一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）
1．若（﹣3）×□的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則□內(nèi)的數(shù)字可以為（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【答案】D
【解析】【解答】解：A、-3×2=-6＜0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、-3×1=-3＜0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、-3×0=0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、-3×(-1)=3＞0，故此選項(xiàng)正確，符合題意.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則“不為零的兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘，任何數(shù)同零相乘都等于零”可判斷得出答案.
2．長(zhǎng)白山天池系由火山口積水成湖，天池湖水碧藍(lán)，水平如鏡，群峰倒映，風(fēng)景秀麗，總蓄水量約達(dá)2040000000m3．?dāng)?shù)據(jù)2040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2.04×1010B．2.04×109C．20.4×108D．0.204×1010
【答案】B
【解析】【解答】解：2040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：2.04×109.
故答案為：B.
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去1，據(jù)此可得答案.
3．葫蘆在我國(guó)古代被看作吉祥之物．如圖是一個(gè)工藝葫蘆的示意圖，關(guān)于它的三視圖說(shuō)法正確的是（ ）
A．主視圖與左視圖相同
B．主視圖與俯視圖相同
C．左視圖與俯視圖相同
D．主視圖、左視圖與俯視圖都相同
【答案】A
【解析】【解答】解：葫蘆的俯視圖是四個(gè)同心圓，且?guī)A心，從外到內(nèi)第三個(gè)圓的弧線畫成虛線，左視圖與主視圖都是下面一個(gè)較大的圓，中間一個(gè)較小的圓，上面一個(gè)小矩形，最頂端是一條線段，故主視圖與左視圖相同，俯視圖與左視圖及主視圖不相同.
故答案為：A.
【分析】主視圖就是從正面看得到的正投影，左視圖就是從左面看得到的正投影，俯視圖就是從上面看得到的正投影，能看見的輪廓線都要畫成實(shí)線，看不見但又存在的輪廓線畫成虛線，據(jù)此結(jié)合葫蘆的形狀即可判斷得出答案.
4．下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣1B．（x﹣2）2＝0
C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝2
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵(x-2)2=-1＜0，∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)不符合題意；
B、∵(x-2)2=0，∴x-2=0，解得x1=x2=2，故該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)符合題意；
C、∵(x-2)2=1，∴x-2=±1，解得x1=3，x2=1，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)不符合題意；
D、∵(x-2)2=2，∴x-2=±，解得x1=，x2=，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)偶數(shù)次冪的非負(fù)性可判斷A選項(xiàng)；利用直接開平方法求出B、C、D三個(gè)方程的根，即可判斷得出答案.
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC．若將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA'B'C'，則點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣4，﹣2）B．（﹣4，2）
C．（2，4）D．（4，2）
【答案】C
【解析】【解答】解：∵A（-4，0），C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=OA=4，
∵將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA'B'C'，
∴OC'=OC=2，B'C'=BC=4，
∴點(diǎn)B'（2，4）.
故答案為：C.
【分析】根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可得OA=4，OC=2，根據(jù)矩形的性質(zhì)得BC=OA=4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OC'=OC=2，B'C'=BC=4，從而即可得出點(diǎn)B'的坐標(biāo).
6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD，交CD于點(diǎn)E．若∠BEC＝50°，則∠ABC的度數(shù)是（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵BE∥AD，
∴∠D=∠BEC=50°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，
∴∠ABC=180°-∠D=130°.
故答案為：C.
【分析】由二直線平行，同位角相等，得∠D=∠BEC=50°，進(jìn)而根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可求出∠ABC的度數(shù).
二、填空題（每小題3分，共24分）
7．當(dāng)分式的值為正數(shù)時(shí)，寫出一個(gè)滿足條件的x的值為 ．
【答案】0
【解析】【解答】解：∵，且1＞0，
∴x+1＞0，
解得x＞-1，
∴滿足條件的x的值可以為0（答案不唯一）.
故答案為：0.
【分析】開放性命題，答案不唯一；由分式的值為正數(shù)可得分子、分母同號(hào)，再結(jié)合分子為正數(shù)，可列出關(guān)于字母x的不等式，求解得出x的取值范圍，進(jìn)而在取值范圍內(nèi)隨便取值即可.
8．因式分解：a2﹣3a=
【答案】a（a﹣3）
【解析】【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案為：a（a﹣3）．
【分析】直接把公因式a提出來(lái)即可．本題主要考查提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是a是解題的關(guān)鍵．
9．不等式組的解集是 ．
【答案】2＜x＜3
【解析】【解答】解：
由①得x＞2，
由②得x＜3，
∴該不等式組的解集為2＜x＜3.
故答案為：2＜x＜3.
【分析】分別解出不等式組中兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無(wú)解了確定出解集即可.
10．如圖，從長(zhǎng)春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是 ．
【答案】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短
【解析】【解答】解：從長(zhǎng)春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：兩點(diǎn)之間，線段最短.
故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短.
【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”即可得出結(jié)論.
11．正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 °．
【答案】120
【解析】【解答】解：設(shè)正六邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為x°，
由題意得(6-2)×180°=6x°，
解得x=120.
故答案為：120.
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得該六邊形的內(nèi)角和為：(6-2)×180°，由于正多邊形每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)相等，故該正六邊形的內(nèi)角和可表示為：6x°，根據(jù)用兩個(gè)不同的式子表示同一個(gè)量可得這兩個(gè)式子相等，從而建立出方程，求解即可.
12．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F是OD上一點(diǎn)，連接EF．若∠FEO＝45°，則的值為 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAC=45°，
又∠FEO=45°，
∴∠FEO=∠DAC=45°，
∴EF∥AD，
∴△OEF∽△OAD，
∴，
∵點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，AD=BC，
∴.
故答案為：.
【分析】由正方形的性質(zhì)得AD=BC，∠DAC=45°，然后由同位角相等兩直線平行判斷出EF∥AD，再根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截三角形與原三角形相似得△OEF∽△OAD，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，最后根據(jù)中點(diǎn)定義即可求出答案.
13．圖①中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于點(diǎn)C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺．設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，可列方程為 ．
【答案】x2+22＝（x+0.5）2
【解析】【解答】解：設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，則AB'=AB=x+0.5(尺)，
在Rt△ACB'中，∵AC2+B'C2=AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2.
故答案為：x2+22＝（x+0.5）2.
【分析】設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，則AB'=AB=x+0.5(尺)，在Rt△ACB'中，利用勾股定理即可列出方程.
14．某新建學(xué)校因場(chǎng)地限制，要合理規(guī)劃體育場(chǎng)地．小明繪制的鉛球場(chǎng)地設(shè)計(jì)圖如圖所示，該場(chǎng)地由⊙O和扇形OBC組成，OB，OC分別與⊙O交于點(diǎn)A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，則陰影部分的面積為 m2（結(jié)果保留π）．
【答案】11π
【解析】【解答】解：S陰影=S扇形BOC-S扇形AOD =40π×102360-40π×12360=100π9-π9=99π9=11π
故答案為：11π.
【分析】根據(jù)扇形面積計(jì)算公式“”及S陰影=S扇形BOC-S扇形AOD列式計(jì)算即可.
三、解答題（每小題5分，共20分）
15．先化簡(jiǎn)，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中．
【答案】解：（a+1）（a﹣1）+a2+1
＝a2﹣1+a2+1
＝2a2
∵
∴原式＝2×（ ）2＝6．
【解析】【分析】將待求式子，先根據(jù)平方差公式去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，最后將a的值代入化簡(jiǎn)結(jié)果計(jì)算即可.
16．吉林省以“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”為指引，不斷加大冰雪旅游的宣傳力度，推出各種優(yōu)惠活動(dòng)，“小土豆”“小砂糖橘”等成為一道艦麗的風(fēng)景線．某滑雪場(chǎng)為吸引游客，每天抽取一定數(shù)量的幸運(yùn)游客，每名幸運(yùn)游客可以從“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取一個(gè)免費(fèi)游玩．若三個(gè)項(xiàng)目被抽中的可能性相等，用畫樹狀圖或列表的方法，求幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的概率．
【答案】解：把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個(gè)項(xiàng)目分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的結(jié)果有3種，
∴幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的概率為．
【解析】【分析】此題是抽取放回類型，把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個(gè)項(xiàng)目分別記為A、B、C，畫出樹狀圖展示出所有等可能的情況數(shù)，由圖可知共有9種等可能的結(jié)果，其中幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的結(jié)果有3種，從而根據(jù)概率公式計(jì)算可得答案.
17．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：AE＝BC．
【答案】證明：∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴AO＝OB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠BCO，
又∠AOE＝∠BOC，
∴△AOE≌△BOC（AAS），
∴AE＝BC．
【解析】【分析】由中點(diǎn)定義得AO=OB，由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，由二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠E＝∠BCO，從而由AAS判斷出△AOE≌△BOC，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BC.
18．鋼琴素有“樂(lè)器之王”的美稱．鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個(gè)，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個(gè)．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個(gè)數(shù)．
【答案】解：設(shè)白色琴鍵的個(gè)數(shù)為x個(gè)，黑色琴鍵的個(gè)數(shù)為y個(gè)，
由題意得：，
解得：，
答：白色琴鍵的個(gè)數(shù)為52個(gè)，黑色琴鍵的個(gè)數(shù)為36個(gè)．
【解析】【分析】設(shè)白色琴鍵的個(gè)數(shù)為x個(gè)，黑色琴鍵的個(gè)數(shù)為y個(gè)，根據(jù)“ 鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個(gè)，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個(gè) ”列出方程組，求解即可.
四、解答題（每小題7分，共28分）
19．圖①、圖②均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A，B，C，D，E，O均在格點(diǎn)上．圖①中已畫出四邊形ABCD，圖②中已畫出以O(shè)E為半徑的⊙O．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．
（1）在圖①中，畫出四邊形ABCD的一條對(duì)稱軸．
（2）在圖②中，畫出經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的⊙O的切線．
【答案】（1）解：如圖①所示，直線GH與直線EF即為所求；
（2）解：如圖②所示，直線AB即為所求．
【解析】【分析】（1）把一個(gè)平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對(duì)稱圖形，據(jù)此并結(jié)合網(wǎng)格紙的特點(diǎn)作圖即可；
（2）利用網(wǎng)格紙的特點(diǎn)及切線的性質(zhì)“圓的切線垂直于半徑的外端點(diǎn)”進(jìn)行作圖即可.
20．已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．
（2）當(dāng)電阻R為3Ω時(shí)，求此時(shí)的電流I．
【答案】（1）解：設(shè)I＝，
由題意得：K＝RI＝36，
∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為I＝；
（2）解：電阻R為3Ω時(shí)，I＝＝12A．
【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象給出的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出電流I關(guān)于電阻R的反比例函數(shù)關(guān)系式；
（2）將R=3代入（1）所求的函數(shù)解析式算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可.
21．中華人民共和國(guó)2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入及其增長(zhǎng)速度情況如圖所示．
（以上數(shù)據(jù)引自《中華人民共和國(guó)2023年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》）
根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：
（1）2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
（2）直接寫出2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入的中位數(shù)．
（3）下列判斷合理的是 （填序號(hào)）．
①2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入呈逐年上升趨勢(shì)．
②2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入實(shí)際增長(zhǎng)速度最慢的年份是2020年，因此這5年中，2020年全國(guó)居民人均可支配收入最低．
【答案】（1）解：39218﹣30733＝8485（元），
答：2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低多8485元；
（2）解：2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入的中位數(shù)是35128元；
（3）①
【解析】【解答】解：（2）把2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入從小到大排列，排在中間的數(shù)是2021年人均可支配收入，
所以2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入的中位數(shù)是35128元；
（3）由折線統(tǒng)計(jì)圖可知，2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入呈逐年上升趨勢(shì)，故①說(shuō)法正確；
因?yàn)?019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入呈逐年上升趨勢(shì)，所以這5年中，2019年全國(guó)居民人均可支配收入最低，故②說(shuō)法錯(cuò)誤．
故答案為：①．
【分析】（1）由統(tǒng)計(jì)圖可得2023年全國(guó)居民人均可支配收入最高為39218元，2019年全國(guó)居民人均可支配收入最低為30733元，然后求差即可得出答案；
（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或者從大到小）的順序排列后，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，則處在最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，則處在最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，據(jù)此可直接得出答案；
（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息逐個(gè)判斷即可.
22．圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”．某直升飛機(jī)于空中A處探測(cè)到吉塔，此時(shí)飛行高度AB＝873m，如圖②．從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（結(jié)果精確到0.1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝0.60，cs37°＝0.80，tan37°＝0.75）
【答案】解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．
∴四邊形CDBF是矩形．
∴BF＝CD，CF＝BD＝873m．
∵CF∥BD∥AE，
∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．
在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF＝，
∴AF＝tan∠ACF?CF
＝tan37°×873
≈0.75×873
≈654.75（m）．
在Rt△DBA中，
∵tan∠ADB＝，
∴AB＝tan∠ADB?BD
＝tan45°×873
＝1×873
＝873（m）．
∴CD＝FB＝AB﹣AF
＝873﹣654.75
＝218.25
≈218.3（m）．
答：吉塔的高度CD約為218.3m．
【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，首先判斷出四邊形CDBF是矩形，得BF＝CD，CF＝BD＝873m，由二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°，在Rt△ACF中，由∠ACF得正切函數(shù)可求出AF的長(zhǎng)，在Rt△DBA中，由∠ADB得正切函數(shù)可求出AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)CD＝FB＝AB﹣AF可算出答案.
五、解答題（每小題8分，共16分）
23．綜合與實(shí)踐
某班同學(xué)分三個(gè)小組進(jìn)行“板凳中的數(shù)學(xué)”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)研究．第一小組負(fù)責(zé)調(diào)查板凳的歷史及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；第二小組負(fù)責(zé)研究板凳中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)；第三小組負(fù)責(zé)匯報(bào)和交流．下面是第三小組匯報(bào)的部分內(nèi)容，請(qǐng)你閱讀相關(guān)信息，并解答“建立模型”中的問(wèn)題．
【背景調(diào)查】
圖①中的板凳又叫“四腳八叉凳”，是中國(guó)傳統(tǒng)家具，其榫卯結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了古人含蓄內(nèi)斂的審美觀．榫眼的設(shè)計(jì)很有講究，木工一般用鉛筆畫出凳面的對(duì)稱軸，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度，確定榫眼的位置，如圖②所示．板凳的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．
【收集數(shù)據(jù)】
小組收集了一些板凳并進(jìn)行了測(cè)量．設(shè)以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度為xmm，凳面的寬度為ymm，記錄如下：
【分析數(shù)據(jù)】
如圖③，小組根據(jù)表中x，y的數(shù)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)．
【建立模型】
請(qǐng)你幫助小組解決下列問(wèn)題：
（1）觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，它們是否在同一條直線上？如果在同一條直線上，求出這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；如果不在同一條直線上，說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)?shù)拭鎸挾葹?13mm時(shí)，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度是多少？
【答案】（1）解：它們?cè)谕粭l直線上，
設(shè)y＝kx+b，
則：，
解得：，
所以這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝5x+33；
（2）解：當(dāng)y＝213mm時(shí)，213＝5x+33，
解得：x＝36，
所以當(dāng)?shù)拭鎸挾葹?13mm時(shí)，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度是36mm．
【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）將y=213代入（1）所求的函數(shù)解析式算出對(duì)應(yīng)的自變量x的值即可.
24．小明在學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對(duì)角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過(guò)程：
【探究論證】
（1）如圖①，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D．若CD＝2，BD＝1，則S△ABC＝ ．
（2）如圖②，在菱形A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，則S菱形A'B'C'D'＝ ．
（3）如圖③，在四邊形EFGH中，EG⊥FH，垂足為點(diǎn)O．
若EG＝5，F(xiàn)H＝3，則S四邊形EFGH= ▲ ；
若EG＝a，F(xiàn)H＝b，猜想S四邊形EFGH與a，b的關(guān)系，并證明你的猜想．
（4）【理解運(yùn)用】
如圖④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，點(diǎn)P為邊MN上一點(diǎn)．小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖；
（?。┮渣c(diǎn)K為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊KN，KM于點(diǎn)R，I；
（ⅱ）以點(diǎn)P為圓心，KR長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段PM于點(diǎn)I'；
（ⅲ）以點(diǎn)I'為圓心，IR長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)R'，點(diǎn)R'，K在MN同側(cè)；
（ⅳ）過(guò)點(diǎn)P畫射線PR'，在射線PR'上截取PQ＝KN，連接KP，KQ，MQ．
請(qǐng)你直接寫出S四邊形MPKQ的值．
【答案】（1）2
（2）4
（3）解：S四邊形EFGH=；
猜想：S四邊形EFGH＝，
證明：∴S△EFG＝EG?FO，S△EHG＝EG?HO，
∴S四邊形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG?FO+EG?HO＝EG?FH＝；
（4）解：S四邊形MPKQ＝10．
【解析】【解答】解：（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∴S△ABC＝AC?BD＝2．
故答案為：2；
（2）∵在菱形S菱形A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，
∴S菱形A'B'C'D'＝A'C'?B'D'＝4，
故答案為：4；
（3）∵EG⊥FH，∴S△EFG＝EG?FO，S△EHG＝EG?HO，
∴S四邊形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG?FO+EG?HO＝EG?FH＝，
故答案為：；
（4）根據(jù)尺規(guī)作圖可知：∠QPM＝∠MKN，
∵在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，
∴MK2＝MN2+KN2，
∴△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°，
∴∠NMK+∠MKN＝90°，
∵∠QPM＝∠MKN，
∴∠NMK+∠QPM＝90°，
∴MK⊥PQ，
∵PQ＝KN＝4，MK＝5，
∴根據(jù)（3）中結(jié)論得S四邊形MPKQ＝MK?PQ＝10．
【分析】（1）由等腰三角形的三線合一可得AC＝2CD＝4，進(jìn)而根據(jù)三角形面積計(jì)算公式列式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)S四邊形EFGH＝S△EFG+S△EHG，并結(jié)合三角形面積計(jì)算公式列式計(jì)算即可解決此題；
（4）根據(jù)尺規(guī)作圖可知：∠QPM＝∠MKN，首先用勾股定理的逆定理判斷出△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余及等量代換推出∠NMK+∠QPM＝90°，進(jìn)而由三角形的內(nèi)角和定理推出MK⊥PQ，從而根據(jù)（3）得結(jié)論列式計(jì)算可得答案.
六、解答題（每小題10分，共20分）
25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，AD是△ABC的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿折線AD﹣DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，交AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQE，且點(diǎn)C，E在PQ同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0），△PQE與△ABC重合部分圖形的面積為S（cm2）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷△APQ的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值．
（3）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．
【答案】（1）△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
（2）解：如圖所示，E、C重合時(shí)圖形．
∵△PQE是等邊三角形，
∴QE＝QP，
由（1）得QA＝QP，
∴AE＝2AQ，即2t＝3，
∴t＝；
（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)E在AC上時(shí)，重合部分是等邊三角形PQE，如圖作PG⊥QE于點(diǎn)G，
∵∠PAQ＝30°，
∴PG＝AP＝t，
∵△PQE是等邊三角形，
∴QE＝PQ＝AQ＝t，
∴S＝QE?PG＝．
由（2）知當(dāng)點(diǎn)E、C重合時(shí)，t＝，
∴S＝（0＜t≤）；
②當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，重合部分是四邊形PQCF．
在Rt△FCE中，CE＝2t﹣3，∠E＝60°，
∴CF＝CE?tan60°＝（2t﹣3），
∴S△PCE＝（2t﹣3）?（2t﹣3）＝（2t﹣3）2，
∴S＝S△PAC﹣S△PCE＝﹣（2t﹣3）2＝﹣t2+6t﹣（＜t＜2）；
③當(dāng)點(diǎn)P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，
S＝CQ?CP＝（t﹣1）?（t﹣1）＝（t﹣1）2，（2≤t≤4）．
綜上所述，.
【解析】【解答】解：（1）解：如圖，過(guò)Q作QH⊥AD于點(diǎn)H，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD＝∠QAP，
∵AD是角平分線，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠QAP，
∴QA＝QP，
∴△APQ是等腰三角形．
∵QH⊥AP，
∴AH＝AP＝，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC=30°，
∴AQ＝＝t，
故△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
【分析】（1）過(guò)Q作QH⊥AD于點(diǎn)H，由平行線的性質(zhì)及角平分線定義可推出∠CAD＝∠QAP，從而可得△APQ是等腰三角形；由等腰三角形的三線合一得AH＝AP＝，進(jìn)而由三角形的內(nèi)角和定理及角平分線定義可算出∠CAD=30°，從而利用∠CAD的余弦函數(shù)可求出AQ的長(zhǎng)；
（2）由等邊三角形及等腰三角形性質(zhì)可推出AQ=PQ=QC，則AE＝2AQ，結(jié)合（1）得結(jié)論建立方程可求出t的值；
（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)E在AC上時(shí)，重合部分是等邊三角形PQE，如圖作PG⊥QE于點(diǎn)G，②當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，重合部分是四邊形PQCF，③當(dāng)點(diǎn)P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，分別畫出圖形，結(jié)合圖形特點(diǎn)及三角形面積計(jì)算公式列式計(jì)算即可得出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
26．小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為﹣2時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．
（1）直接寫出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖象，如圖（2）．
Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．
Ⅱ．若關(guān)于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)），在0＜x＜4時(shí)無(wú)解，求t的取值范圍．
Ⅲ．若在函數(shù)圖象上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為﹣m+1．小明對(duì)P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖象進(jìn)行研究，當(dāng)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．
【答案】（1）解：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）解：I：∵k＝1，a＝1，b＝﹣2，
∴一次函數(shù)解析式為：y＝x+3，二次函數(shù)解析式為：y＝x2﹣2x+3，
當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x2﹣2x+3，其對(duì)稱軸為直線x＝1，開口向上，
∴x≥1時(shí)，y隨著x的增大而增大；
當(dāng)x≤0時(shí)，y＝x+3，k＝1＞0，
∴x≤0時(shí)，y隨著x的增大而增大，
綜上，x的取值范圍：x≤0或x≥1；
Ⅱ：∵ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4時(shí)無(wú)解，
∴ax2+bx+3＝t，在0＜x＜4時(shí)無(wú)解，
∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝t在0＜x＜4時(shí)無(wú)交點(diǎn)，
∵對(duì)于y＝x2﹣2x+3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，
∴頂點(diǎn)為（1，2），
如圖：
∴當(dāng)t＝2時(shí)，拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝t在0＜x＜4時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)t＜2時(shí)，拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝t在0＜x＜4時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)；
當(dāng)x＝4，y＝16﹣8+3＝11，
∴當(dāng)t＝11時(shí)，拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝t在0＜x≤4時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)t≥11時(shí)，拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝t在0＜x＜4時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，
∴當(dāng)t＜2或t≥11時(shí)，拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝t在0＜x＜4時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，
即：當(dāng)t＜2或t≥11時(shí)，關(guān)于x的方程 ax2+bx+3﹣t＝0 （t為實(shí)數(shù)），在0＜x＜4時(shí)無(wú)解；
Ⅲ：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【解析】【解答】解：（1）∵x＝﹣2＜0，
∴將x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，
得：﹣2k+3＝1，
解得：k＝1，
∵x＝2＞0，x＝3＞0，
將x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分別代入y＝ax2+bx+3，
得：，
解得：；
故：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）Ⅲ：∵xP＝m，xQ＝﹣m+1，
∴，
∴點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)x＝1，y最小值＝1﹣2+3＝2，當(dāng)x＝1，y最小值=2，當(dāng)x＝0時(shí)，y最大值＝3，
當(dāng)x＝0時(shí)，y最大值＝3，
∵當(dāng)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)x＝2 時(shí)，y＝3，x＝﹣1時(shí)，y＝2，
∴①當(dāng)如圖：
由題意得：，
∴1≤m≤2；
②當(dāng)，如圖：
由題意得：，
∴﹣1≤m≤0，
綜上：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【分析】（1）將x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，可求出k的值；將x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分別代入y＝ax2+bx+3，可得關(guān)于字母a、b的方程組，求解可得a、b的值；
（2）I：由（1）中所求的k、a、b的值可得出一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性即可求解；
Ⅱ：此題可轉(zhuǎn)化為拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝t在0＜x＜4時(shí)無(wú)交點(diǎn)，而拋物線y＝x2﹣2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，11），從而結(jié)合圖象即可分析得出答案；
Ⅲ：根據(jù)題意可得點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)x＝1，y最小值=2，當(dāng)x＝0時(shí)，y最大值＝3，當(dāng)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)x＝2 時(shí)，y＝3，x＝﹣1時(shí)，y＝2；然后分①當(dāng)與②當(dāng)兩種情況，結(jié)合圖象分析分別列出關(guān)于字母m的不等式組，求解即可.以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度x/mm
16.5
19.8
23.1
26.4
29.7
凳面的寬度y/mm
115.5
132
148.5
165
181.5

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