一、核心素養(yǎng)
1. 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點，凸顯數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2.考查利用導(dǎo)數(shù)不等式的證明、方程等，凸顯數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．
3.考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
二、考試要求
1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
2. 了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.
三、主干知識梳理
（一）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)圖象的識別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號等.解決此類問題應(yīng)先觀察選項的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得到正確的選項.如該題中函數(shù)解析式雖然比較復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項.
（二）與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題
1．方程有實根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．
2．函數(shù)的零點就是的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo).
（二）求極值的步驟：
①先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點的根舍去）；
②分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則為極小值點；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則為極大值點.
（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖象，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.
（4）函數(shù)的零點就是的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo).
（三）與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題
不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理．
：
（四）利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問題
無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性和最值），達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.
二、真題展示
1．（2023浙江）已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則
A．a(chǎn)0
2．（2023·江蘇高考真題）設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；
（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．
考點01 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點或零點個數(shù)
【典例1】（2023·全國高三專題練習(xí)）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若當(dāng)時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
【典例2】（2023·全國高考真題（理））已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）有且僅有2個零點．
【總結(jié)提升】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根的方法
(1)通過最值(極值)判斷零點個數(shù)的方法．
借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點個數(shù)或者通過零點個數(shù)求參數(shù)范圍．
(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點．
對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍．
(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點．
①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解．
②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
考點02 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題
【典例3】（2023·九龍坡·重慶市育才中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】（2023·全國高考真題（文））已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
【總結(jié)提升】
與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與 軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．
考點03 與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題
【典例5】（2023·天津高考真題（理））已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【典例6】（2023·全國高三月考）已知函數(shù).
（1）探究函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【總結(jié)提升】
1.不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理．
：
2.不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.
考點04 利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問題
【典例7】（2023·江蘇省前黃高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，則_________；關(guān)于的不等式的解集為____________．
【典例8】（2023·全國高三月考）已知函數(shù) (，為常數(shù))在內(nèi)有兩個極值點.
（1）求參數(shù)的取值范圍；
（2）求證：.
【典例9】（2023·全國高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【總結(jié)提升】
1.無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性和最值），達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.
2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)＞g(x)的基本方法
(1)若f(x)與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)min＞g(x)max；
(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值，證明h(x)＞0.
3.不等式存在性問題的求解策略
“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系，即f(x)≥g(a)對于x∈D恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值．在具體問題中究竟是求最大值還是最小值，可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值，這樣也就可以解決相應(yīng)的“存在性”問題是求最大值還是最小值．特別需要關(guān)注等號是否成立，以免細(xì)節(jié)出錯．
考點05 用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題
【典例10】（2023·無錫市第一中學(xué)高三月考）相應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)修自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生成x萬件，需另投入流動成本W(wǎng)（x）萬元，在年產(chǎn)量不足4萬件時，W（x）=x3+2x.在年產(chǎn)量不小于4萬件時，W（x）=7x+-27.每件產(chǎn)品售價6元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完.
（1）寫出年利潤P（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式.（年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）
（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【典例11】（2023·全國高二課時練習(xí)）《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體．“芻薨”字面意思為茅草屋頂，圖1是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖2，屋頂五面體為芻薨”，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形，點在平面和上射影分別為，，已知m，m，梯形的面積是面積的2.2倍．設(shè)．
（1）求屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（2）已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為，下部主體造價與其高度成正比，比例系數(shù)為．現(xiàn)欲造一棟總高度為m的別墅，試問：當(dāng)為何值時，總造價最低？
【總結(jié)提升】
利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟
第一步:分析實際問題中各量之間的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)
第二步:求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0
第三步:比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值
第四步:回歸實際問題，給出優(yōu)化問題的答案
鞏固提升
1．（2023·內(nèi)蒙古寧城·高三月考（文））已知函數(shù)對任意的滿足（其中為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河南許昌·高三月考（文））已知，，且，，則（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023·全國高三其他（文））若不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·赤峰二中高三三模（理））已知是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且對任意的實數(shù)x都有(e是自然對數(shù)的底數(shù))，f(0)=3，若方程f(x)=m恰有三個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5.【多選題】（2023·全國高二單元測試）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的極值點的個數(shù)為3
B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．若時，的最大值是2，則t的最大值為4
D．當(dāng)時，方程有4個不同的實根
6.【多選題】（2023·全國高二學(xué)業(yè)考試）若滿足，則對任意正實數(shù)a，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7.（2023·山東奎文?濰坊中學(xué)高二月考）要做一個底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為，其底面兩鄰邊之比為，則它的長為__________，高為__________時，可使表面積最小.
8．（2023·河南高三其他（理））函數(shù)，若，則在的最小值為_______；當(dāng)時，恒成立，則a的取值范圍是_____.
9.(2023·全國高考真題（文））已知函數(shù).
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若有兩個零點，求的取值范圍.
10．(2023·全國高考真題（文））(2023年新課標(biāo)I卷文）已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時，．
-1
0
2
4
5
1
2
0
2
1
專題15.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（精講精析篇）
一、核心素養(yǎng)
1. 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點，凸顯數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2.考查利用導(dǎo)數(shù)不等式的證明、方程等，凸顯數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．
3.考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
二、考試要求
1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
2. 了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.
三、主干知識梳理
（一）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)圖象的識別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號等.解決此類問題應(yīng)先觀察選項的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得到正確的選項.如該題中函數(shù)解析式雖然比較復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項.
（二）與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題
1．方程有實根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．
2．函數(shù)的零點就是的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo).
（二）求極值的步驟：
①先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點的根舍去）；
②分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則為極小值點；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則為極大值點.
（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖象，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.
（4）函數(shù)的零點就是的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo).
（三）與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題
不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理．
：
（四）利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問題
無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性和最值），達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.
二、真題展示
1．（2023浙江）已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則
A．a(chǎn)0
答案：C
【解析】當(dāng)x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點；
當(dāng)x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點，不合題意；
當(dāng)a+1＞0，即a>﹣1時，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時函數(shù)單調(diào)遞增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此時函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個零點.
根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個零點?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個零點，在[0，+∞）上有2個零點，
如圖：
∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，
則a>–1，b

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