1.復(fù)數(shù)5i?2的共軛復(fù)數(shù)是( )
A. 2+iB. ?2?iC. ?2+iD. 2?i
2.已知函數(shù)f(x)=sin(2πx?π5)，則( )
A. (?320,720)上單調(diào)遞增B. (?15,310)上單調(diào)遞增
C. (310,45)上單調(diào)遞減D. (320,1320)上單調(diào)遞增
3.底面積為2π，側(cè)面積為6π的圓錐的體積是( )
A. 8πB. 8π3C. 2πD. 4π3
4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為( 7≈2.65)( )
A. 1.0×109m3B. 1.2×109m3C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3
5.設(shè)向量a=(x+1,x),b=(x,2)，則( )
A. “x=?3”是“a⊥b”的必要條件
B. “x=?3”是“a/?/b”的必要條件
C. “x=0”是“a⊥b”的充分條件
D. “x=?1+ 3”是“a/?/b”的充分條件
6.已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則a=2e1+e2與b=?3e1+2e2的夾角是( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
7.已知△ABC的外接圓圓心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，則向量BA在向量BC上的投影向量為( )
A. 14BCB. 34BCC. ?14BCD. ? 34BC
8.當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，曲線y=sinx與y=2sin(3x?π6)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知復(fù)數(shù)z=m2?1+(m+1)i(m∈R)，則下列命題正確的是( )
A. 若z為純虛數(shù)，則m=1
B. 若z為實(shí)數(shù)，則z=0
C. 若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，則m=?1
D. z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限
10.設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有( )
A. 若a/?/α，b/?/α，則a/?/bB. 若a⊥α，b⊥α，則a/?/b
C. 若a/?/b，b/?/α，a?α，則a/?/αD. 若a/?/α，α/?/β，a?β，則a/?/β
11.“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓O的半徑2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且OP= 2，弦AC，BD均過點(diǎn)P，則下列說法正確的是( )
A. PA?PC為定值
B. 當(dāng)AC⊥BD時(shí)，AB?CD為定值
C. 當(dāng)∠ABC=π3時(shí)，△ABC面積的最大值為 32
D. OA?OC的取值范圍是[?4,0]
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知平面α截球O的球面所得圓的面積為π，O到α的距離為3，則球O的表面積為______．
13.在△ABC中，已知tanA，tanB是關(guān)于x的方程x2+m(x+1)+1=0的兩個(gè)實(shí)根，則C= ．
14.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若AB=mAM，AC=nAN，則m+n的值為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知函數(shù)f(x)=2sin2x?4cs2x+1．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)設(shè)g (x)=f(x2)，求g(x)在區(qū)間[0,π3]的最大值與最小值．
16.(本小題15分)
記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+ 3csA=2．
(1)求A；
(2)若a=2， 2bsinC=csin2B，求△ABC周長．
17.(本小題15分)
如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC/?/AD，EF/?/AD，AD=4，AB=BC=EF=2，ED= 10,FB=2 3，M為AD的中點(diǎn)．
(1)證明：BM/?/平面CDE；
(2)求點(diǎn)M到ABF的距離．
18.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點(diǎn)．
(1)求證：CD⊥平面PAD；
(2)求證：AM⊥平面PCD；
(3)求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值．
19.(本小題17分)
如果函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a使得f(x+a)=f(?x)成立，則稱此函數(shù)具有“P(a)性質(zhì)”．
(1)判斷函數(shù)y=sinx是否具有“P(a)性質(zhì)”，若具有“P(a)性質(zhì)”求出所有a的值；若不具有“P(a)性質(zhì)”，請說明理由．
(2)已知y=f(x)具有“P(0)性質(zhì)”，且當(dāng)x≤0時(shí)f(x)=(x+m)2，求y=f(x)在[0,1]上的最大值．
(3)設(shè)函數(shù)y=g(x)具有“P(±1)性質(zhì)”，且當(dāng)?12≤x≤12時(shí)，g(x)=|x|.若y=g(x)與y=mx交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2023個(gè)，求m的值．
參考答案
1C
2A
3B
4C
5C
6C
7A
8C
9ABD
10BCD
11ABD
1240π
133π4
142
15解：f(x)=2sin2x?4cs2x+1=1?cs2x?2(1+cs2x)+1=?3cs2x．
(1)f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(2)g(x)=f(x2)=?3cs(2?x2)=?3csx，
∵x∈[0,π3]，
∴?3csx∈[?3,?32].
即g(x)在區(qū)間[0,π3]的最大值為?32，最小值為?3．
16解：(1)因?yàn)閟inA+ 3csA=2，
所以2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，
由A為三角形內(nèi)角得A+π3=π2，
即A=π6；
(2)因?yàn)?2bsinc=csin2B，
2bsinC=2csinBcsB，由正弦定理可得： 2bc=2bccsB，
可得csB= 22，
又因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π4，C=π?A?B=712π，
在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=212=4，
所以b=4sinB=2 2，c=4sinC=4sin7π12=4sin(π4+π3)= 6+ 2，
所以△ABC的周長為a+b+c=2+3 2+ 6．
綜上，△ABC的周長為2+3 2+ 6．
17解：(1)證明：因?yàn)锽C/?/AD，BC=2，AD=4，M為AD的中點(diǎn)，所以BC/?/MD，BC=MD，
四邊形BCDM為平行四邊形，所以BM/?/CD，
又因?yàn)锽M?平面CDE，CD?平面CDE，所以BM/?/平面CDE；
(2)如圖所示，作BO⊥AD交AD于O，連接OF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，BC/?/AD，AD=4，AB=BC=2，所以CD=2，
結(jié)合(1)BCDM為平行四邊形，可得BM=CD=2，
又AM=2，所以△ABM為等邊三角形，O為AM中點(diǎn)，所以O(shè)B= 3，
又因?yàn)樗倪呅蜛DEF為等腰梯形，M為AD中點(diǎn)，所以EF=MD，EF/?/MD，
四邊形EFMD為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF，所以△AFM為等腰三角形，
△ABM與△AFM底邊上中點(diǎn)O重合，OF⊥AM，OF= AF2?AO2=3，
因?yàn)镺B2+OF2=BF2，所以O(shè)B⊥OF，所以O(shè)B，OD，OF互相垂直，
由等體積法可得VM?ABF=VF?ABM，VF?ABM=13S△ABM?FO=13× 34×22×3= 3，
cs∠FAB=FA2+AB2?FB22FA?AB=( 10)2+22?(2 3)22? 10?2=12 10,sin∠FAB= 392 10，
S△FAB=12FA?AB?sin∠FAB=12? 10?2? 392 10= 392，
設(shè)點(diǎn)M到FAB的距離為d，
則VM?FAB=VF?ABM=13?S△FAB?d=13? 392?d= 32，
解得d=3 1313，
即點(diǎn)M到ABF的距離為3 1313．
18解：(1)證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，CD?底面ABCD，
所以CD⊥平面PAD．
(2)證明：(證法一)因?yàn)镃D⊥平面PAD，AM?平面PAD，
所以CD⊥AM，
因?yàn)椤鱌AD是正三角形，M是PD的中點(diǎn)，
所以AM⊥PD，
又CD∩PD=D，CD，PD?平面PCD，
所以AM⊥平面PCD，
(證法二)因?yàn)镃D⊥平面PAD，
又CD?平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD，
因?yàn)椤鱌AD是正三角形，M是PD的中點(diǎn)，
所以AM⊥PD，
又平面PCD交平面PAD于PD，AM?平面PAD，
故AM⊥平面PCD．
(3)取AD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，PE，PF，
則EF=CD，EF//CD，
因?yàn)锳D⊥CD，
所以EF⊥AD，
又在正△PAD中，PE⊥AD，
因?yàn)镋F∩PE=E，EF，PE?平面PEF，
所以AD⊥平面PEF，
因?yàn)檎叫蜛BCD中，AD//BC，
所以BC⊥平面PEF，
又EF、PF?平面PCD，
所以BC⊥EF，BC⊥PF，
所以∠PFE是側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，
因?yàn)镃D⊥平面PAD，EF//CD，
所以EF⊥平面PAD，
因?yàn)镻E?平面PAD，
所以EF⊥PE，
設(shè)正方形ABCD的邊長AD=2a，則EF=2a，PE= 3a，
所以PF= PE2+EF2= 7a，所以cs∠PFE=EFPF=2 77，
即側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值為2 77．
19解：(1)由sin(x+a)=sin(?x)=?sinx，所以a=2kπ+π，k∈Z，
所以函數(shù)y=sinx具有“P(a)性質(zhì)”，其中a=2kπ+π，k∈Z．
(2)因?yàn)閥=f(x)具有“P(0)性質(zhì)”，所以f(x)=f(?x)，
設(shè)x≥0，則?x≤0，
所以f(x)=f(?x)=(?x+m)2=(x?m)2，
當(dāng)m≤0時(shí)，f(x)在[0,1]為增函數(shù)，
所以最大值為f(1)=(1?m)2；
當(dāng)00時(shí)，要使y=g(x)與y=mx交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2023個(gè)，
只要y=g(x)與y=mx在區(qū)間[0,1011)有2022個(gè)交點(diǎn)，而在[1011,1012]有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以y=mx過(20232,12)，從而得m=12023，部分簡圖如下：

當(dāng)m

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