿柕膶W雷鋒活動中，八年級和九年級的共青團員去參加美化校園活動，如果八年級共青團員單獨做小時，九年級共青團員再單獨做小時，那么恰好能完成全部任務的；如果九年級共青團員先做小時，剩下的由八年級共青團員單獨完成，那么八年級共青團員所用時間恰好比九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間多小時，求八九年級共青團員單獨完成美化校園活動分別各需多少小時．
2．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┠硡^(qū)招辦處在中考招生錄取工作時，為了防止數據輸入出錯，全區(qū)3600名學生的成績數據分別由李某、王某兩位同志進行操作，兩人各自獨立地輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致．已知李某的輸入速度是王某的2倍，結果李某比王某少用2小時輸完．問李某、王某兩人每分鐘分別能輸入多少名學生的成績？
3．（2020春·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學校考階段練習）某校八（1）班和四川省某貧困縣一所中學的八（2）班是牽手班級，八（1）班所有學生準備捐款3600元幫助小伙伴們來購置學習用品，在實際捐款中又有4名老師參加，如果總的捐款數不變，則參加捐款的每人平均少捐了10元，求這個班的人數．
4．（2021春·上海浦東新·八年級校聯考期末）在疫情防控常態(tài)化背景下，每周需要對面積為4800平方米的倉庫進行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任務．為提高效率采用機器人消毒，機器人消毒每分鐘消毒面積比人工操作多60平方米，并且提前40分鐘完成消毒任務．求人工操作每分鐘消毒面積為多少平方米．
5．（2020春·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期末）新冠肺炎疫情期間，工廠需加工一種口罩250萬個，在加工了100萬個后，采用了新技術，使每天比原來多加工2.5萬個，結果提前了3天完成任務，求工廠原來每天加工多少萬個口罩？
6．（2022春·上海·八年級專題練習）某地響應“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經濟轉型”發(fā)展理念，開展“美化綠色城市”活動，綠化升級改造了總面積為360萬平方米的區(qū)域．實際施工中，由于采用了新技術，實際平均每年綠化升級改造的面積是原計劃平均每年綠化升級改造的面積的2倍，所以比原計劃提前4年完成了上述綠化升級改造任務．實際平均每年綠化升級改造的面積是多少萬平方米？
7．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校橛泳€下開學，某學校決定對原有的排水系統(tǒng)進行改造，如果甲組先做5天后，剩下的工程由乙組單獨承擔，還需7.5天才能完工，為了早日完成工程，甲乙兩組合作施工，6天完成了任務；甲乙兩組單獨完成此項工程各需要多少天？
8．（2020春·上海金山·八年級統(tǒng)考階段練習）某街道1000米的路面下雨時經常嚴重積水．需改建排水系統(tǒng)．市政公司準備安排甲、乙兩個工程隊做這項工程，根據評估，有兩個施工方案：
方案一：甲、乙兩隊合作施工，那么12天可以完成；
萬案二：如果甲隊先做10天，剩下的工程由乙隊單獨施工，還需15天才能完成．
（l）甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需多少天？
（2）方案一中，甲、乙兩隊實際各施工了多少米？
9．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校┠承^(qū)為了排污，需鋪設一段全長為720米的排污管道，為減少施工對居民生活的影響，需縮短施工時間，實際施工時每天的工作效率比原計劃提高20%，結果提前2天完成任務．求原計劃每天鋪設多少米？
10.某工廠甲、乙兩個車間各生產300個零件，按原來的工效，乙車間需要比甲車間多用一天的時間完成，現在甲、乙兩車間都提高了工效，其中甲車間工效提高了20%，而乙車間提高了一倍，結果生產同樣的300個零件，乙車間比甲車間少用了2天就可完成，問甲、乙兩車間原來生產300個零件各需要多少天?
11.已知甲、乙、丙三人做某項工作，甲獨做所需要的時間是乙、丙兩人合做這件工作的a倍，乙獨做需要的時間是甲、丙兩人合做這件工作的b倍，求丙獨做所用的時間是甲、乙兩人合做此工作的幾倍．
12.一個水池有甲、乙兩個進水管，單獨開放甲管注滿水池比單獨開放乙管少用10小時，如果單獨開放甲管10個小時后，加入乙管，需要6個小時把水池注滿，那么單獨開放一個水管，需要多少小時才可以把水池注滿?
題型三：利潤問題
一、解答題
1．（2022春·上海楊浦·八年級校考期末）兒童節(jié)前，某玩具商店根據市場調查，用3000元購進一批兒童玩具，上市后很快脫銷，接著又用5400元購進第二批這種玩具，所購數量比第一批增加了30件，但每套進價多了10元．已知兩次購入的玩具數都沒有超過100件，求第一批玩具每套的進價．
2．（2022春·上海徐匯·八年級統(tǒng)考期末）激光電視的光源是激光，它運用反射成像原理，屏幕不通電無輻射，降低了對消費者眼睛的傷害．某電器商行銷售的某款激光電視去年銷售總額為800萬元，由于技術革新和成本降低，今年這款激光電視每臺銷售價比去年降低4000元，若要保持銷售總額不變，今年這款激光電視的銷售量要比去年多100臺，今年這款激光電視每臺的售價是多少元？
3．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造．該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數是規(guī)定天數的3倍．如果由甲、乙隊先合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需10天．
(1)這項工程的規(guī)定時間是多少天？
(2)已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成．則該工程施工費用是多少？
4．（2022春·上海·八年級專題練習）某校為了準備“迎新活動”，用900元購買了甲、乙兩種禮品共240個，其中購買甲種禮品比乙種禮品少用了180元．
（1）購買甲種禮品一共用去____________元；（請直接寫出答案）
（2）如果甲種禮品的單價是乙種禮品單價的2倍，那么乙種禮品的單價是多少元？
5．（2021春·上海·八年級上海市第四中學?？计谥校┠成痰甑谝淮斡?00元購進某種型號的鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但每支的進價比第一次貴1元，所以購進數量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支鉛筆的進價和購買的數量．
（2）若將這兩次購買的鉛筆按同一單價（元/支）全部銷售完畢，并要求總利潤不低于420元．求總利潤（元）關于單價（元/支）的函數關系式及定義域．
6．（2020春·上?！ぐ四昙壭Ｂ摽计谥校┬∶髟谄胀ㄉ虉鲋杏?6元購買了一種商品，后來他在網上發(fā)現完全相同的這一商品在網上購買比普通商場中每件少2元，他用90元在網上再次購買這一商品，比上次在普通商場中多買了3件．問小明在網上購買的這一商品每件幾元？
7．（2021春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ形髂夏７吨袑W?？计谥校W校開展“書香校園”活動，購買了一批圖書．已知購買科普類圖書花費了10000元，購買文學類圖書花費了9000元，其中科普類圖書平均每本的價格比文學類圖書平均每本的價格貴5元，且購買科普類圖書的數量比購買文學類圖書數量少100本，科普類圖書平均每本的價格是多少元？
8．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校昀习迦D書批發(fā)市場購買某種圖書. 第一次用1200元購書若干本，并按該書定價7元出售，很快售完，由于該書暢銷，第二次購書時，每本書的批發(fā)價已比第一次提高了，他用1500元所購該書數量比第一次多10本，當按定價售出200本時，出現滯銷，便以定價的4折售完剩余的書. 試問該老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了（不考慮其它因素）？若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多少？
9．（2022春·上海·八年級專題練習）某中學為配合開展“垃圾分類進校園”活動，新購買了一批不同型號的垃圾分類垃圾桶，學校先用2700元購買了一批給班級使用的小號垃圾桶，再用3600元購買了一批放在戶久使用的大號垃圾桶，已知每個大號垃圾桶的價格是小號垃圾桶的4倍，且購買的數量比小號垃圾桶少40個，求每個小號垃圾桶的價格是多少元？
10．（2019秋·上海普陀·八年級?？茧A段練習）某書店兩次從圖書批發(fā)市場購進某種圖書，每次都用2000元，其中第二次購進這種書每本的批發(fā)價比第一次每本的批發(fā)價降低了2元，且比第一次購進的書多了50本，求第一次購書時每本的批發(fā)價.
11.某水果店在水果批發(fā)市場用100元購進一批甲種水果，再用100元購進一批乙種水果，已知購進的乙種水果比甲種水果多10千克，乙種水果的批發(fā)價比甲種水果的批發(fā)價低0.5元/千克．
（1）求甲乙兩種水果各購進了多少千克?
（2）購進水貨當天，甲乙兩種水果都按照2.8元/千克出售，乙種水果很快售完，而甲種水果先售出剩余的按售價打5折出售，這一天的水果買賣是否賺錢?如果賺錢了，賺多少?如果不賺錢，那么賠了多少?
12.某中學庫存960套舊課桌椅，準備修理后捐助給貧困山區(qū)學校，現在有甲乙兩個木工小組都希望承攬這項業(yè)務，經協(xié)商研究得知：甲小組單獨修理這批桌椅比乙小組單獨修理要多用20天；乙小組每天比甲小組多修理8套；學校每天需要付甲乙小組修理費分別是80元和120元；
求甲乙兩個小組每天各修理課桌椅多少套?
在修理桌椅的過程中，學校委派一名維修工進行質量監(jiān)控，由學校每天發(fā)出10元錢作為生活補貼；現在有三種修理方案：方案一由甲單獨修理；方案二由乙單獨修理；方案三由甲乙共同修理；選擇哪種方案，更省錢?
題型四：行程問題
一、解答題
1．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學?？茧A段練習）若A、B兩地相距30千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，且甲比乙早出發(fā)2小時．如果乙比甲每小時多行2千米，那么兩人恰好在AB中點相遇．求甲、乙兩人的速度各是每小時多少千米？
2．（2022春·上海·八年級?？计谥校┘滓覂扇朔謩e從相距27公里的A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，3小時相遇，相遇后兩人用原來的速度繼續(xù)前進，甲到達B地比乙到達A地快1小時21分鐘，則甲乙兩人的速度分別是多少？
3．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ惺形鞒跫壷袑W?？计谥校┮涣谢疖嚨竭_A站已經晚點6分鐘，如果將速度每小時加快10千米，那么繼續(xù)行駛20千米便可以在B站正點到達，求火車原來行駛的速度．
4．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┘?、乙兩輛客車分別從相距400千米的A、B兩站同時出發(fā)，相向而行，相遇時乙車行駛了250千米，如果乙車每小時比甲車多走20千米，求甲、乙兩車速度．
5．（2021春·上海松江·八年級?？计谥校┮涣谢疖嚨竭_A站已經晚點6分鐘，如果按原速度繼續(xù)行駛20千米到達B站，也晚點6分鐘，但如果從A站到B站將速度每小時加快10千米，那么可以在B站準點到達，求火車原來行駛的速度．
6．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校W校組織八年級部分學生乘坐甲、乙兩輛大客車到洋山深水港參觀，已知連接臨港新城和深水港的東海大橋全長30千米，假設兩車都勻速行駛，甲車比乙車早6分鐘上橋，但由于乙車每小時比甲車多行10千米，所以甲、乙兩車同時下橋，求甲車的速度．
7．（2022春·上海·八年級?？计谥校?021年5月22日，“祝融號”火星車安全駛離著陸平臺，到達火星表面，開始巡視探測工作．著陸點附近的火星表面照片顯示，最佳探測路線有兩條，西線地勢平坦，行程米，東線地勢稍有起伏，行程米，走西線比走東線多用小時，走西線的速度比走東線的速度每小時快米．同時，為了確保安全，火星車的速度要小于米/小時，問走東線、走西線的速度各是多少？
8．（2021·上?！ぐ四昙壠谀閼c祝建黨100周年，某中學組織八年級學生進行徒步活動，從學校出發(fā)，步行至離校千米的紅色基地，返回時，由于步行速度比去時每小時少千米，結果時間比去時多用了半小時，求學生返回時步行的速度．
9．（2019秋·上海·八年級?？茧A段練習）兩個小組同時開始攀登一座高的山，第一組的攀登速度是第二組的1.2倍，他們比第二組早到達頂峰．
（1）兩個小組的攀登速度各是多少？
（2）如果山高為，第一組的攀登速度是第二組的倍，并比第二組早到達頂峰，則兩組的攀登速度各是多少？
10．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┌四昙壍膶W生去距學校10千米的科技館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了25分鐘，其余的學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達，已知每小時汽車的速度比騎自行車學生速度的2倍還多10千米，求騎車學生每小時行多少千米？
11．（2020春·上海松江·八年級統(tǒng)考期末）甲，乙兩人同時從地出發(fā)，沿相同路線騎自行車前往距離地15千米的地，已知甲比乙平均每小時多騎1千米，但由于甲在路上修自行車耽擱了半小時，結果兩人同時到達地，求甲，乙兩人每小時各騎行多少千米？
12．（2021春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┙陙?，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程的普通道路，路線包含快速通道，全程，走路線比走路線平均速度提高，時間節(jié)省，求走路線的平均速度．
13．（2020春·八年級?？颊n時練習）A、B兩個碼頭相距6千米,一只船從A出發(fā)劃船逆流而上用了1小時30分鐘到達B．回來時，開始的路程劃船前進，余下的路程讓船順水漂移到達A地，結果來去所用時間相同．求船在靜水中的劃行速度和水流速度．
14．（2023春·八年級單元測試）甲、乙兩輛車同時從A地出發(fā)開往距A地240千米的B地，結果甲車比乙車早到了60分鐘；第二次乙車提速30千米/小時，結果比甲車早到20分鐘， 求第一次甲、乙兩車的速度各是多少？
15.甲、乙兩人分別從相距27千米的A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，3小時相遇，隨后兩人按照原來的速度繼續(xù)前進，甲到達B地比乙到達A地少用1小時21分鐘，求兩人的速度．
題型五：幾何圖形問題
一、解答題
1．（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M才實驗中學?？计谥校┰谥校?，，射線上有一點分別為點P關于直線的對稱點，連接
(1)如圖1，當點P在線段 上時，則______，______．
(2)如圖2，當點P在線段的延長線上時．根據題意補全圖形，并探究是否存在點P，使得，若存在，直接寫出滿足條件時的長度；若不存在，說明理由．
2．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校┰谛旭偼昴扯稳?00千米的高速公路時，李師傅對張師傅說：“你的車速太快了，平均每小時比我多跑20千米，比我少用1.5小時就跑完了全程．”
(1)若這段高速公路全程限速110千米/時，如若兩人全程均勻速行駛，那么張師傅超速了嗎？請說明理由．
(2)張師傅所行駛的車內油箱余油量y（升）與行駛時間t（時）的函數關系如圖所示，則行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油？
3．（2022春·上海寶山·八年級校考階段練習）如圖反映了甲、乙兩名自行車愛好者同時騎車從地到地進行訓練時行駛路程（千米）和行駛時間（小時）之間關系的部分圖像，根據圖像提供的信息，解答下列問題：
（1）求乙的行駛路程和行駛時間之間的函數解析式；
（2）如果甲的速度一直保持不變，乙在騎行小時之后又以第小時的速度騎行，結果兩人同時到達地，求、兩地之間的距離．
4．（2019春·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期中）在行駛完某段全程600千米的高速公路時，李師傅對張師傅說：“你的車速太快了，平均每小時比我多跑20千米，比我少用1.5小時就跑完了全程．”
（1）若這段高速公路全程限速120千米/小時，兩人全程均勻速行駛．那么張師傅超速了嗎？請說明理由；
（2）張師傅所行駛的車內油箱余油量（升）與行駛時間（時）的函數關系如圖所示，則行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油？
5．（2020春·上海靜安·八年級?？计谥校┰趧?chuàng)建文明城區(qū)的活動中，有兩端長度相等的彩色道磚鋪設任務，分別交給甲、乙兩個施工隊同時進行施工.如圖是反映所鋪設彩色道磚的長度（米）與施工時間（時）之間的關系的部分圖像.請解答下列問題.
（1）甲隊在的時段內的速度是 米/時.乙隊在的時段內的速度是 米/時. 6小時甲隊鋪設彩色道磚的長度是 米，乙隊鋪設彩色道磚的長度是 米.
（2）如果鋪設的彩色道磚的總長度為150米，開挖6小時后，甲隊、乙隊均增加人手，提高了工作效率，此后乙隊平均每小時比甲隊多鋪5米，結果乙反而比甲隊提前1小時完成總鋪設任務.求提高工作效率后甲隊、乙隊每小時鋪設的長度分別為多少米？
A
B
C
D
E
6.如圖，筆直公路上A、B兩點相距10千米，C、D為兩居民區(qū)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，現要在公路AB段上建一超市E，使C、D兩居民區(qū)到E的距離相等，則超市E應建在離A處多遠處．
7.有一塊長x米，寬120米（x>120）的長方形，投資方計劃將它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙為正方形，甲為住宅區(qū)，乙為商場，丙為公司，若已知丙地的面積為3200米，求x的值．
甲
乙
丙

8.有一塊長為80米，寬為50米的長方形綠地，其中有三條直路（圖中的陰影部分，道路的一邊AD與長方形綠地的一邊平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的長度都相等，其余部分種植綠化）．已知道路的面積為352平方米，求道路出入口的邊的長度
A
B
C
D
E
F
G
H
K
I
J
A
B
C
P
Q
R
9.等腰Rt△中，，動點從點出發(fā)，沿向點移動.通過點引平行于、的直線與、分別交于點、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于16cm2．


n
m
10.m、n為兩條互相垂直的筆直公路，工廠A在公路n上，距公路m為1千米，B與工廠A在公路m的同側，且距公路m為2千米，距公路n為3千米．現要在公路m上建造一個車站P，使它與A、B的距離之和為千米，求P的位置．
11.已知A（0，-1），B（0，4），點P在坐標軸上，且PA+PB=，求點P的坐標．
重難點02列方程（組）解應用題（5種題型）
目錄
題型一：增長率問題
題型二：工作效率問題
題型三：利潤問題
題型四：行程問題
題型五：幾何圖形問題
技巧方法
一、增長率問題公式：
其中a為初始值即變化前值，b為變化后值，x為增長率或者降低率．
二、工作效率問題：
工作總量=工作效率工作時間；
假設工作總量是1，則工作效率是．
三、利潤：
單件利潤=售價-成本； 總利潤=單件利潤銷售件數．
四、行程問題：
行程問題中三個變量：路程、速度和時間，關系如下：
路程=速度時間
可以通過等式的相關計算推導出速度、和時間的相關計算公式．
五、幾何圖形：
1、關于線段長度類問題，主要列無理方程求解；
2、與面積相關的問題；
3、圖形中的動點問題．
能力拓展
題型一：增長率問題
一、解答題
1．（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┮环N筆記本電腦，原來的售價是元，經過連續(xù)兩年的降價，今年每臺售價為元，每年降價的百分率相同．
(1)年降價的百分率是多少？
(2)小明是去年購買這種筆記本的，那么與今年的售價相比，他多付了多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）設平均每次降價的百分率為，則第一次降價后的售價為元，第二次的降價后的售價為元，根據題意可列出方程，據此求解即可．
（2）用現價減去去年的價格即可求解．
【詳解】（1）解：設每年降價的百分率是，根據題意可得：
，
解得，舍去
答：每年降價的百分率為．
（2）解：，
答：他多付了元．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用—增長率問題，有理數的混合計算的應用，關鍵是會根據增長率列出式子，再找到等量關系列出方程．
2．（2022秋·上海奉賢·八年級校聯考期中）今年超市以每件25元的進價購進一批商品，當商品售價為40元時，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎上，五月份的銷售量達到400件．
(1)求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率．
(2)經市場預測，六月份的銷售量將與五月份持平，現商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，經調查發(fā)現，該商品每降價1元，月銷量增加5件，當商品降價多少元時，商場六月份可獲利4250元？
【答案】(1)四、五這兩個月的月平均增長百分率為
(2)當商品降價5元時，商場六月份可獲利4250元
【分析】（1）利用平均增長率的等量關系：，列式計算即可；
（2）利用總利潤＝單件利潤×銷售數量，列方程求解即可．
【詳解】（1）解：設平均增長率為，由題意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五這兩個月的月平均增長百分率為；
（2）解：設降價元，由題意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴當商品降價5元時，商場六月份可獲利4250元．
【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用．根據題意正確的列出一元二次方程是解題的關鍵．
3．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┤ツ昴成痰辍笆稽S金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的．
(1)求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；
(2)去年，該商店月份的營業(yè)額為375萬元，，月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與月份的營業(yè)額相等．求該商店去年，月份營業(yè)額的月增長率．
【答案】(1)540萬元
(2)
【分析】（1）根據該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額=前六天的總營業(yè)額+第七天的營業(yè)額，即可求出結論；
（2）設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，根據該商店去年7月份及9月份的營業(yè)額，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
【詳解】（1）解：根據題意，則
（萬元），
∴該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為540萬元；
（2）解：設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，依題意，得：
，
解得：或（舍去）；
∴該商店去年，月份營業(yè)額的月增長率為．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
4．（2022秋·上海·八年級專題練習）某產品5月份時每件200元，在6、7月進行了兩次提價，且每次提價的百分率相同，此時售價為288元，后因產品銷售問題，8月選擇降價，降價的百分率與之前每次提價的百分率相同，求8月份該產品的售價？
【答案】230.4元
【分析】設每次提價的百分率為x，由連續(xù)兩次提價，且每次提價的百分率相同，此時售價為288元，列一元二次方程200（1﹣x）2＝288，再由直接開平方解答．
【詳解】解：設每次提價的百分率為x，
依題意得：200（1﹣x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合題意，舍去），
∴288×（1﹣20%）＝230.4（元）．
答：8月份該產品的售價為230.4元．
【點睛】本題考查一元二次方程的應用—增長率問題，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．
5．（2022春·上海·八年級專題練習）為了讓我們的小朋友們有更好的學習環(huán)境，我校2020年投資110萬元改造硬件設施，計劃以后每年以相同的增長率進行投資，到2022年投資額將達到185.9萬元．
（1）求我校改造硬件設施投資額的年平均增長率；
（2）從2020年到2022年，這三年我校將總共投資多少萬元？
【答案】（1）我校改造硬件設施投資額的年平均增長率為30%；（2）從2020年到2022年，這三年我校將總共投資438.9萬元
【分析】（1）設我校改造硬件設施投資額的年平均增長率為x，利用2022年投資額＝2020年投資額×（1+年平均增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）利用這三年我?？偣餐顿Y的金額＝2020年投資額+2020年投資額×（1+年平均增長率）+2022年投資額，即可求出結論．
【詳解】解：（1）設我校改造硬件設施投資額的年平均增長率為x，
依題意得：110（1+x）2＝185.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合題意，舍去）．
答：我校改造硬件設施投資額的年平均增長率為30%．
（2）110+110×（1+30%）+185.9
＝110+143+185.9
＝438.9（萬元）．
答：從2020年到2022年，這三年我校將總共投資438.9萬元
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及有理數的混合運算，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據各數量之間的關系，列式計算．
6．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）經預算，某工廠從2022年1月份起，每月生產收入是22萬元，但在生產過程中會引起環(huán)境污染，若再按現狀生產，將會受到環(huán)境部門的處罰，每月罰款2萬元；如果投資85萬元治理污染，治污系統(tǒng)可在2022年1月份啟用，這樣，該廠不但不受處罰，還可降低生產成本，使1月至3月份的生產收入以相同的百分率逐月增長．經預算，投資治污后，1月份生產收入為25萬元，3月份的生產收入可達36萬元．3月份以后，每月的生產收入穩(wěn)定在3月份的水平．
（1）求出投資治污后，2月和3月每月生產收入增長的百分率；
（2）如果利潤看作是生產累計收入減去治理污染的投資和環(huán)境部門的罰款，試問：治理污染多少個月后，所投資金開始見成效？即治污多少個月后所獲利潤不小于不治污情況下所獲利潤）
【答案】（1）投資治污后，2月和3月每月生產收入增長的百分率為20%；（2）治理污染7個月后，所投資金開始見成效
【分析】（1）設投資治污后，2月和3月每月生產收入增長的百分率為x，再根據1月份生產收入為25萬元，3月份的生產收入可達36萬元列出方程求解即可得到答案；
（2）設治理污染y個月后，所投資金開始見成效，先分別求出治理污染后2月份和3月份的收入，即可得到1-3月的總收入，然后判斷前三個月的收入不能見效，最后根據題意列出不等式求解即可．
【詳解】解：（1）設投資治污后，2月和3月每月生產收入增長的百分率為x，
由題意得：，
解得，
∴投資治污后，2月和3月每月生產收入增長的百分率為20%；
（2）設治理污染y個月后，所投資金開始見成效，
根據（1）所求可得治理污染后2月份的生產收入是 萬元，
∴治理污染后3月份的生產收入是萬元，
∴治理污染后，前三個月的總收入為萬元，
∵，
∴，
解得，
∵y是整數，
∴治理污染7個月后，所投資金開始見成效，
答：治理污染7個月后，所投資金開始見成效．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，解題的關鍵在于能夠正確理解題意，列出式子求解．
7．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）隨著國內新能源汽車的普及，為了適應社會的需求，全國各地都在加快公共充電樁的建設，某省年公共充電樁的數量為萬個，年公共充電樁的數量為萬個．
（1）求年至年該省公共充電樁數量的年平均增長率；
（2）按照這樣的增長速度，預計年該省將新增多少萬個公共充電樁？
【答案】（1）；（2）萬個
【分析】（1）設2018年至2020年該省公共充電樁數量的年平均增長率為，根據該省2018年及2020年公共充電樁的數量，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）根據該省2021年公共充電樁數量該省2020年公共充電樁數量增長率，即可求出結論．
【詳解】解：（1）設2018年至2020年該省公共充電樁數量的年平均增長率為，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：2018年至2020年該省公共充電樁數量的年平均增長率為．
（2）（萬個）．
答：預計2021年該省將新增2.023萬個公共充電樁．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程．
8．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）山清水秀的東至縣三條嶺已成為游客最喜歡的旅游地之一，其中“蔡嶺”在2019年“五一”小長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2021年“五一”小長假期間，接待游客2.88萬人次，在蔡嶺，一家特色小面店希望在“五一”小長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗10元，借鑒以往經驗，若每碗賣15元，平均每天將銷售120碗，若價格每提高0.5元，則平均每天少銷售4碗，每天店面所需其他各種費用為168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；
（2）為了更好地維護東至縣形象，物價局規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天凈利潤600元？（凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費用）
【答案】（1）20%；（2）18元
【分析】（1）可設年平均增長率為x，根據等量關系：2019年五一長假期間，接待游客達209萬人次，在2021年五一長假期間，接待游客將達2.88萬人次，列出方程求解即可；
（2）可設每碗售價定為y元時，店家才能實現每天利潤600元，根據利潤的等量關系列出方程求解即可．
【詳解】解：（1）可設年平均增長率為x，依題意，得：
2（1＋x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增長率為20%；
（2）設每碗售價定為y元時，店家才能實現每天利潤600元，依題意得：
（y﹣10）·[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，
解得：y1＝18，y2＝22，
∵每碗售價不得超過20元，
∴y＝18．
答：當每碗售價定為18元時，店家才能實現每天利潤600元．
【點睛】本題考查一元二次方程的應用，讀懂題意，找到等量關系，正確列出方程是解答的關鍵．
9．（2022春·上海·八年級專題練習）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．
（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；
（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．
【答案】（1）504萬元；（2）20%．
【分析】(1)根據“前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%”即可求解；
(2)設去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，則十一黃金周的月營業(yè)額為350(1+x)2，根據“十一黃金周這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等”即可列方程求解．
【詳解】解：(1)第七天的營業(yè)額是450×12%=54(萬元)，
故這七天的總營業(yè)額是450+450×12%=504(萬元)．
答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．
(2)設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，
依題意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合題意，舍去)．
答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．
【點睛】本題考查了一元二次方程的增長率問題，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
10．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校┠持行某鞘杏幸粯潜P，開發(fā)商準備以每平方米7000元價格出售，由于國家出臺了有關調控房地產的政策，開發(fā)商經過兩次下調銷售價格后，決定以每平方米5670元的價格銷售．
（1）求平均每次下調的百分率；
（2）房產銷售經理向開發(fā)商建議：先公布下調5%，再下調15%，這樣更有吸引力，請問房產銷售經理的方案對購房者是否更優(yōu)惠？為什么？
【答案】（1）平均每次下調的百分率為10%．（2）房產銷售經理的方案對購房者更優(yōu)惠．
【分析】（1）根據利用一元二次方程解決增長率問題的要求，設出未知數，然后列方程求解即可；
（2）分別求出兩種方式的增長率，然后比較即可.
【詳解】（1）設平均每次下調x%，則
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合題意，舍去）；
答：平均每次下調的百分率為10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房產銷售經理的方案對購房者更優(yōu)惠．
11.某工廠今年頭三個月生產甲、乙兩種產品，已知甲種產品1月份生產16件，以后每月比上月增長相同的百分率；乙種產品每月比上月增產10件．又知2月份的甲、乙兩種產品的產量之比為2:3，且3月份的兩種產品的產量之和為65件，求甲種產品每月的增長率和乙種產品1月份的產量．
【難度】★★★
【答案】甲產品每月產量增長率是，乙產品1月份的產量為20件．
【解析】設甲種產品每月的增長率為，則甲2月份的產量為，3月份的產量為，
則乙3月份產量為，2月份的產量為，
依題意可得：，整理得，
解得：，（舍），即得甲產品每月產量增長率是，
乙產品1月份的產量為件．
【總結】考查降低（增長）率問題的應用，注意各個月份產量的表示．
題型二：工作效率問題
一、解答題
1．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學?？计谀┰诮衲暝绿柕膶W雷鋒活動中，八年級和九年級的共青團員去參加美化校園活動，如果八年級共青團員單獨做小時，九年級共青團員再單獨做小時，那么恰好能完成全部任務的；如果九年級共青團員先做小時，剩下的由八年級共青團員單獨完成，那么八年級共青團員所用時間恰好比九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間多小時，求八九年級共青團員單獨完成美化校園活動分別各需多少小時．
【答案】八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時，九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時．
【分析】設九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時，則八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時，根據“八年級共青團員單獨做小時，九年級共青團員再單獨做小時，那么恰好能完成全部任務的”，即可得出關于的分式方程，解之經檢驗后即可求出九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間，再將其代入中可求出八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間．
【詳解】解：設九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時，則八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時，
依題意得：，
整理得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合題意，
∴，
∴八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時，九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
2．（2022春·上海·八年級期末）某區(qū)招辦處在中考招生錄取工作時，為了防止數據輸入出錯，全區(qū)3600名學生的成績數據分別由李某、王某兩位同志進行操作，兩人各自獨立地輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致．已知李某的輸入速度是王某的2倍，結果李某比王某少用2小時輸完．問李某、王某兩人每分鐘分別能輸入多少名學生的成績？
【答案】李某每分鐘能輸入30名學生的成績，王某每分鐘能輸入15名學生的成績．
【分析】有工作總量3600，求的是工作效率，那么一定是根據工作時間來列等量關系的．關鍵描述語是：“李某比王某少用2小時輸完”，等量關系為：王某用的時間－2＝李某用的時間，據此列出方程并解方程即可．
【詳解】解：設王某每分鐘能輸入名學生的成績，則李某每分鐘能輸入名學生的成績，
根據題意得：，
解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
所以，
答：李某每分鐘能輸入30名學生的成績，王某每分鐘能輸入15名學生的成績．
【點睛】本題主要考查分式方程，應用題中一般有三個量，求一個量，明顯的有一個量，一定是根據另一量來列等量關系的，注意：解分式方程一定要檢驗且要符合題意．找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
3．（2020春·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？茧A段練習）某校八（1）班和四川省某貧困縣一所中學的八（2）班是牽手班級，八（1）班所有學生準備捐款3600元幫助小伙伴們來購置學習用品，在實際捐款中又有4名老師參加，如果總的捐款數不變，則參加捐款的每人平均少捐了10元，求這個班的人數．
【答案】36人
【分析】設這個班有人，根據題意即可列出分式方程，解即可求得．
【詳解】解：設這個班有人，
根據題意得，．
整理得
解得 ，
經檢驗，，都是原方程得根，因為人數不能為負數，
所以
答：這個班級有36人．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，根據數量關系列出方程是解決問題的關鍵，注意分式方程要檢驗．
4．（2021春·上海浦東新·八年級校聯考期末）在疫情防控常態(tài)化背景下，每周需要對面積為4800平方米的倉庫進行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任務．為提高效率采用機器人消毒，機器人消毒每分鐘消毒面積比人工操作多60平方米，并且提前40分鐘完成消毒任務．求人工操作每分鐘消毒面積為多少平方米．
【答案】60平方米
【分析】根據題意得出“人工操作所需的時間－機器從消毒所需的時間＝40分鐘”，設人工操作每分鐘消毒面積為x平方米，則機器人消毒每分鐘消毒面積為（x＋60）平方米，則可列出方程，求解后即可．
【詳解】解：設人工操作每分鐘消毒面積為x平方米，則機器人消毒每分鐘消毒面積為（x＋60）平方米，根據題意得：
，
則，
解得（不合題意，舍去），，
經檢驗，是原方程的解．
所以，人工操作每分鐘消毒面積為60平方米．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據題意找出等量關系，并列出方程進行求解是解題的關鍵．
5．（2020春·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期末）新冠肺炎疫情期間，工廠需加工一種口罩250萬個，在加工了100萬個后，采用了新技術，使每天比原來多加工2.5萬個，結果提前了3天完成任務，求工廠原來每天加工多少萬個口罩？
【答案】該廠原來每天加工10萬個口罩．
【分析】設該廠原來每天加工萬個口罩，根據工廠需加工一種口罩250萬個，在加工了100萬個后，采用了新技術，使每天比原來多加工2.5萬個，結果提前了3天完成任務，可列方程求解．
【詳解】解：設原來每天加工萬個口罩，采用了新技術后，每天加工（）萬個口罩，
根據題意得：，
整理得：，
解得：，
經檢驗，均是原方程的解，
但不符合題意，舍去．
答：該廠原來每天加工10萬個口罩．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，關鍵是以時間做為等量關系，根據天數=加工的個數除以每天加工的個數列方程求解即可．
6．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）某地響應“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經濟轉型”發(fā)展理念，開展“美化綠色城市”活動，綠化升級改造了總面積為360萬平方米的區(qū)域．實際施工中，由于采用了新技術，實際平均每年綠化升級改造的面積是原計劃平均每年綠化升級改造的面積的2倍，所以比原計劃提前4年完成了上述綠化升級改造任務．實際平均每年綠化升級改造的面積是多少萬平方米？
【答案】實際平均每年綠化升級改造的面積是90萬平方米．
【分析】設原計劃每年綠化升級改造的面積是x萬平方米，則實際每年綠化升級改造的面積是2x萬平方米，根據“實際平均每年綠化升級改造的面積是原計劃平均每年綠化升級改造的面積的2倍，所以比原計劃提前4年完成了上述綠化升級改造任務”列出方程即可求解．
【詳解】解：設原計劃每年綠化升級改造的面積是x萬平方米，則實際每年綠化升級改造的面積是2x萬平方米，根據題意，得：
，
解得：x=45，
經檢驗，x=45是原分式方程的解，
則2x=2×45=90．
答：實際平均每年綠化升級改造的面積是90萬平方米．
【點睛】此題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，根據題意設出適當的未知數，找出等量關系，列方程求解，注意檢驗．
7．（2022春·上海·八年級期中）為迎接線下開學，某學校決定對原有的排水系統(tǒng)進行改造，如果甲組先做5天后，剩下的工程由乙組單獨承擔，還需7.5天才能完工，為了早日完成工程，甲乙兩組合作施工，6天完成了任務；甲乙兩組單獨完成此項工程各需要多少天？
【答案】甲組單獨完成此項工程需要10天，乙組單獨完成此頂工程需要15天．
【分析】設甲組單獨完成此項工程需要x天，則乙組單獨完成此頂工程需要天．等量關系：甲組先做5天的工作量+乙做7.5天的工作量＝1．
【詳解】設甲組單獨完成此項工程需要x天，則乙組單獨完成此頂工程需要天．
依題意得
解得x＝10，
經檢驗，x＝10是原方程的根，
當x＝10時，＝＝15．
答：甲組單獨完成此項工程需要10天，乙組單獨完成此頂工程需要15天．
【點睛】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．本題應用的公式：工作總量=工作時間×工效．
8．（2020春·上海金山·八年級統(tǒng)考階段練習）某街道1000米的路面下雨時經常嚴重積水．需改建排水系統(tǒng)．市政公司準備安排甲、乙兩個工程隊做這項工程，根據評估，有兩個施工方案：
方案一：甲、乙兩隊合作施工，那么12天可以完成；
萬案二：如果甲隊先做10天，剩下的工程由乙隊單獨施工，還需15天才能完成．
（l）甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需多少天？
（2）方案一中，甲、乙兩隊實際各施工了多少米？
【答案】（1）甲隊單獨完成需20天，乙隊單獨完成需30天；（2）甲隊實際施工600米，乙隊實際施工400米
【分析】（1）本題有兩個相等關系：甲、乙兩隊合作施工12天完成的工作量之和=1，甲隊先做10天完成的工作量+乙隊單獨施工15天完成的工作量=1，據此設未知數列方程組解答即可；
（2）根據（1）題的結果列式計算即可．
【詳解】解：（1）設甲隊單獨完成此項工程需x天，乙隊單獨完成此項工程需y天，根據題意，得：
，解得：，
經檢驗：是所列方程組的解，
答：甲隊單獨完成此項工程需20天，乙隊單獨完成此項工程需30天．
（2）方案一中：甲隊實際施工=米，乙隊實際施工=米．
答：方案一中，甲、乙兩隊實際各施工了600米、400米．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，正確理解題意、找準相等關系是解題的關鍵．
9．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校┠承^(qū)為了排污，需鋪設一段全長為720米的排污管道，為減少施工對居民生活的影響，需縮短施工時間，實際施工時每天的工作效率比原計劃提高20%，結果提前2天完成任務．求原計劃每天鋪設多少米？
【答案】原計劃每天鋪設60米．
【分析】設原計劃每天鋪設管道為xm，故實際施工每天鋪設管道為1.2xm．等量關系為：原計劃完成的天數-實際完成的天數=2，根據這個關系列出方程求解即可．
【詳解】設原計劃每天鋪設管道x米，則實際每天鋪設管道1.2x米，
由題意，得
解得：x=60．
經檢驗，x=60是原方程的解．且符合題意．
答：原計劃每天鋪設管道60米．
【點睛】本題考查分式方程的應用，列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．期中找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
10.某工廠甲、乙兩個車間各生產300個零件，按原來的工效，乙車間需要比甲車間多用一天的時間完成，現在甲、乙兩車間都提高了工效，其中甲車間工效提高了20%，而乙車間提高了一倍，結果生產同樣的300個零件，乙車間比甲車間少用了2天就可完成，問甲、乙兩車間原來生產300個零件各需要多少天?
【難度】★★★
【答案】甲車間原來生產300個零件需要7.5天，乙車間需要8.5天．
【解析】設甲原來需要天，則乙原來需要天，依題意可得：，
解得：，即甲車間原來生產300個零件需要7.5天，乙車間需要8.5天．
【總結】考查工程問題一個量作設一個量列式．
11.已知甲、乙、丙三人做某項工作，甲獨做所需要的時間是乙、丙兩人合做這件工作的a倍，乙獨做需要的時間是甲、丙兩人合做這件工作的b倍，求丙獨做所用的時間是甲、乙兩人合做此工作的幾倍．
【難度】★★★
【答案】．
【解析】設甲、乙、丙需要的工作時間分別為，，，
依題意可得，，
分別整理可得，，
相加得，由此得．
【總結】考查工程問題的應用，注意找準字母之間的關系．
12.一個水池有甲、乙兩個進水管，單獨開放甲管注滿水池比單獨開放乙管少用10小時，如果單獨開放甲管10個小時后，加入乙管，需要6個小時把水池注滿，那么單獨開放一個水管，需要多少小時才可以把水池注滿?
【難度】★★★
【答案】單獨開放甲注水管需要20小時注滿水池，單獨開放乙注水管需要30小時注滿水池．
【解析】設甲需要，則乙需要，依題意可得，
整理得，解得：，，
經檢驗均是原方程的解，但不符合題意，舍去，
故單獨開放甲注水管需要20小時注滿水池，單獨開放乙注水管需要30小時注滿水池．
【總結】考查工程問題的應用，合作加獨做合為單位“1”，注意分式方程要檢驗．．
題型三：利潤問題
一、解答題
1．（2022春·上海楊浦·八年級校考期末）兒童節(jié)前，某玩具商店根據市場調查，用3000元購進一批兒童玩具，上市后很快脫銷，接著又用5400元購進第二批這種玩具，所購數量比第一批增加了30件，但每套進價多了10元．已知兩次購入的玩具數都沒有超過100件，求第一批玩具每套的進價．
【答案】50元
【分析】設第一批玩具每套的進價為x元，則第二批玩具每套的進價為（x＋10）元，根據數量＝總價÷單價，結合第二批比第一批多購進30套，解之經檢驗后即可得出x的值，再結合兩次購入的玩具數都沒有超過100套，即可確定x的值．
【詳解】解：設第一批玩具每套的進價為x元，則第二批玩具每套的進價為元，
依題意得，整理得：，即，
解得：，，
經檢驗，，均為原方程的解，
又∵兩次購入的玩具數都沒有超過100套，進價為元時，第一批第二批購進玩具均超過100件，
不合題意，舍去．
答：第一批玩具每套的進價為50元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，讀懂題意，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
2．（2022春·上海徐匯·八年級統(tǒng)考期末）激光電視的光源是激光，它運用反射成像原理，屏幕不通電無輻射，降低了對消費者眼睛的傷害．某電器商行銷售的某款激光電視去年銷售總額為800萬元，由于技術革新和成本降低，今年這款激光電視每臺銷售價比去年降低4000元，若要保持銷售總額不變，今年這款激光電視的銷售量要比去年多100臺，今年這款激光電視每臺的售價是多少元？
【答案】今年這款激光電視每臺的售價是16000元．
【分析】設今年這款激光電視每臺的售價是x元，則去年這款激光電視每臺的售價是（x+4000）元，利用數量＝總價÷單價，結合今年這款激光電視的銷售量要比去年多100臺，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．
【詳解】解：設今年這款激光電視每臺的售價是x元，則去年這款激光電視每臺的售價是（x+4000）元，
依題意得： ，
整理得x2＋4000x－320000000＝0，
解得：x1＝16000，x2＝﹣20000，
經檢驗，x1＝16000，x2＝﹣20000均為原方程的解，x2＝﹣20000不符合題意，舍去．
∴x＝16000．
答：今年這款激光電視每臺的售價是16000元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
3．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造．該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數是規(guī)定天數的3倍．如果由甲、乙隊先合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需10天．
(1)這項工程的規(guī)定時間是多少天？
(2)已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成．則該工程施工費用是多少？
【答案】(1)30天
(2)225000元
【分析】（1）設這項工程的規(guī)定時間是x天，根據題意列出方程，求解即可；
（2）先計算出甲乙兩隊合作的天數，再計算費用即可．
【詳解】（1）解：（1）設這項工程的規(guī)定時間是x天，根據題意得：
，
解得：x＝30．
經檢驗，x＝30是原分式方程的解．
答：這項工程的規(guī)定時間是30天．
（2）該工程由甲、乙隊合做完成，所需時間為：1÷（天），
則該工程施工費用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：該工程的費用為225000元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，解答此類工程問題，經常設工作量為“單位1”，注意仔細審題，運用方程思想解答．
4．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）某校為了準備“迎新活動”，用900元購買了甲、乙兩種禮品共240個，其中購買甲種禮品比乙種禮品少用了180元．
（1）購買甲種禮品一共用去____________元；（請直接寫出答案）
（2）如果甲種禮品的單價是乙種禮品單價的2倍，那么乙種禮品的單價是多少元？
【答案】（1）360；（2）3元
【分析】（1）購買甲種禮品一共用去x元，則購買乙種禮品一共用去（180+x）元，然后根據一共花了900元，列出方程求解即可；
（2）設乙種禮品單價是y元，則甲種禮品單價是2y元，然后根據用900元購買了甲、乙兩種禮品共240個，列出方程求解即可．
【詳解】解：（1）購買甲種禮品一共用去x元，則購買乙種禮品一共用去（180+x）元，
由題意得：x+180+x=900，
解得：x=360，
∴購買甲種禮品一共用去360元，
故答案為360；
（2）設乙種禮品單價是y元，則甲種禮品單價是2y元，
由題意得：，
解得：y＝3，
經檢驗，y＝3是原方程的根，并符合題意，
答：乙種禮品的單價是3元．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，分式方程的應用，解題的關鍵在于能夠準確理解題意，列出方程求解．
5．（2021春·上海·八年級上海市第四中學?？计谥校┠成痰甑谝淮斡?00元購進某種型號的鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但每支的進價比第一次貴1元，所以購進數量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支鉛筆的進價和購買的數量．
（2）若將這兩次購買的鉛筆按同一單價（元/支）全部銷售完畢，并要求總利潤不低于420元．求總利潤（元）關于單價（元/支）的函數關系式及定義域．
【答案】（1）第一次每支鉛筆的進價是4元，購進150支；（2）y＝270x?1200，定義域為x≥6
【分析】（1）利用第二次購進數量比第一次少了30支，進而得出關系式進而得出答案；
（2）利用（1）中所求，得出y＝（x?4）×150＋（x?5）×120從而列出不等式，求出x的范圍即可．
【詳解】解：（1）設第一次每支鉛筆的進價為a元/支，
則據題意得： ，
∴a1＝4，a2＝?5（舍），
經檢驗：a=4是方程的解，且符合題意，
600÷4＝150，
答：第一次每支鉛筆的進價是4元，購進150支；
（2）由題意得：y＝（x?4）×150＋（x?5）×120＝270x?1200，
∵y≥420，
∴270x?1200≥420，解得：x≥6，
即獲利y（元）關于單價x（元/支）的函數關系為：y＝270x?1200，定義域為x≥6．
【點睛】此題主要考查了一次函數的應用以及分式方程的應用，利用第二次購進數量比第一次少了30支列出分式方程是解題關鍵．
6．（2020春·上?！ぐ四昙壭Ｂ摽计谥校┬∶髟谄胀ㄉ虉鲋杏?6元購買了一種商品，后來他在網上發(fā)現完全相同的這一商品在網上購買比普通商場中每件少2元，他用90元在網上再次購買這一商品，比上次在普通商場中多買了3件．問小明在網上購買的這一商品每件幾元？
【答案】小明在網上購買的這一商品每件6元
【分析】設小明在網上購買的這一商品每件x元，小明在普通商場中用96元購買了一種商品，后來他在網上發(fā)現完全相同的這一商品在網上購買比普通商場中每件少2元，他用90元在網上再次購買這一商品，比上次在普通商場中多買了3件根據此可列方程求解．
【詳解】設小明在網上購買的這一商品每件x元．
，
x2+4x﹣60＝0，
x1＝﹣10，x2＝6．
經檢驗它們都是原方程的根，但x＝﹣10不符合題意．
答：小明在網上購買的這一商品每件6元．
【點睛】本題考查分式方程的應用，設出價格，根據件數作為等量關系列方程求解．
7．（2021春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ形髂夏７吨袑W校考期中）學校開展“書香校園”活動，購買了一批圖書．已知購買科普類圖書花費了10000元，購買文學類圖書花費了9000元，其中科普類圖書平均每本的價格比文學類圖書平均每本的價格貴5元，且購買科普類圖書的數量比購買文學類圖書數量少100本，科普類圖書平均每本的價格是多少元？
【答案】科普類圖書平均每本的價格為20元．
【分析】設科普類圖書平均每本的價格為x元，則文學類圖書平均每本的價格為（x-5）元，根據數量=總價÷單價結合用10000元購買科普類圖書比用9000元購買文學類圖書數量少100本，可得出關于x的分式方程，解之經檢驗即可得出結論．
【詳解】解：設科普類圖書平均每本的價格為x元，則文學類圖書平均每本的價格為（x-5）元，
根據題意得：，化簡得x2+5x-500=0，
解得：x=20或x=-25（舍去），
經檢驗，x=20是所列分式方程的解，且符合題意．
答：科普類圖書平均每本的價格為20元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用以及解一元二次方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
8．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校昀习迦D書批發(fā)市場購買某種圖書. 第一次用1200元購書若干本，并按該書定價7元出售，很快售完，由于該書暢銷，第二次購書時，每本書的批發(fā)價已比第一次提高了，他用1500元所購該書數量比第一次多10本，當按定價售出200本時，出現滯銷，便以定價的4折售完剩余的書. 試問該老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了（不考慮其它因素）？若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多少？
【答案】該老板兩次售書總體上是賺錢了，共賺了520元．
【分析】設第一次購書的單價為元，第二次購書的單價為元,根據前后的數量關系可得,可求出單價.
【詳解】解：設第一次購書的單價為元，第二次購書的單價為元．
根據題意得：
解得：.
經檢驗，是原方程的解.
所以第一次購書為（本）.
第二次購書為（本）.
第一次賺錢為（元）.
第二次賺錢為（元）.
所以兩次共賺錢（元）
答：該老板兩次售書總體上是賺錢了，共賺了520元．
【點睛】考核知識點：分式方程的應用.理解題意，弄清數量與單價關系是關鍵．
9．（2022春·上海·八年級專題練習）某中學為配合開展“垃圾分類進校園”活動，新購買了一批不同型號的垃圾分類垃圾桶，學校先用2700元購買了一批給班級使用的小號垃圾桶，再用3600元購買了一批放在戶久使用的大號垃圾桶，已知每個大號垃圾桶的價格是小號垃圾桶的4倍，且購買的數量比小號垃圾桶少40個，求每個小號垃圾桶的價格是多少元？
【答案】45
【分析】設每個小號垃圾桶的價格是元，則每個大號垃圾桶的價格是元，由購買大號垃圾桶的數量比小號垃圾桶少40個列出方程解答即可；
【詳解】設每個小號垃圾桶的價格是元，則每個大號垃圾桶的價格是元
依題意得：
解得：
經檢驗，是原方程的解
答：每個小號垃圾桶的價格是45元.
【點睛】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的相等關系，列方程求解．
10．（2019秋·上海普陀·八年級校考階段練習）某書店兩次從圖書批發(fā)市場購進某種圖書，每次都用2000元，其中第二次購進這種書每本的批發(fā)價比第一次每本的批發(fā)價降低了2元，且比第一次購進的書多了50本，求第一次購書時每本的批發(fā)價.
【答案】第一次購書時每本的批發(fā)價為10元．
【分析】本題首先依題意可知等量關系為第一次購書的本數=第二次購書的本數-50，根據等量關系列出方程，最后求出結果檢驗并作答．
【詳解】設第一次購書時每本的批發(fā)價為x元．根據題意得
，
化簡方程得x2-2x-80=0，
解得x1=10，x2=-8．
經檢驗，x1=10，x2=-8都是方程的根，但x=-8不合題意，舍去．
答：第一次購書時每本的批發(fā)價為10元．
【點睛】本題主要考查分式方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握列分式方程解應用題的一般步驟，即①根據題意找出等量關系②列出方程③解出分式方程④檢驗⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗．
11.某水果店在水果批發(fā)市場用100元購進一批甲種水果，再用100元購進一批乙種水果，已知購進的乙種水果比甲種水果多10千克，乙種水果的批發(fā)價比甲種水果的批發(fā)價低0.5元/千克．
（1）求甲乙兩種水果各購進了多少千克?
（2）購進水貨當天，甲乙兩種水果都按照2.8元/千克出售，乙種水果很快售完，而甲種水果先售出剩余的按售價打5折出售，這一天的水果買賣是否賺錢?如果賺錢了，賺多少?如果不賺錢，那么賠了多少?
【難度】★★★
【答案】（1）甲種水果購進40千克，乙種水果購進50千克；（2）賺了29.6元
【解析】（1）設購進甲種水果x千克，乙種水果x+10千克，由題意得，
解得：x=40，經檢驗x=40是原方程的解，且符合題意，
故購進甲種水果是40千克，乙種水果是40+10=50千克；
（2）利潤為：，故賺了29.6元．
【總結】本題主要考察了利潤問題，找出題目中的等量關系再列方程．
12.某中學庫存960套舊課桌椅，準備修理后捐助給貧困山區(qū)學校，現在有甲乙兩個木工小組都希望承攬這項業(yè)務，經協(xié)商研究得知：甲小組單獨修理這批桌椅比乙小組單獨修理要多用20天；乙小組每天比甲小組多修理8套；學校每天需要付甲乙小組修理費分別是80元和120元；
求甲乙兩個小組每天各修理課桌椅多少套?
在修理桌椅的過程中，學校委派一名維修工進行質量監(jiān)控，由學校每天發(fā)出10元錢作為生活補貼；現在有三種修理方案：方案一由甲單獨修理；方案二由乙單獨修理；方案三由甲乙共同修理；選擇哪種方案，更省錢?
【難度】★★★
【答案】（1）甲小組每天修理16套舊桌椅，則乙小組每天修理24套舊桌椅；（2）方案三．
【解析】（1）設甲小組每天修理套舊桌椅，則乙小組每天修理套舊桌椅，
依題意可得，整理得，解得：，，
經檢驗均是原方程的解，但不符合題意，舍去，
即得甲小組每天修理16套舊桌椅，則乙小組每天修理24套舊桌椅；
方案一需要的費用為元；
方案二需要的費用為元；
方案三需要的費用為元，可知方案三更省錢．
【總結】考查工程問題的應用，注意分式方程要檢驗．
題型四：行程問題
一、解答題
1．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學?？茧A段練習）若A、B兩地相距30千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，且甲比乙早出發(fā)2小時．如果乙比甲每小時多行2千米，那么兩人恰好在AB中點相遇．求甲、乙兩人的速度各是每小時多少千米？
【答案】甲的速度是每小時3千米，乙的速度是每小時5千米．
【分析】設甲的速度是每小時x千米，則乙的速度是每小時（x＋2）千米，根據“行駛一半的路程甲所用時間比乙所用時間多2小時”列出方程求解即可．
【詳解】解：設甲的速度是每小時x千米，則乙的速度是每小時（x＋2）千米，
根據題意，得：，
整理，得：，
解得：，，
經檢驗：，都是原方程的解，但不符合題意，舍去，
∴原方程的解是x＝3，
則x＋2＝5，
答：甲的速度是每小時3千米，乙的速度是每小時5千米．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，解一元二次方程，關鍵是能夠表示兩人所用時間，然后根據題意列方程求解．
2．（2022春·上海·八年級?？计谥校┘滓覂扇朔謩e從相距27公里的A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，3小時相遇，相遇后兩人用原來的速度繼續(xù)前進，甲到達B地比乙到達A地快1小時21分鐘，則甲乙兩人的速度分別是多少？
【答案】甲的速度是5公里/小時，則乙的速度為4公里/小時．
【分析】設甲的速度是x公里/小時，則乙的速度為（-x）公里/小時，根據到達B地比乙到達A地快1小時21分鐘可得=，解出方程檢驗即可得答案．
【詳解】解：設甲的速度是x公里/小時，則乙的速度為（-x）公里/小時，
根據題意得：=，
去分母化為整式方程得：x2+31x-180=0，
解得x=5或x=-36，
經檢驗，x=5和x=-36都是原方程的解，但x=-36不符合題意，舍去，
∴x=5，
∴-x=9-5=4，
答：甲的速度是5公里/小時，則乙的速度為4公里/小時．
【點睛】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列方程．
3．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ惺形鞒跫壷袑W?？计谥校┮涣谢疖嚨竭_A站已經晚點6分鐘，如果將速度每小時加快10千米，那么繼續(xù)行駛20千米便可以在B站正點到達，求火車原來行駛的速度．
【答案】火車原來行駛的速度為40千米每小時
【分析】設貨車原來的行駛速度為x千米每小時，然后根據將速度每小時加快10千米，那么繼續(xù)行駛20千米便可以在B站正點到達，列出方程求解即可．
【詳解】解：設貨車原來的行駛速度為x千米每小時，
由題意得：，
解得或（舍去），
經檢驗是原方程的解，
∴火車原來行駛的速度為40千米每小時．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，正確理解題意列出方程求解是解題的關鍵．
4．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┘?、乙兩輛客車分別從相距400千米的A、B兩站同時出發(fā)，相向而行，相遇時乙車行駛了250千米，如果乙車每小時比甲車多走20千米，求甲、乙兩車速度．
【答案】甲車的速度是30千米/小時，乙車的速度是50千米/小時．
【分析】設甲車每小時行駛x千米，乙車每小時行駛（x+20）千米，根據兩車行駛的時間相等列方程求解即可．
【詳解】解：設甲車每小時行駛x千米，乙車每小時行駛（x+20）千米，
由題意：，
解得x＝30，
經檢驗，x＝30是原方程的解且符合題意，
x+20＝50，
∴甲車的速度是30千米/小時，乙車的速度是50千米/小時．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據兩車行駛的時間相等列方程求解，解分式方程不要忘記檢驗．
5．（2021春·上海松江·八年級?？计谥校┮涣谢疖嚨竭_A站已經晚點6分鐘，如果按原速度繼續(xù)行駛20千米到達B站，也晚點6分鐘，但如果從A站到B站將速度每小時加快10千米，那么可以在B站準點到達，求火車原來行駛的速度．
【答案】40千米/小時
【分析】根據題意列出分式方程，然后解分式方程，根據分式方程和實際意義求出方程的解即可；
【詳解】設火車原來的行駛速度為x千米/小時，則提速后火車的速度為千米/小時，
根據題意得：，
解得：x＝40或（舍去），
經檢驗，x＝40時原分式方程的解．
答：火車原來的行駛速度為40千米/小時．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，根據題意找到等量關系進行列方程是解題的關鍵．
6．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校W校組織八年級部分學生乘坐甲、乙兩輛大客車到洋山深水港參觀，已知連接臨港新城和深水港的東海大橋全長30千米，假設兩車都勻速行駛，甲車比乙車早6分鐘上橋，但由于乙車每小時比甲車多行10千米，所以甲、乙兩車同時下橋，求甲車的速度．
【答案】甲車的速度為50km/h
【分析】設甲車的速度的速度為，則乙車的速度為，根據甲的時間=乙的時間+，列方程即可解決．
【詳解】解：設甲車的速度的速度為，則乙車的速度為.
由題意：，整理得，，
解得或-60，
經檢驗：或-60都是分式方程的解，
但是不符合實際意義，所以，
答：甲車的速度為50km/h．
【點睛】本題主要考查分式方程的應用，找等量關系是解應用題的關鍵，注意解分式方程時必須檢驗，列方程時注意時間單位是小時，屬于?？碱}型．
7．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校?021年5月22日，“祝融號”火星車安全駛離著陸平臺，到達火星表面，開始巡視探測工作．著陸點附近的火星表面照片顯示，最佳探測路線有兩條，西線地勢平坦，行程米，東線地勢稍有起伏，行程米，走西線比走東線多用小時，走西線的速度比走東線的速度每小時快米．同時，為了確保安全，火星車的速度要小于米/小時，問走東線、走西線的速度各是多少？
【答案】東線米/小時，西線米/小時．
【分析】設走東線的速度為x米/小時，則走西線的速度為（x+60）米/小時，根據時間=距離÷速度可列分式方程，解方程并檢驗即可得走東線的速度，進而可得走西線的速度．
【詳解】設走東線的速度為x米/小時，
∵走西線的速度比走東線的速度每小時快米，
∴走西線的速度為（x+60）米/小時，
∵走西線比走東線多用小時，
∴，
解得：，，
∵火星車的速度要小于米/小時，
∴，
經檢驗：是分式方程的解，
∴x+60=90，
答：走東線、走西線的速度分別為30米/小時，90米/小時．
【點睛】本題考查分式方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．注意：分式方程要驗根，避免出現增根．
8．（2021·上海·八年級期末）為慶祝建黨100周年，某中學組織八年級學生進行徒步活動，從學校出發(fā)，步行至離校千米的紅色基地，返回時，由于步行速度比去時每小時少千米，結果時間比去時多用了半小時，求學生返回時步行的速度．
【答案】
【分析】設學生返回時步行的速度為x千米/時，則去時步行的速度為（x+1）千米/時，利用時間=路程÷速度，結合返回時比去時多用了半小時，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．
【詳解】設，
，
經檢驗，x1=3，x2=-4均為原方程的解，且x2=-4不符合題意，舍去．
返回時速度為．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，注意分式方程應用題要檢驗根是否符合原分式方程的解，還要檢驗是否符合實際意義是解題的關鍵．
9．（2019秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習）兩個小組同時開始攀登一座高的山，第一組的攀登速度是第二組的1.2倍，他們比第二組早到達頂峰．
（1）兩個小組的攀登速度各是多少？
（2）如果山高為，第一組的攀登速度是第二組的倍，并比第二組早到達頂峰，則兩組的攀登速度各是多少？
【答案】（1）兩個小組的速度分別是和；（2）兩組速度分別是和
【分析】（1）設第二組速度為xm/min，則第一組速度為1.2xm/min，由題意可得關于x的分式方程，解方程即可得到問題解答；
（2）設第二組速度為ym/min，則第一組速度為aym/min，由題意可得關于y的分式方程，解方程即可得到問題解答．
【詳解】解：（1）設第二組速度為
第一組速度為
則
方程兩邊同時乘得：
檢驗：當時，
且x的值符合題意，
∴原分式方程的解為
∴
答：兩個小組的速度分別是和
（2）設第二組的速度為．則第一組速度為．（，）
∴
方程兩邊乘得
檢驗：當時
∵
∴且y的值符合題意，
∴原分式方程的解為
∴
答：兩組速度分別是和．
【點睛】本題考查分式方程的應用，根據題意設定適當的未知數并列出正確的分式方程求解是解題關鍵．
10．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┌四昙壍膶W生去距學校10千米的科技館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了25分鐘，其余的學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達，已知每小時汽車的速度比騎自行車學生速度的2倍還多10千米，求騎車學生每小時行多少千米？
【答案】騎車學生每小時行15千米
【分析】先將25分鐘化成小時為小時，再設騎車學生每小時走x千米，根據汽車所用的時間＝學生騎車時間﹣，列分式方程：，求出方程的解即可．
【詳解】解：設騎車學生每小時走x千米，
據題意得：，
整理得：x2﹣7x﹣120＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣8，
經檢驗：x1＝15，x2＝﹣8是原方程的解，
因為x＝﹣8不符合題意，所以舍去，
答：騎車學生每小時行15千米．
【點睛】本題是分式方程的應用，找等量關系是本題的關鍵；這是一道行程問題，汽車和學生的路程、速度、時間三個量要準確把握，以走完全程的時間為依據列分式方程，注意單位要統(tǒng)一．
11．（2020春·上海松江·八年級統(tǒng)考期末）甲，乙兩人同時從地出發(fā)，沿相同路線騎自行車前往距離地15千米的地，已知甲比乙平均每小時多騎1千米，但由于甲在路上修自行車耽擱了半小時，結果兩人同時到達地，求甲，乙兩人每小時各騎行多少千米？
【答案】甲每小時騎行6km，乙每小時騎行5km．
【分析】設乙每小時騎行xkm，則甲每小時騎行（x+1）km，根據乙所用時間﹣甲所用時間＝小時列出方程并解答．
【詳解】解：設乙每小時騎行xkm，則甲每小時騎行（x+1）km，
根據題意，得﹣＝．
解得x1＝5，x2＝﹣6（舍負）．
經檢驗x＝5是所列方程的根．
所以x+1＝6．
答：甲每小時騎行6km，乙每小時騎行5km．
【點睛】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
12．（2021春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┙陙恚沂写罅Πl(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程的普通道路，路線包含快速通道，全程，走路線比走路線平均速度提高，時間節(jié)省，求走路線的平均速度．
【答案】75km/h
【分析】根據題意，設走線路A的平均速度為，則線路B的速度為，由等量關系列出方程，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設走線路A的平均速度為，則線路B的速度為，則
，
解得：，
檢驗：當時，，
∴是原分式方程的解；
∴走路線的平均速度為：（km/h）；
【點睛】本題考查分式方程的應用，以及理解題意的能力，解題的關鍵是以時間做為等量關系列方程求解．
13．（2020春·八年級?？颊n時練習）A、B兩個碼頭相距6千米,一只船從A出發(fā)劃船逆流而上用了1小時30分鐘到達B．回來時，開始的路程劃船前進，余下的路程讓船順水漂移到達A地，結果來去所用時間相同．求船在靜水中的劃行速度和水流速度．
【答案】船在靜水中的劃行速度為6千米/小時，水流速度2千米/小時．
【分析】設船在靜水中的劃行速度為x千米/小時，水流速度y千米/小時，根據題意列出方程組即可求解．
【詳解】設船在靜水中的劃行速度為x千米/小時，水流速度y千米/小時，
根據題意得
解得或，
經檢驗，是方程組的解且符合實際，是方程組的解但不符合實際，
所以，
故船在靜水中的劃行速度為6千米/小時，水流速度2千米/小時．
【點睛】此題主要考查列方程組解應用題，解題的關鍵是根據題意找到等量關系列出方程求解．
14．（2023春·八年級單元測試）甲、乙兩輛車同時從A地出發(fā)開往距A地240千米的B地，結果甲車比乙車早到了60分鐘；第二次乙車提速30千米/小時，結果比甲車早到20分鐘， 求第一次甲、乙兩車的速度各是多少？
【答案】80千米/小時、60千米/小時.
【分析】設甲車、乙車的速度分別為x、y千米/小時，根據題意列方程組求解即可.
【詳解】設甲車速度x千米/小時， 乙車y千米/小時，根據題意可得，
，
解得x=80千米/小時，y=60千米/小時，
答：第一次甲車的速度為80千米/小時，乙車的速度為60千米/小時.
【點睛】本題考查方程的應用，解題的關鍵是從題中找出等量關系列出方程組．
15.甲、乙兩人分別從相距27千米的A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，3小時相遇，隨后兩人按照原來的速度繼續(xù)前進，甲到達B地比乙到達A地少用1小時21分鐘，求兩人的速度．
【難度】★★★
【答案】甲的速度為，乙的速度為．
【解析】設甲的速度為，乙的速度為．
依題意可得，解得：，經檢驗是原方程組的解，且符合題意，
故甲的速度為，乙的速度為．
【總結】考查行程問題的應用，，注意分式方程組要檢驗．
題型五：幾何圖形問題
一、解答題
1．（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M才實驗中學?？计谥校┰谥?，，，射線上有一點分別為點P關于直線的對稱點，連接
(1)如圖1，當點P在線段 上時，則______，______．
(2)如圖2，當點P在線段的延長線上時．根據題意補全圖形，并探究是否存在點P，使得，若存在，直接寫出滿足條件時的長度；若不存在，說明理由．
【答案】(1)，
(2)補全圖形見解析，5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質得出，根據軸對稱的性質可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后結合圖形即可即可；
（2）先根據軸對稱圖形的特點補全圖形；再根據軸對稱的性質可得PB=BM，PC=CN，設，則或，，利用和線段的和差列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：，，
，
，分別為點關于直線，的對稱點，
，，，
，
．
故答案為，．
（2）解：補全圖形如圖所示．
存在點P，使得．
設，則或，
，
或，
或5．
經檢驗或5為方程的解，
∵線段不可能為負
．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的特點、角度的計算、分式方程的應用等知識點，理解題意、熟練掌握運用軸對稱圖形的性質是解題關鍵．
2．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校┰谛旭偼昴扯稳?00千米的高速公路時，李師傅對張師傅說：“你的車速太快了，平均每小時比我多跑20千米，比我少用1.5小時就跑完了全程．”
(1)若這段高速公路全程限速110千米/時，如若兩人全程均勻速行駛，那么張師傅超速了嗎？請說明理由．
(2)張師傅所行駛的車內油箱余油量y（升）與行駛時間t（時）的函數關系如圖所示，則行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油？
【答案】(1)沒有超速，理由見解析
(2)33升
【分析】（1）根據題意可以列出相應的分式方程，從而可以解答本題；
（2）根據函數圖象可以求得張師傅每小時的耗油量，從而可以求得行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油．
(1)
解：張師傅沒有超速，
理由：設張師傅的速度為x千米/時，
由題意得：，
解得：x1＝﹣80（舍去），x2＝100，
經檢驗，x＝100是原分式方程的解，
∵100＜110，
∴張師傅沒有超速；
(2)
由函數圖象可得，張師傅每小時耗油量為：44÷8＝5.5（升），
行駛完這段高速公路，張師傅至少需要：＝33（升），
答：行駛完這段高速公路，他至少需要33升油．
【點睛】本題考查分式方程的應用、一次函數的應用，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應的分式方程，利用一次函數的性質解答問題．
3．（2022春·上海寶山·八年級?？茧A段練習）如圖反映了甲、乙兩名自行車愛好者同時騎車從地到地進行訓練時行駛路程（千米）和行駛時間（小時）之間關系的部分圖像，根據圖像提供的信息，解答下列問題：
（1）求乙的行駛路程和行駛時間之間的函數解析式；
（2）如果甲的速度一直保持不變，乙在騎行小時之后又以第小時的速度騎行，結果兩人同時到達地，求、兩地之間的距離．
【答案】（1）；（2）千米
【分析】（1）觀察圖中乙圖像，將（1，30）（3，50）代入一次函數表達式即可，
（2）根據圖像求出甲，乙兩人速度，按照關系式列方程求解即可．
【詳解】（1）由圖像設此函數表達式為，
把點（1，30）（3，50）代入一次函數表達式得：，
解得： ，
∴函數表達式為：，
即乙的行駛路程和行駛時間之間的函數解析式：，
（2）由圖像可得：前一小時，乙的速度是30千米，1到3小時是（50-30）（3-1）=10千米，即速度是10千米，甲的速度始終為603=20千米；由題意設兩地相距x千米，列方程得：
，
解方程檢驗得：x=80，
即A，B兩地的距離為80千米．
【點睛】本題不僅考查一次函數圖像，也考查分式方程的應用，知識面較廣，難度一般．
4．（2019春·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期中）在行駛完某段全程600千米的高速公路時，李師傅對張師傅說：“你的車速太快了，平均每小時比我多跑20千米，比我少用1.5小時就跑完了全程．”
（1）若這段高速公路全程限速120千米/小時，兩人全程均勻速行駛．那么張師傅超速了嗎？請說明理由；
（2）張師傅所行駛的車內油箱余油量（升）與行駛時間（時）的函數關系如圖所示，則行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油？
【答案】（1）沒超速；理由見解析；（2）他至少需要33升油．
【分析】（1）設李師傅的速度為千米/小時，則張師傅的速度為千米/小時，根據題意可以列出相應的分式方程，從而可以解答本題；
（2）根據函數圖象可以求得張師傅每小時的耗油量，從而可以求得行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油．
【詳解】（1）沒超速．
設李師傅的速度為千米/小時，則張師傅的速度為千米/小時，
，
∴，∴，．
經檢驗，都為原方程的實數根，但不合題意，舍去，
∴張師傅速度為100千米/小時120）的長方形，投資方計劃將它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙為正方形，甲為住宅區(qū)，乙為商場，丙為公司，若已知丙地的面積為3200米，求x的值．
【難度】★★
【答案】160或200．
甲
乙
丙
【解析】依題意可得，整理得，
解得：，，即的值為160或200．
【總結】考查根據面積的相應表示進行列方程求解．
8.有一塊長為80米，寬為50米的長方形綠地，其中有三條直路（圖中的陰影部分，道路的一邊AD與長方形綠地的一邊平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的長度都相等，其余部分種植綠化）．已知道路的面積為352平方米，求道路出入口的邊的長度
A
B
C
D
E
F
G
H
K
I
J
【難度】★★
【答案】
【解析】設邊的長度為，依題意可得，
整理得，解得：，（舍），
即得路寬為．
【總結】考查根據面積的相應表示進行列方程求解．
A
B
C
P
Q
R
9.等腰Rt△中，，動點從點出發(fā)，沿向點移動.通過點引平行于、的直線與、分別交于點、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于16cm2．
【難度】★★
【答案】
【解析】設，則，由題意可知和
均為等腰直角三角形，依題意可得，
解得：，即長為．
【總結】考查動點問題的應用求解．
n
m
10.m、n為兩條互相垂直的筆直公路，工廠A在公路n上，距公路m為1千米，B與工廠A在公路m的同側，且距公路m為2千米，距公路n為3千米．現要在公路m上建造一個車站P，使它與A、B的距離之和為千米，求P的位置．
【難度】★★★
【答案】點P在兩道路交點上下方或處．
【解析】以公路、分別為、軸建立平面直角坐標系，
依題意得，或，設，
依題意可得或，
整理得或，
解得：，，，，
經檢驗均是原方程的解，但，不符合題意，故舍去，
所以點P在兩道路交點上下方或處．
【總結】考查根據題目條件建立平面直角坐標系進行點坐標的確定進而確定相應位置．
11.已知A（0，-1），B（0，4），點P在坐標軸上，且PA+PB=，求點P的坐標．
【難度】★★★
【答案】，，，．
【解析】當P在軸上時，設，依題意可得，
解得：，，即得，；
當P在軸上時，設，依題意可得，
解得：，，即得，．
【總結】考查根據題目條件進行相應作設求解，注意分類討論．

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