1.有下列命題：
①若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；
②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；
③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等；
④底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐．
其中，正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知向量a=(4,x)，b=(x,1)，那么“x=2”是“a/?/b”的( )
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+z1?z=i，則|z|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4.△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=4，b=4 3，∠A=30°，那么∠B=( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 60°或120°
5.如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ+30°角的方向沿直線前往B處營(yíng)救，則sin θ的值為( )
A. 217B. 22C. 32D. 5 714
6.已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿足BD=3DC，則AD可表示為( )
A. AD→=?2AB→+3AC→B. AD→=34AB→+14AC→
C. AD→=14AB→+34AC→D. AD→=23AB→+13AC→
7.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z?i|，則|z+1+2i|的最小值為( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
8.已知AB⊥AC，|AB|=t，|AC|=1t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且AP=AB|AB|+2AC|AC|，則PB?PC的最大值為( )．
A. 13B. 5?2 2C. 5?2 6D. 10+2 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知i為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是( )
A. i+i2+i3+i4=0B. 復(fù)數(shù)?2?i的虛部為?i
C. 若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則|z|2=z2D. |z1?z2|=|z1||z2|
10.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，則△ABC是鈍角三角形
B. 若sinA>sinB，則a>b
C. 若AC?AB>0，則△ABC是銳角三角形
D. 若A=45°，a=2，b=2 2，則△ABC只有一解
11.已知銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且∠C=π3，c=2.則下列結(jié)論正確的是( )
A. △ABC的面積最大值為2B. AC?AB的取值范圍為(0,4)
C. bcsA+acsB=2D. csBcsA的取值范圍為(0,+∞)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.如圖正方形OABC的邊長(zhǎng)為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是______cm．
13.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,?4)且a⊥c，b/?/c，則|a+b|= ______．
14.在△ABC中，sin2B+sin2C?sin2A=sinBsinC，點(diǎn)D在線段BC上，且BC=3BD，AD=2，則∠BAC=______；△ABC面積的最大值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
設(shè)復(fù)數(shù)z1=1?ai(a∈R)，z2=3?4i．
(1)若z1+z2是實(shí)數(shù)，求z1?z2；
(2)若z1z2是純虛數(shù)，求z1．
16.(本小題15分)
已知向量a=(1,2)，b=(2,?2)，
(1)設(shè)c=4a+b，求(b?c)a．
(2)若a+λb與a垂直，求λ的值．
(3)求向量a在b方向上的投影．
17.(本小題15分)
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知 3a= 3bcsC+csinB．
(1)求角B的值；
(2)若b=2，且△ABC的面積為 3，求△ABC的周長(zhǎng)．
18.(本小題17分)
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量p=(2b?c,csC)，q=(2a,1)，且p/?/q．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)求函數(shù)f(C)=1?2cs2C1+tanC的值域．
19.(本小題17分)
在△ABC中，P為AB的中點(diǎn)，O在邊AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，設(shè)AB=a，AC=b．
(1)試用a，b表示AR；
(2)若|a|=2,|b|=1,=60°，求∠ARB的余弦值；
(3)若H在BC上，且RH⊥BC，設(shè)|a|=2,|b|=1,θ=，若θ∈[π3,2π3]，求|CH||CB|的取值范圍．
參考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.A
6.C
7.B
8.B
9.AD
10.ABD
11.BCD
12.8
13. 10
14.π3 3 32
15.解：(1)由z1=1?ai，z2=3?4i，得z1+z2=4?(4+a)i，而z1+z2是實(shí)數(shù)，
于是4+a=0，解得a=?4，
所以z1?z2=(1+4i)(3?4i)=19+8i；
(2)依題意，z1z2=1?ai3?4i=(1?ai)(3+4i)(3?4i)(3+4i)=3+4a+(4?3a)i25是純虛數(shù)，
因此3+4a=04?3a≠0，解得a=?34，
所以z1=1+34i．
16.解：(1)∵a=(1,2)，b=(2,?2)，
∴c=4a+b=(4,8)+(2,?2)=(6,6)．
∴b?c=2×6?2×6=0，
∴(b?c)a=0a=0．
(2)a+λb=(1,2)+λ(2,?2)=(2λ+1,2?2λ)，
由于a+λb與a垂直，
∴2λ+1+2(2?2λ)=0，
∴λ=52．
(3)設(shè)向量a與b的夾角為θ，
向量a在b方向上的投影為|a|csθ．
∴|a|csθ=a?b|b|=1×2+2×(?2) 22+(?2)2=?22 2=? 22．
17.解：(1)由正弦定理及已知，化邊為角得 3sinA= 3sinBcsC+sinCsinB．
∵A+B+C=π，∴sinA=sin(B+C)，代入得 3sinBcsC+ 3csBsinC= 3sinBcsC+sinCsinB，
∴ 3csBsinC=sinCsinB．
∵0

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