一、單選題
1．(2023·浙江·諸暨市教育研究中心高二期末）從甲、乙、丙、丁 四個人中選取2名參加會議，不同的選取方法有（ ）
A．6種B．8種C．12種D．16種
2.（2023·福建福州·高三其他模擬（理））數(shù)獨是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲．如圖是數(shù)獨的一個簡化版，由3行3列9個單元格構(gòu)成．玩該游戲時，需要將數(shù)字（各3個）全部填入單元格，每個單元格填一個數(shù)字，要求每一行、每一列均有這三個數(shù)字，則不同的填法有（ ）
A．12種B．24種
C．72種D．216種
3．（2023·山東濰坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共名同學(xué)進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第名到第名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說:“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”，對乙說:“你不會是最差的”，從這兩個回答分析，這人的名次排列所有可能的情況共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
4．（2023·河北·藁城新冀明中學(xué)高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，則自然數(shù)n等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．（2023·北京市第十三中學(xué)高三期中）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預(yù)測（理））若二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為128，則該二項式展開式中含有項的系數(shù)為（ ）
A．1344B．672C．336D．168
7．（2023·河北·唐山市第十中學(xué)高三期中）若，則等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·貴州遵義·高二期末（理））將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，可得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在使得，則的值是（ ）．
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（ ）
A．1人B．2人C．3人D．4人
10．（2023·江蘇蘇州·高二月考）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有（ ）
第一行 1 1
第二行 1 2 1
第三行 1 3 3 1
第四行 1 4 6 4 1
第五行 1 5 10 10 5 1
第六行 1 6 15 20 15 6 1
A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數(shù)相等”猜想：
B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：
C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：
D．由“”猜想：
11．（2023·湖北武漢·高三期中）已知二項式，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則展開式的常數(shù)為60
B．展開式中有理項的個數(shù)為3
C．若展開式中各項系數(shù)之和為64，則
D．展開式中二項式系數(shù)最大為第4項
12．(2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．最高處的樹枝為G，I中的一個
B．最低處的樹枝一定是F
C．這九根樹枝從高到低不同的順序共有33種
D．這九根樹枝從高到低不同的順序共有32種
三、填空題
13．（2023·上?！らh行中學(xué)高三期中）展開式的常數(shù)項為20，則實數(shù)_____________．
14．（2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中，項的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）
15．（2023·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）將字母a，A，b，B，c，C排成一列，則僅有一組相同字母的大小寫相鄰的排法種數(shù)為__________．
16．(2023·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試）為宣傳地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪.期間工作的任務(wù)有A，B，C，D四項，每項任務(wù)至少一人參加，但兩名女記者不參加A任務(wù)，則不同的安排方案數(shù)共有_______.
四、解答題
17．（2023·全國·高二課時練習(xí)）某乒乓球邀請賽，參加的有三個組，第一、第二組各有7個隊，第三組有6個隊，首先各組進(jìn)行單循環(huán)賽，然后各小組的第一名共三個隊分主客場進(jìn)行決賽，最終決出冠亞軍，該乒乓球邀請賽一共需要比賽多少場？
18．（2023·全國·高二課時練習(xí)）當(dāng)是大于的正整數(shù)且時，求證：．
19．（2023·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)，求：
（1）；
（2）；
（3）．
20．（2023·全國·高二課時練習(xí)）現(xiàn)有10件產(chǎn)品（除了2件一等品外，其余都是二等品），任意從中抽取3件：
（1）一共有多少種不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少種？
（3）抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少種？
21.（2023·山西高二期末）由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).
（1）共可以組成多少個五位數(shù)？
（2）其中奇數(shù)有多少個？
（3）如果將所有的五位數(shù)按從小到大的順序排列，43125是第幾個數(shù)？說明理由.
22．（2023·全國·高二單元測試）某同學(xué)計劃用不超過30元的現(xiàn)金購買筆與筆記本．已知筆的單價為4元，筆記本的單價為5元，且筆至少要買2支，筆記本至少要買2本，問不同的購買方案有多少種？





專題16.2 計數(shù)原理（專題訓(xùn)練卷）
一、單選題
1．(2023·浙江·諸暨市教育研究中心高二期末）從甲、乙、丙、丁 四個人中選取2名參加會議，不同的選取方法有（ ）
A．6種B．8種C．12種D．16種
答案：A
分析：
利用組合直接求解.
【詳解】
按照組合的定義，從甲、乙、丙、丁 四個人中選取2名參加會議，有種.
故選：A
2.（2023·福建福州·高三其他模擬（理））數(shù)獨是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲．如圖是數(shù)獨的一個簡化版，由3行3列9個單元格構(gòu)成．玩該游戲時，需要將數(shù)字（各3個）全部填入單元格，每個單元格填一個數(shù)字，要求每一行、每一列均有這三個數(shù)字，則不同的填法有（ ）
A．12種B．24種
C．72種D．216種
答案：A
【解析】
先填第一行，有種不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法，當(dāng)該單元格填好后，其它單元格唯一確定．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的填法．
故選：A．
3．（2023·山東濰坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共名同學(xué)進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第名到第名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說:“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”，對乙說:“你不會是最差的”，從這兩個回答分析，這人的名次排列所有可能的情況共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
答案：C
分析：
甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3種情況；再排甲，也有3種情況；余下的問題是三個元素在三個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理即可得到結(jié)果．
【詳解】
由題意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3種情況；再排甲，也有3種情況；
余下3人有種排法．故共有種不同的情況．
故選：C.
4．（2023·河北·藁城新冀明中學(xué)高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，則自然數(shù)n等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
答案：C
分析：
利用賦值法，令即可求解.
【詳解】
解：因為=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=16，
令，則= a0+a1+a2+…+an=16，
所以，
故選：C.
5．（2023·北京市第十三中學(xué)高三期中）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
首先求出展開式的通項，再令，即可求出，再代入計算可得；
【詳解】
解：二項式展開式的通項為
令，解得，所以，所以展開式中的系數(shù)為，
故選：A
6．（2023·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預(yù)測（理））若二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為128，則該二項式展開式中含有項的系數(shù)為（ ）
A．1344B．672C．336D．168
答案：B
分析：
先求出，再寫出二項式展開式的通項，令的指數(shù)等于5即可求解.
【詳解】
因為二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為128
所以，解得，
所以的展開式通項為：，
令可得，
所以該二項式展開式中含有項的系數(shù)為.
故選：B.
7．（2023·河北·唐山市第十中學(xué)高三期中）若，則等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
由已知條件可知為展開式中的系數(shù)，利用二項式定理及組合數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】
解：由已知條件可知為展開式中的系數(shù)，
則
.
故選：C.
8．（2023·貴州遵義·高二期末（理））將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，可得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在使得，則的值是（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根據(jù)題意由可知是第行的第個數(shù)減去下一行的第個數(shù)，等于下一行即第行的第個數(shù)，結(jié)合數(shù)圖進(jìn)行舉例即可得解.
【詳解】
根據(jù)題意可得，
即是第行的第個數(shù)減去下一行的第個數(shù)，
等于下一行即第行的第個數(shù)，
其中，
當(dāng)時，為，
當(dāng)時，為，等等.
由圖知是與同一行的右邊一個數(shù)，
所以是第行的第個數(shù)，故.
故選：C
二、多選題
9．（2023·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（ ）
A．1人B．2人C．3人D．4人
答案：BC
分析：
設(shè)女生有n人，則男生有8-n人，由求解.
【詳解】
設(shè)女生有n人，則男生有8-n人，
由題意得：，
即，
解得或，
故選：BC
10．（2023·江蘇蘇州·高二月考）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有（ ）
第一行 1 1
第二行 1 2 1
第三行 1 3 3 1
第四行 1 4 6 4 1
第五行 1 5 10 10 5 1
第六行 1 6 15 20 15 6 1
A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數(shù)相等”猜想：
B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：
C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：
D．由“”猜想：
答案：ABC
分析：
結(jié)合楊輝三角、合情推理以及二項式有關(guān)知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.
【詳解】
由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數(shù)相等”猜想：，A正確.
由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：，B正確.
由“第行所有數(shù)之和為”猜想：，C正確.
，所以D錯誤.
故選：ABC
11．（2023·湖北武漢·高三期中）已知二項式，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則展開式的常數(shù)為60
B．展開式中有理項的個數(shù)為3
C．若展開式中各項系數(shù)之和為64，則
D．展開式中二項式系數(shù)最大為第4項
答案：AD
分析：
寫出二項式展開式的通項公式，對4個選項進(jìn)行分析
【詳解】
A選項：當(dāng)時，，其中為整數(shù)，且，令，解得：，此時，故常數(shù)項為60；A正確；
B選項：，其中為整數(shù)，且，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，滿足有理項要求，故有4項，故B錯誤；
C選項：令中的得：，所以或，故C錯誤；
D選項：展開式共有7項，最中間一項二項式系數(shù)最大，而最中間為第4項，所以展開式中二項式系數(shù)最大為第4項，D正確
故選：AD
12．(2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．最高處的樹枝為G，I中的一個
B．最低處的樹枝一定是F
C．這九根樹枝從高到低不同的順序共有33種
D．這九根樹枝從高到低不同的順序共有32種
答案：AC
分析：
由題判斷出部分樹枝由高到低的順序為，還剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，根據(jù)的位置不同分類討論，求得這九根樹枝從高到低不同的順序共33種.
【詳解】
由題判斷出部分樹枝由高到低的順序為，還剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，最高可能為G或I，最低為F或H，故選項正確，B錯誤；
先看樹枝，有4種可能，若在，之間，
則有3種可能：①在，之間，有5種可能；
②在，之間，有4種可能；
③在，之間，有3種可能，
此時樹枝的高低順序有（種）。
若不在，之間，則有3種可能，有2中可能，
若在，之間，則有3種可能，
若在，之間，則有三種可能，
此時樹枝的高低順序有（種）可能，
故這九根樹枝從高到低不同的順序共有種，故選項正確.
故選：AC.
三、填空題
13．（2023·上?！らh行中學(xué)高三期中）展開式的常數(shù)項為20，則實數(shù)_____________．
答案：
分析：
由二項展開式通項公式寫出常數(shù)項，從而可求得參數(shù)．
【詳解】
展開式通項公式為，，，
所以，，
故答案為：．
14．（2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中，項的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）
答案：65
分析：
先寫出的展開式的通項，令與展開式的項相乘，與展開式的常數(shù)項相乘，相加即為項，計算系數(shù)即可
【詳解】
由題意，的展開式的通項，
令，得，得；
令，得，得.
故的展開式中，項的系數(shù)為.
故答案為：65
15．（2023·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）將字母a，A，b，B，c，C排成一列，則僅有一組相同字母的大小寫相鄰的排法種數(shù)為__________．
答案：240
分析：
先討論Aa相鄰的情況，再求出Bb、Cc相鄰的情況，加起來即可.
【詳解】
首先討論Aa相鄰，剩下的4個字母排列有如下情況：
bcBC、cbCB、bCBc、CbcB、BcbC、cBCb、BCbc、CBcb共8種可能，
任取8種中的一種與Aa組合，共有種，
此時Aa相鄰共有種；
同理，Bb相鄰共有80種，Cc相鄰共有80種，所以共有240種.
故答案為：240
16．(2023·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試）為宣傳地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪.期間工作的任務(wù)有A，B，C，D四項，每項任務(wù)至少一人參加，但兩名女記者不參加A任務(wù)，則不同的安排方案數(shù)共有_______.
答案：
分析：
采用分類計數(shù)原理，排列組合進(jìn)行計算可得.
【詳解】
兩名女記者不參加A任務(wù)，由題意分兩類情況：
①1男參加A任務(wù)；②2男參加A任務(wù),其余人員再排列;
即:①1男參加A任務(wù)，將3男選1排在A任務(wù)，再將剩下4人選兩人打捆,
再排在其它3項任務(wù)，即種.
②2男參加A任務(wù)，將3男選2人排在A任務(wù),再將剩下的人排在其它3項任務(wù),
即種,
所以選出符合條件參加活動的人員共有: 108+18= 126種，
故答案為: 126種
四、解答題
17．（2023·全國·高二課時練習(xí)）某乒乓球邀請賽，參加的有三個組，第一、第二組各有7個隊，第三組有6個隊，首先各組進(jìn)行單循環(huán)賽，然后各小組的第一名共三個隊分主客場進(jìn)行決賽，最終決出冠亞軍，該乒乓球邀請賽一共需要比賽多少場？
答案：63
分析：
首先先計算出各小組的單循環(huán)場數(shù)，再求出三個隊分主客場進(jìn)行決賽的場數(shù)，相加即可.
【詳解】
根據(jù)題意，首先在3個小組進(jìn)行單循環(huán)賽，
第一組有7個隊，需進(jìn)行場比賽，
第二組有7個隊，需進(jìn)行場比賽，
第三組有6個隊，需進(jìn)行場比賽，
則第一階段需要進(jìn)行場比賽；
然后各小組的第一名共3個隊分主客場進(jìn)行決賽，有場比賽，
所以該乒乓球邀請賽一共需要場.
18．（2023·全國·高二課時練習(xí)）當(dāng)是大于的正整數(shù)且時，求證：．
答案：證明見解析.
分析：
利用二項式定理可得展開式，由可得結(jié)論.
【詳解】
由二項式定理可知：，
，，.
19．（2023·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)，求：
（1）；
（2）；
（3）．
答案：
（1）
（2）
（3）
分析：
（1）分別令和，作差即可得到結(jié)果；
（2）令即可求得結(jié)果；
（3）由和所得式子作和即可推導(dǎo)得到結(jié)果.
（1）
令得：；令得：，
.
（2）
令得：.
（3）
由（1）（2）知：，
兩式作和得：，.
20．（2023·全國·高二課時練習(xí)）現(xiàn)有10件產(chǎn)品（除了2件一等品外，其余都是二等品），任意從中抽取3件：
（1）一共有多少種不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少種？
（3）抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少種？
答案：
（1）120
（2）56
（3）64
分析：
（1）直接利用組合的定義可得；
（2）抽出的3件中恰有1件一等品是指1件一等品，2件二等品；
（3）抽出的3件中至少有1件一等品包含兩種情況：一是1件一等品，2件二等品；二是2件一等品，1件二等品.
（1）
從10件產(chǎn)品中任意抽取3件，共有種不同抽法；
（2）
從10件產(chǎn)品中任意抽取3件恰有1件一等品，這件事可分兩步完成：
第一步，從2件一等品中抽取1件一等品，共有種抽法；
第二步，從8件二等品中抽取2件二等品，共有種抽法，
根據(jù)乘法原理，不同的抽法種數(shù)為種.
（3）
從10件產(chǎn)品中任意抽取3件至少有1件一等品，這件事可分兩類：
第一類，抽取的3件產(chǎn)品中有1件一等品的抽法有種；
第二類，抽取的3件產(chǎn)品中有2件一等品的抽法有種；
由加法原理得，不同的抽法共有種.
21.（2023·山西高二期末）由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).
（1）共可以組成多少個五位數(shù)？
（2）其中奇數(shù)有多少個？
（3）如果將所有的五位數(shù)按從小到大的順序排列，43125是第幾個數(shù)？說明理由.
答案：(1) 120 (2) 72 (3) 85
【解析】
（1）由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共可以組成A55＝120個五位數(shù)
（2）∵由1、2、3、4、5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的奇數(shù)，
∴第五個數(shù)字必須從1、3、5中選出，共有C31種結(jié)果，
其余四個位置可以用四個元素在四個位置進(jìn)行全排列，共有A44種結(jié)果，
根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有C31A44＝72；
（3）根據(jù)題意，用1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，有A55＝120種情況，即一共有120個五位數(shù)，
再考慮大于43125的數(shù)，分為以下四類討論：
1、5在首位，將其他4個數(shù)字全排列即可，有A44＝24個，
2、4在首位，5在千位，將其他3個數(shù)字全排列即可，有A33＝6個，
3、4在首位，3在千位，5在百位，將其他2個數(shù)字全排列即可，有A22＝2個，
4、43215，43251，43152，共3個
故不大于43125的五位數(shù)有120﹣（24+6+2+3）＝85個，
即43125是第85項．
22．（2023·全國·高二單元測試）某同學(xué)計劃用不超過30元的現(xiàn)金購買筆與筆記本．已知筆的單價為4元，筆記本的單價為5元，且筆至少要買2支，筆記本至少要買2本，問不同的購買方案有多少種？
答案：7
分析：
根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解即可．
【詳解】
設(shè)購買筆支，筆記本本，
則，得，
將y的取值分為三類：
①當(dāng)時，，因為x為整數(shù)，
所以x可取2，3，4，5，共4種方案．
②當(dāng)時，，因為x為整數(shù)，
所以x可取2，3，共2種方案；
③當(dāng)時，，因為x為整數(shù)，
所以x只能取2，只有1種方案．
由分類加法計數(shù)原理得不同的購買方案有（種）．





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