?專題22 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題 微點(diǎn)3 圓錐曲線中的定直線問(wèn)題
專題22 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定值線問(wèn)題
微點(diǎn)3 圓錐曲線中的定直線問(wèn)題
【微點(diǎn)綜述】
定直線問(wèn)題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問(wèn)題.證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上是圓錐曲線的常規(guī)題型，解決這類問(wèn)題，可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據(jù)其本身特點(diǎn)的獨(dú)特性采用一些特殊方法.
一、常見解題策略
1.聯(lián)立方程消去參；
2.挖掘圖形的對(duì)稱性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；
3.將橫縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消參；
4.設(shè)點(diǎn)，對(duì)方程變形解得定直線.
二、常用解題方法
這類問(wèn)題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡，主要方法有：
（1）設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過(guò)已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；
（2）待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；
（3）驗(yàn)證法：通過(guò)特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.
三、典例精析
（一）橢圓中的定值線問(wèn)題
例1
1．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且恰是的中點(diǎn)，若過(guò)A，Q，三點(diǎn)的圓與直線相切．

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N為橢圓C的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，直線m過(guò)點(diǎn)交C于不同兩點(diǎn)G，H，證明：四邊形MNHG的對(duì)角線交點(diǎn)在定直線上，并求出定直線方程．
例2
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，是橢圓的左?右頂點(diǎn)，，離心率.是右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任作直線交橢圓于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）試探究直線與直線的交點(diǎn)是否落在某條定直線上？若是，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
例3
3．已知橢圓：（）的離心率為，，分別為的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的右焦點(diǎn)作軸的垂線交于，兩點(diǎn)，的面積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在與軸不垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的垂直平分線過(guò)的右焦點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（二）雙曲線中的定值線問(wèn)題
例4
4．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求的方程；
（2）設(shè)，，若過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，且直線與交于點(diǎn).證明：
（i）點(diǎn)在定直線上；
（ii）若直線與交于點(diǎn)，則.
例5（2022江蘇南通·高二開學(xué)考試）
5．已知雙曲線：（，）實(shí)軸端點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，離心率為2，過(guò)點(diǎn)且斜率1的直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，已知的面積為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，請(qǐng)求出該定直線方程；如不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
例6
6．已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).
（1）若，求直線的方程；
（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.
（三）拋物線中的定值線問(wèn)題
例7
7．曲線C上任一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離．
（1）求曲線C的方程；
（2）經(jīng)過(guò)P（1,2）作兩條不與坐標(biāo)軸垂直的直線分別交曲線C于A、B兩點(diǎn)，且，設(shè)是AB中點(diǎn)，問(wèn)是否存在一定點(diǎn)和一定直線，使得M到這個(gè)定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)和這條定直線的方程．若不存在，說(shuō)明理由．
例8
8．如圖，已知拋物線直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）證明：；
（2）設(shè)拋物線C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，證明：與的交點(diǎn)M在一定直線上.
例9
9．已知拋物線，圓，直線與拋物線和圓同時(shí)相切.
（1）求和的值；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線分別相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊），過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線分別相交于、兩點(diǎn)，直線與不重合，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.
【強(qiáng)化訓(xùn)練】
10．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知，過(guò)且與軸垂直的直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一定直線上，并求出此直線的方程.
11．已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：（）上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引軸、軸的平行線，交軸、軸于，兩點(diǎn)，交直線于，兩點(diǎn)，記與的面積分別為，，且．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在一定直線上，并求出該直線方程．
12．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn)的直線距離是
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程
13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．如圖所示，斜率為且過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，若在射線上，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：點(diǎn)在定直線上．
14．已知橢圓，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)．
（1）過(guò)原點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求直線與直線的斜率之積的范圍；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)、時(shí)，線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．
15．已知橢圓的離心率為分別是它的左、右頂點(diǎn)，是它的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與交于(異于)兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，的面積為.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，求證:點(diǎn)在定直線上.
16．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)做直線與曲線交于不同兩點(diǎn)，三角形的垂心為點(diǎn).
（1）求曲線的方程；
（2）求證：點(diǎn)在一條定直線上，并求出這條直線的方程.
17．已知拋物線L：（）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與拋物線L交于A，B兩點(diǎn)，直線交拋物線L于另一點(diǎn)C，直線的最小值為4.

（1）求拋物線L的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線m，則x軸上是否存在一點(diǎn)，使得直線PB與直線m的交點(diǎn)恒在一條定直線上？若存在，求該點(diǎn)的坐標(biāo)及該定直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
18．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y2＝2px（p＞0）及點(diǎn)M（2，0），動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)M交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，AB＝4.

（1）求p的值；
（2）若l與x軸不垂直，設(shè)線段AB中點(diǎn)為C，直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且垂直于y軸，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且垂直于直線l，記l1，l2相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在定直線上.
19．已知拋物線C：（）與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.F是拋物線C的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N.
（1）求拋物線C的方程.
（2）過(guò)點(diǎn)M，N作拋物線C的切線，，是，的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在定直線上.
20．如圖，已知拋物線C：的焦點(diǎn)F，過(guò)x軸上一點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于A，B和C，D，設(shè)和所在直線交于點(diǎn)P．設(shè)M為拋物線上一點(diǎn)，滿足以下的其中兩個(gè)條件：①M(fèi)點(diǎn)坐標(biāo)可以為；②軸時(shí)，；③比M到y(tǒng)軸距離大1．

（1）拋物線C同時(shí)滿足的條件是哪兩個(gè)？并求拋物線方程；
（2）判斷并證明點(diǎn)P是否在某條定直線上，如果是，請(qǐng)求出該直線；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
21． 設(shè)直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，，問(wèn)是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、，在線段上去異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿足，證明點(diǎn)恒在一條定直線上.
23．已知雙曲線：（，）實(shí)軸端點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，離心率為2，過(guò)點(diǎn)且斜率1的直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，已知的面積為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，請(qǐng)求出該定直線方程；如不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
24．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，它的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)、是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，求證：直線與的交點(diǎn)必在直線上．
25．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，左?右焦點(diǎn)分別為?，離心率為，且過(guò)點(diǎn)，又點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足.
(1)求雙曲線的方程；
(2)證明：直線與直線的斜率之積是定值；
(3)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?，在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn)，滿足，證明點(diǎn)恒在一條定直線上.


參考答案：
1．（1）；（2）證明見解析， .
【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為，由圓的定義可求得圓的半徑，再由直線與圓的相切的條件可求得， ，，可求得橢圓方程．
（2）設(shè)其方程為，設(shè)，，直線與橢圓的方程聯(lián)立整理得，得出根與系數(shù)的關(guān)系，表示直線MH的方程和直線GN的方程。求得兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入，可得交點(diǎn)所過(guò)的定直線.
【詳解】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為，由為線段中點(diǎn)，，
所以A，Q，三點(diǎn)圓的圓心為，半徑為，
又因?yàn)樵搱A與直線l相切，所以，∴，所以，，
故所求橢圓方程．
（2）由對(duì)稱性可知，若存在，則必為垂直于x軸的直線．
依題意，直線l斜率必存在且不為0，設(shè)其方程為，
設(shè)，，聯(lián)立，得，
所以，故，
不妨設(shè)，，
所以直線MH的方程為，直線GN的方程為
消去y，得


故四邊形MNHG的對(duì)角線交點(diǎn)在定直線上．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于將目標(biāo)條件轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，交點(diǎn)坐標(biāo)的韋達(dá)定理上去可得以解決.
2．（1）；（2）直線與直線的交點(diǎn)落在定直線上.
【解析】（1）根據(jù)題中條件，求出，即可得出橢圓方程；
（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理，得到，，表示出直線和的方程，聯(lián)立兩直線方程，計(jì)算為定值，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1），，則，
設(shè)焦距為，離心率，，，

因此所求的橢圓方程為
（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，
由得，
，，
直線方程是，直線方程是，
由，
可得






，解得：
此直線與直線的交點(diǎn)落在定直線上.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
求解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵在于根據(jù)點(diǎn)為兩直線交點(diǎn)，聯(lián)立兩直線方程，結(jié)合直線與橢圓聯(lián)立后的結(jié)果，利用韋達(dá)定理，通過(guò)計(jì)算，確定點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值，即可求解.
3．（1），（2）不存在，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)離心率得，根據(jù)的面積為．得，從而解得，可得橢圓的方程；
（2）假設(shè)存在與軸不垂直的直線滿足題意，設(shè)，代入，設(shè)，，根據(jù)判別式可得，根據(jù)韋達(dá)定理得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求得弦的垂直平分線方程，將代入可得，將其代入，得無(wú)解，故不存在符合題意的直線.
【詳解】（1）依題意，，所以，即，
所以，所以，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）假設(shè)存在與軸不垂直的直線滿足題意，設(shè)，將其代入，整理得，
所以，所以，
設(shè)，，則，
則，
所以的中點(diǎn)為，
所以弦的垂直平分線方程為，
因?yàn)橄业拇怪逼椒志€過(guò)的右焦點(diǎn)，
所以，
所以，將其代入，得，
化簡(jiǎn)得，此不等式不成立，
所以不存在符合題意的直線.
【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
4．（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，由題中條件，得到，再由雙曲線的定義，即可得出結(jié)果；
（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，其中，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，表示出直線與的方程，兩直線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值，即可證明結(jié)論成立；
（ii）先同理得到點(diǎn)也在定直線上，設(shè)，， 代入（i）中直線與的方程，得出，再計(jì)算，即證結(jié)論成立.
【詳解】（1）由題意可知：，
所以點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之差為2，且，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)其方程為，其中，，
所以，，
所以，所以曲線的方程為.
（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，其中，.
聯(lián)立，消去，可得，
由題意知且，
所以，.
直線：，直線：①，
由于點(diǎn)在曲線上，可知，所以，
所以直線：②.
聯(lián)立①②，消去可得，
即，
所以，
所以，所以，
所以點(diǎn)在定直線上.
（ii）由題意，與（i）同理可證點(diǎn)也在定直線上.
設(shè)，，
由于在直線：上，在直線：上，
所以，，
所以
，
又因?yàn)?，?br /> 所以，所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
求解圓錐曲線中動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問(wèn)題時(shí)，一般需要根據(jù)題中條件，設(shè)出所需直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及題中條件，求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系時(shí)，從而可確定結(jié)果（一般得到動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為定值）.
5．(1)
(2)在定直線方程上

【分析】（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，可得點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求出的值；（2）分直線斜率 和不存在兩種情況討論，求出兩直線交點(diǎn)，代入化簡(jiǎn)即可求解.
（1）
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴雙曲線的方程為．
（2）
當(dāng)直線點(diǎn)的斜率不存在時(shí)，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得的，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立得，∴，，
∴直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，兩邊平方得，
又，滿足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
綜上，在定直線上，且定直線方程為．
6．（1）或；（2）證明見解析.
【解析】（1）設(shè)直線的方程為并聯(lián)立雙曲線根據(jù)韋達(dá)定理可得與關(guān)系，結(jié)合可得，從而求得值得直線方程；
（2）列出直線與方程，并求點(diǎn)坐標(biāo)得，故得證.
【詳解】解：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，把直線與雙曲線
聯(lián)立方程組，，可得，
則，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直線的方程為或．
（2）直線的方程為，直線的方程為，
直線與的交點(diǎn)為，故，即，
進(jìn)而得到，又，
故，解得
故點(diǎn)在定直線上．
【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)晴：直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題，通常采用設(shè)而不求，結(jié)合韋達(dá)定理求解.
7．（1） ；（2）所求的定點(diǎn)為，定直線方程為．
【分析】（1）由拋物線的定義，即可求解；
（2）利用消參得到M點(diǎn)軌跡為y=4x2+4x+，根據(jù)拋物線圖象的平移變換得到結(jié)論：定點(diǎn)為，定直線方程為.
【詳解】（1）因?yàn)榈蕉c(diǎn)的距離等于它到定直線的距離，利用拋物線的定義，設(shè)方程為，而，
故曲線C的方程為即；
（2）設(shè)：y-2=k(x-1)(k≠0) ： y-2=(x-1)
由得2x2-kx+k-2=0，設(shè)，則，
同理得B點(diǎn)坐標(biāo)為，故M點(diǎn)坐標(biāo)為，
整理得，
消去k得：y=4x2+4x+ ，
M軌跡是拋物線，故存在一定點(diǎn)和一定直線，使得M到定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離．將拋物線方程化為，
此拋物線可看成是由拋物線左移個(gè)單位，上移個(gè)單位得到的，而拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.
∴所求的定點(diǎn)為，定直線方程為.
8．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】（1）設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到，從而得證；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過(guò)點(diǎn)、的切線、的方程，即可得到，即可得證；
【詳解】解：（1）設(shè)，，
把代入，得.
由韋達(dá)定理得，.
.
所以
（2），，
故經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線的方程為：，
即，①
同理，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線的方程為：，②
，得.
即點(diǎn)M在直線上.
【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．
9．（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)判別式等于零可得；
（2）聯(lián)立直線與拋物線，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，利用直線和直線的方程聯(lián)立，消去可得，所以點(diǎn)在定直線上
【詳解】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知圓的圓心為，半徑為，
由直線與圓相切，可得，解得或（舍去），
聯(lián)立方程，消去后整理為，
因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，得，
故，.
（2）證明：直線的方程為，
聯(lián)立方程，解得或，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的方程為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
聯(lián)立方程，消去整理為，
有，，
，
由得或，
直線的斜率為，
直線的斜率為，
直線的方程為，化為，
直線的方程為，化為，
聯(lián)立直線、的方程消去后得，
得，因?yàn)橹本€與不重合，所以，所以，
故點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓、直線與拋物線相切的位置關(guān)系，考查了韋達(dá)定理、斜率公式、直線的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
10．（1）；（2）證明見解析，直線.
【分析】（1）由橢圓過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程.
（2）由題設(shè)知的斜率不可能為0，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，再由點(diǎn)斜式表示直線：，則即可判斷是否為定直線.
【詳解】（1）由題意，且，又，解得，.
橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程
整理得，，
由，，即.
直線的方程為.①
過(guò)且與軸垂直的直線的方程為.②
聯(lián)立①②可得.
點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，設(shè)直線的方程聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理確定的關(guān)系，進(jìn)而由的位置用表示出其橫坐標(biāo).
11．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，直線.
【分析】（Ⅰ）設(shè)，利用，可得，又，，可得橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，聯(lián)立，得，利用根的系數(shù)關(guān)系得，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立消去得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，與軸重合，過(guò)點(diǎn)，即可得到結(jié)論.
【詳解】（Ⅰ）設(shè)，軸，軸，，，，，
，，
，
，又，，
解得：，，故橢圓的方程為．
（Ⅱ）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，設(shè)，，
聯(lián)立，得，，
由韋達(dá)定理得，，．
因?yàn)椋?br /> 所以直線的方程為，直線的方程為．
聯(lián)立消去得，整理得

，
所以直線，的交點(diǎn)一定在直線上；
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，與軸重合，過(guò)點(diǎn)，
由①②知直線，的交點(diǎn)在直線上．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；
（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
12．（1）；（2）證明見解析，.
【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)公式，結(jié)合直線方程的截距式方程、點(diǎn)到直線距離公式、橢圓中之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合一元二次方程的判斷別式、斜率公式、以及互相垂直兩直線的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為???，
直線的方程為：，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，
，

橢圓方程為；
（2）因?yàn)橹本€與橢圓相切，
聯(lián)立直線與橢圓方程：


即
切點(diǎn)坐標(biāo)
即，
，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
的方程為
聯(lián)立直線方程：

解得
在這條定直線上.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)直線與橢圓的位置關(guān)系，借助方程組消，運(yùn)用一元二次方程根的判別式得到等式，再通過(guò)求出橫坐標(biāo)，進(jìn)行證明即可.
13．（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)，可得，再結(jié)合離心率即可求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立用表示兩點(diǎn)，即可算出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，從而獲解.
【詳解】（1）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，
所以，
又，則，所以，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立得，
由題意知恒成立，
由韋達(dá)定理得，所以，
由于為線段的中點(diǎn)，因此，，
此時(shí)．
所以所在直線方程為，
將其代入橢圓的方程，并由，
解得，
又，
由得，
因此，點(diǎn)在定直線上．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定線問(wèn)題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定直線，再證明這條線與變量無(wú)關(guān).
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定直線.
14．（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，可得，橢圓的有界性可得出，利用斜率公式結(jié)合橢圓方程可得出，利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍；
（2）設(shè)、、，分析得出直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，再由可得出，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，，
則，
所以，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以；
（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓無(wú)公共點(diǎn)，不合乎題意.
所以，直線的斜率存在，設(shè)，即，
聯(lián)立，得，
由得，
設(shè)、，則，，
設(shè)，由，得（考慮線段在軸的射影），
所以，
于是，整理得，
又，代入上式，得，所以點(diǎn)總在定直線上．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
15．（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓的性質(zhì)可知，再根據(jù)軸時(shí)，的面積為 ，由面積公式可知，由此即可求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，由韋達(dá)定理，可知 ，將直線的方程與直線 的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可證明結(jié)果.
【詳解】解:（1）由題意知，所以，又，
所以
當(dāng)軸時(shí)，的面積為，
所以
解得
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為 ，
與橢圓聯(lián)立，得 .
顯然恒成立.
設(shè)，
所以有
直線的方程為，直線 的方程為，
聯(lián)立兩方程可得，所以

由式可得，
代入上式可得，
解得
故點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于設(shè)直線的方程為，避免了斜率存在和不存在的分類討論，使得運(yùn)算簡(jiǎn)化.
16．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，得到圓心表示以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，即可求得圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)，由三點(diǎn)共線，求得的值，再求得過(guò)點(diǎn)與直線垂直和點(diǎn)與直線垂直的直線方程，聯(lián)立方程組，求得，即可得到結(jié)論.
【詳解】（1）圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)與直線相切，
則圓心滿足到點(diǎn)與到直線的距離相等，
根據(jù)拋物線的定義，可得圓心表示以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，
其中，所以圓心的軌跡方程為.
（2）設(shè)，，
由三點(diǎn)共線，則，整理得，
過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線為，
同理過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線為，
兩條垂線聯(lián)立方程組 ，解得，
所以垂心在直線.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.
17．（1）；（2）存在，，.
【分析】（1）顯然當(dāng)軸時(shí)，取得最小值，可得，即可得到所求拋物線方程；
（2）假設(shè)軸上存在一點(diǎn)，，使得直線與直線的交點(diǎn)恒在一條定直線上．設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由的方程和直線的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)，化簡(jiǎn)可得所求定點(diǎn)和定直線．
【詳解】（1）設(shè)直線的傾斜角為，
所以由拋物線（）的焦點(diǎn)弦公式得，
所以當(dāng)，即當(dāng)軸時(shí)，取得最小值.
把代入可得，
故，，
可得拋物線的方程為：．
（2）假設(shè)軸上存在一點(diǎn)，，使得直線與直線的交點(diǎn)恒在一條定直線上．
設(shè)，，，，直線的方程為，
聯(lián)立拋物線方程，可得，
，，
直線的方程為即，
聯(lián)立直線，
可得，
由，，可得，，
即有，
由假設(shè)可得，
即，此時(shí)，
可得存在定點(diǎn)，定直線為．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查方程思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
18．（1）p＝1（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)AB＝4，知拋物線y2＝2px（p＞0）過(guò)點(diǎn)（2，2），代入計(jì)算得到答案.
（2）由題意設(shè)直線l的方程為：y＝k（x﹣2），且k≠0，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程得到y(tǒng)1+y2，y1y2＝﹣4，根據(jù)直線方程得到P（1，），得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)M（2，0），且垂直于x軸時(shí)，
由AB＝4，知拋物線y2＝2px（p＞0）過(guò)點(diǎn)（2，2），
代入拋物線方程，得4＝2p×2，解得p＝1；
（2）證明：由題意設(shè)直線l的方程為：y＝k（x﹣2），且k≠0，
點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立，消去x，化簡(jiǎn)得ky2﹣2y﹣4k＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2，y1y2＝﹣4；
又點(diǎn)C在直線AB上，則yC，所以直線l1的方程為y；
又直線l2過(guò)點(diǎn)M且與直線l垂直，則直線l2的方程為y（x﹣2）；
聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)P（1，），
所以點(diǎn)P在定直線x＝1上.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的值，定直線問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.
19．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的方程；
（2）拋物線，則，設(shè),，可分別求得切線PM的方程和切線PN的方程，聯(lián)立解得點(diǎn)，設(shè)直線MN的方程為，代入拋物線的方程得，所以，進(jìn)而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，命題得證.
【詳解】（1）點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
代入解得，所以拋物線的方程為；
（2）拋物線，則，設(shè),，
所以切線PM的方程為 ，即,
同理切線PN的方程為，
聯(lián)立解得點(diǎn)，
設(shè)直線MN的方程為，代入，
得，所以，
所以點(diǎn)P在上，結(jié)論得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線過(guò)定點(diǎn)的解題策略一般有以下幾種：
（1）如果題設(shè)條件沒有給出這個(gè)定點(diǎn)，那么，我們可以這樣思考：由于這個(gè)定點(diǎn)對(duì)符合要求的一些特殊情況必然成立，那么我們根據(jù) 特殊情況先找到這個(gè)定點(diǎn)，再進(jìn)行證明；
（2）直接找出參數(shù)之間的關(guān)系，并在計(jì)算過(guò)程中消去部分參數(shù)，將直線方程化為點(diǎn)斜式或者斜截式方程，從而得到定點(diǎn)；
（3）若直線方程含多個(gè)參數(shù)并給出或能求出參數(shù)滿足的方程，觀察直線方程特征與參數(shù)方程滿足的方程的特征，即可找出直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.
20．（1）①③，；（2）點(diǎn)P在定直線上；證明見解析；定直線．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定可以滿足哪兩個(gè)條件；
（2）設(shè)，，，，，，直線方程代入拋物線方程整理應(yīng)用應(yīng)用韋達(dá)定理得，同理得，然后由拋物線上兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線和方程，兩方程消去后并代入韋達(dá)定理的結(jié)論可得為定值．這樣得定直線．
【詳解】（1）若有①，則，，此時(shí)②不能滿足，，③能滿足，
若有②，則，①③都不能滿足．
故能同時(shí)滿足①③，拋物線方程為；
（2），，
，，，；
，
由韋達(dá)定理得，
同理，；
因?yàn)?br /> 即，
同理，；
消去y得，
，
，
，．
所以點(diǎn)P在定直線上．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線相交中的定直線問(wèn)題．解題方法是設(shè)而不求的思想方法：設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）的和與積．對(duì)定直線問(wèn)題，需求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入上述韋達(dá)定理的結(jié)論可得坐標(biāo)滿足的性質(zhì)，從而確定定直線，
21．9
【分析】由消去化簡(jiǎn)整理得
設(shè)，，則
①
由消去化簡(jiǎn)整理得
設(shè)，，則
②
因?yàn)?，所以，此時(shí)．
由得．
所以或．由上式解得或．當(dāng)時(shí)，由①和②得．因是整數(shù)，所以的值為，，，，，，．當(dāng)，由①和②得．因是整數(shù)，所以，，．于是滿足條件的直線共有9條．
【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?br /> 22．（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)雙曲線的離心率列方程求出實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用條件確定與、之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上這一條件，以及斜率公式來(lái)證明直線與直線的斜率之積是定值；（3）證法一是先設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，結(jié)合（2）得到，，引入?yún)?shù)，利用轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的條件，利用坐標(biāo)運(yùn)算得到點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)而證明點(diǎn)恒在定直線上；證法二是設(shè)直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)為，最后利用點(diǎn)在直線上得到，從而消去得到
，進(jìn)而證明點(diǎn)恒在定直線上.
試題解析：（1）根據(jù)雙曲線的定義可得雙曲線的離心率為，由于，解得，
故雙曲線的方程為；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知點(diǎn)，
則，，
，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故直線的斜率，直線的斜率為，
因此直線與直線的斜率之積為，
由于點(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）證法一：設(shè)點(diǎn) 且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)、，由（2）知，，，
設(shè)，則，即，
整理得，
由①③，②④得，，
將，，代入⑥得，⑦，
將⑦代入⑤得，即點(diǎn)恒在定直線上；
證法二：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由，
消去得，
因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)、，
則有，
設(shè)點(diǎn)，由，得，
整理得，
將②③代入上式得，
整理得，④
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，⑤
聯(lián)立④⑤消去得，所以點(diǎn)恒在定直線.
考點(diǎn)：1.雙曲線的離心率；2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算；3.斜率公式；4.韋達(dá)定理
23．(1)
(2)在定直線方程上

【分析】（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，可得點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求出的值；（2）分直線斜率 和不存在兩種情況討論，求出兩直線交點(diǎn)，代入化簡(jiǎn)即可求解.
（1）
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴雙曲線的方程為．
（2）
當(dāng)直線點(diǎn)的斜率不存在時(shí)，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得的，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立得，∴，，
∴直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，兩邊平方得，
又，滿足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
綜上，在定直線上，且定直線方程為．
24．(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
(3)證明見解析

【分析】（1）由題意得，解得，即可求解；（2）設(shè)，，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，代入雙曲線方程即可求解；
（3）由題意可設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立后整理即可得證．
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，
則得，
解得，，
所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）證明：由題意可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去，并整理得
，
設(shè)，，，，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，
又設(shè)，，，則得直線的方程為，
直線的方程為，兩個(gè)方程相減得
①，
因?yàn)椋?br /> 把它代入①得，
所以，
因此直線與的交點(diǎn)在直線上．
25．(1)1
(2)證明見解析
(3)證明見解析

【分析】（1）由離心率公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程，結(jié)合雙曲線的，，的關(guān)系，即可求得，，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（2）設(shè)出，，代入雙曲線的方程，再由，再由直線的斜率公式，得到直線與直線的斜率之積，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用代入，即可得到定值；
（3）設(shè)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，，設(shè)，代入可得求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)恒在定直線上.
（1）
雙曲線，，
由于離心率為，即，
代入雙曲線的方程可得，
解得，，，
即有雙曲線的方程為；
（2）
由于點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，
可設(shè)，
再由為雙曲線上一點(diǎn)，可設(shè)，
則，即.
由，
則，
即有，即有，
則，
則直線與直線的斜率之積是定值；
（3）
設(shè)點(diǎn)，
且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，，
則，
即，，
設(shè)，
則.
即
由，得，
將，，代入，
得，
將代入，得，
所以點(diǎn)恒在定直線上.

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