1.已知 a2=1，(? 2)2=b，則 (a+b)2=( )
A. 1B. 3C. 1或3D. ?1或?3
2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，DC=2，點(diǎn)D在BC上，∠BAD=∠B，BC的長為( )
A. 2 3
B. 7+2
C. 13?2
D. 13+2
3.下列各式的計(jì)算正確的是( )
A. ?4?9= ?4 ?9=?2?3=23B. 429=213 2
C. 34=2 3D. 311÷ 323= 311÷113=311
4.若xyb)表示直角三角形的兩直角邊，則下列結(jié)論不正確的是( )
A. a2+b2=25B. a+b=5C. a?b=1D. ab=12
6.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，P為CD上任一點(diǎn)，(PB+PA)(PB?PA)的值為( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如圖，正方形Ⅰ的邊長為a，面積為12；正方形Ⅱ的邊長為b，面積為27.計(jì)算(b?a)÷ 3的結(jié)果為( )
A. 1B. ?1C. 3D. 33
8.無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示.將一根長為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有( )
A. 5cmB. 7cmC. 8cmD. 11cm
9.已知a滿足|2024?a|+ a?2025=a，則a?20242=( )
A. 0B. 1C. 2024D. 2025
10.活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A=30°，AC=3，∠A所對的邊為 3，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)(我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形)，則滿足已知條件的三角形的第三邊長為( )
A. 2 3B. 2 3?3C. 2 3或 3D. 2 3或2 3?3
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11.已知： 18? 2=a 2? 2=b 2，則ab=______．
12.如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為______．
13.如圖，在等腰直角△ABC的斜邊AB上任取兩點(diǎn)M、N，使∠MCN=45°，記AM=m，MN=n，BN=k.試猜想：以m、n、k為邊長的三角形的形狀是(在下列括號中選擇) ______.(銳角三角形；鈍角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等邊三角形)
14.座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為T=2π 1g，其中T表示周期(單位：s)，l表示擺長(單位：m)，g=10m/s2.假若一臺(tái)座鐘的擺長為0.5m，它每擺動(dòng)一個(gè)來回發(fā)出一次滴答聲，那么在1min內(nèi)，該座鐘發(fā)出了______次滴答聲.(參考數(shù)據(jù)： 5=224π取3.14，結(jié)果保留整數(shù))
15.先化簡再求值：當(dāng)a=?2時(shí)，求a+ 1?2a+a2的值，甲乙兩人的解答如下：
甲的解答為：原式=a+ (1?a)2=a+(1?a)=1；
乙的解答為：原式=a+ (1?a)2=a+(a?1)=2a?1=?5．
兩種解答中，______的解答是錯(cuò)誤的；
若a=100時(shí)，a+ (1?a)2= ______．
16.勘測隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了A，B，C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖(單位：km).筆直鐵路經(jīng)過A，B兩地．
(1)A，B間的距離為 km；
(2)計(jì)劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個(gè)維修站D，使D到A，C的距離相等，則C，D間的距離為 km．
三、解答題：本題共7小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題8分)
計(jì)算：
(1) 6× 3? 8；
(2) 27÷ 32×2 2?6 2．
18.(本小題8分)
如圖，長和寬分別是a，b的長方形紙片的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長為x的正方形．
(1)用含a，b，x的代數(shù)式表示紙片剩余部分的面積；
(2)當(dāng)a=20+2 2，b=20?2 2，x= 2，求剩余部分的面積．
19.(本小題8分)
先閱讀下面的一段文字，再解答問題．
已知：在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)，其兩點(diǎn)之間的距離公式為MN= (x2?x1)2+(y2?y1)2.同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)之間的距離公式可以簡化為|x2?x1|或|y2?y1|.
(1)已知點(diǎn)A(0,5)，B(?3,6)，試求A，B兩點(diǎn)之間的距離；
(2)已知點(diǎn)A，B在垂直于x軸的直線上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?5,?12)，AB=10，試確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)A(0,6)，B(4,0)，C(?9,0)，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．
20.(本小題10分)
如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD=1，AD=2，CD=4．
(1)求證：∠BAC=90°；
(2)點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，連接AP，若△ABP為等腰三角形，求BP的長．
21.(本小題10分)
閱讀理解材料：把分母中的根號化掉叫做分母有理化，例如：
①1 5=1× 5 5× 5= 55；
②1 2?1=1×( 2+1)( 2?1)( 2+1)= 2+1( 2)2?12= 2+1等運(yùn)算都是分母有理化．
根據(jù)上述材料，
(1)化簡：12 3；
(2)化簡：1 5? 3；
(3)計(jì)算：(1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+...+1 2023+ 2021)( 2023+1)
22.(本小題10分)
臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為300km和400km，又AB=500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．
(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？
(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長？
23.(本小題12分)
如圖，長方形ABCD中，AB=8，BC=10，在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊后點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處
(1)求CE的長；
(2)在(1)的條件下，BC邊上是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PE值最??？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ a2=1，(? 2)2=b，
∴|a|=1，b=2，
∴a=±1，b=2，
當(dāng)a=1，b=2時(shí)， (a+b)2=|a+b|=|1+2|=3；
當(dāng)a=?1，b=2時(shí)， (a+b)2=|a+b|=|?1+2|=1；
故選：C．
由 a2=1，(? 2)2=b，求出a=±1，b=2，再由 (a+b)2=|a+b|即可得到答案．
本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
2.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，DC=2，
∴AD= AC2+CD2= 32+22= 13，
∵∠BAD=∠B，
∴BD=AD= 13，
∴BC=BD+CD= 13+2，
故選：D．
根據(jù)勾股定理可以求得AD的長，再根據(jù)∠BAD=∠B，可以得到BD=AD，然后即可求得BC的長．
本題考查勾股定理、等腰三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出AD的長．
3.【答案】D
【解析】解：A. ?4?9= 49=23，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B. 429= 389= 383，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C. 34= 32，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D. 311÷ 323= 311÷113= 311×311=311，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意．
故選：D．
【分析】根據(jù)二次根式的計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查了二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．
根據(jù)二次根式有意義可得出y≥0，再由xy0，
∴a+b=7，
故B錯(cuò)誤，A、C、D正確，
故選：B．
根據(jù)大正方形面積為25，小正方形面積為1，得出關(guān)于a、b的等式，即可得出結(jié)論．
本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握“趙爽弦圖”的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．
6.【答案】D
【解析】解：∵△PBC與△PAC是直角三角形，AC=2，BC=4，
∴PB2=PC2+BC2，PA2=PC2+AC2，
∴PB2?PA2=PC2+BC2?PC2?AC2=BC2?AC2=42?22=16?4=12．
故選：D．
先根據(jù)勾股定理用PC，BC表示出PB2，用PC，AC表示出PA2，再把AC=2，BC=4代入進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．
7.【答案】A
【解析】解：由題意知，a= 12，b= 27，
∴(b?a)÷ 3
=( 27? 12)÷ 3
= 9? 4
=3?2
=1．
故選：A．
首先根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得a= 12，b= 27，再根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算，進(jìn)行運(yùn)算，即可求解．
本題考查了正方形的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，掌握和運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．
8.【答案】A
【解析】解：如圖是長為20cm的細(xì)木筷斜放在杯子內(nèi)的示意圖，
在Rt△ABC中，AB=9cm，BC=12cm，
∴AC= AB2+BC2= 92+122=15(cm)，
∴細(xì)木筷在杯子內(nèi)的部分最長為15cm，
∵20?15=5(cm)，
∴木筷露在杯子外面的部分至少5cm，
故選：A．
畫出長為20cm的細(xì)木筷斜放在杯子內(nèi)的示意圖，即Rt△ABC，根據(jù)勾股定理求得AC=15cm，可知細(xì)木筷在杯子內(nèi)的部分最長為15cm，所以木筷露在杯子外面的部分至少5cm．
此題重點(diǎn)考查勾股定理及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用，從實(shí)際問題中抽象出兩條直角邊分別為9cm和12cm的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】D
【解析】解：∵a?2025≥0，
∴a≥2025，
∴|2024?a|+ a?2025=a?2024+ a?2025=a，
∴ a?2025=2024，
∴a?2025=20242，
∴a?20242=2025．
故選：D．
根據(jù)被開方數(shù)不小于零的條件求出a的取值范圍，再去絕對值，最后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行解題即可．
本題考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)不小于零的條件是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】C
【解析】解：如圖，CD=CB，作CH⊥AB于H，
∴DH=BH，
∵∠A=30°，
∴CH=12AC=32，AH= AC2?CH2= 9?94=3 32，
在Rt△CBH中，由勾股定理得BH= BC2?CH2= 3?94= 32，
∴AB=AH+BH=3 32+ 32=2 3，AD=AH?DH=3 32? 32= 3，
故選：C．
根據(jù)題意知，CD=CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CH，AH的長，再利用勾股定理求出BH，從而得出答案．
本題主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，理解題意，求出BH的長是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】6
【解析】解：
∵ 18=3 2
∴ 18? 2=3 2? 2=2 2
又∵ 18? 2=a 2? 2=b 2
∴a=3，b=2，
則ab=3×2=6．
故答案為：6．
直接化簡二次根式進(jìn)而得出a，b的值求出答案．
此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．
12.【答案】25
【解析】解：由題意可知，直角三角形中，一條直角邊的平方=9，一直角邊的平方=16，
則斜邊的平方=9+16=25．
故答案為：25．
三個(gè)正方形的邊長正好構(gòu)成直角三角形的三邊，根據(jù)勾股定理得到字母A所代表的正方形的面積A=9+16=25．
本題考查正方形的面積公式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．
13.【答案】直角三角形
【解析】解：如圖：作△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°，
又∵CN=CN，
∴△MNC≌△DNC，MN=ND，AM=BD=m，
又∠DBN=45°+45°=90°，
∴n2=m2+k2．
∴以m、n、k為邊長的三角形的形狀是直角三角形．
故答案為：直角三角形．
把△ACN繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、x、n集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．
本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，難度較大，注意掌握旋下列情形常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換：(1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°；(2)圖形中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對稱全等三角形；(3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．
14.【答案】58
【解析】解：把g=10m/s2.l=0.5m代入T=2π lg得，
T=2×3.14× 0.510≈1.406，
60÷1.046≈58(次)，
故答案為：58．
根據(jù)公式求出T的值，再計(jì)算次數(shù)即可．
本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式的性質(zhì)以及化簡方法是正確解答的前提．
15.【答案】乙 199
【解析】解：∵a=?2，
∴1?a>0，
∴a+ 1?2a+a2=a+(1?a)=1，
∴兩種解答中，乙的解答是錯(cuò)誤的；
若a=100時(shí)，1?a

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